專題07隱圓培優綜合專項訓練例題1：（與幾何綜合）（2023上·廣東廣州·九年級統考期末）如圖，已知正方形邊長為2．點O是邊的中點，點E是正方形內一個動點，且．(1)連接，求的度數；(2)連接，若，求的長度；(3)將線段繞點D逆時針旋轉后，得到線段，連接，線段長是否存在最小值，若無，說明理由；若有，求出這個最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）判斷出點E在以為直徑，且在正方形內部的半圓上，根據直徑所對的圓周角是直角可得結論；（2）由可知是半圓的切線，連接利用切線的性質進一步得出，再運用勾股定理可得結論；（3）根據證明得到，求得的最小值即可【詳解】（1）∵點O為的中點，，，∴點E在以O為圓心，以1為半徑的圓上，且位于正方形內部的半圓上，∴；（2）當時，切于點E，連接，如圖1，∵四邊形是正方形，∴，，即是的切線，∴，∵∴，∴，且平分，∴，∴，∴∴∴在中，，∴，∴；（3）∵，即∴在和中，∴最小時，最小，如圖2，連接交于點，在中，，存在最小值為【點睛】本題主要考查了切線的判定與性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答本題的關鍵例題2：（與二次函數綜合）（2023·廣東湛江·期末統考）如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線經過B、C兩點，與x軸另一交點為A，頂點為D．

(1)求拋物線的解析式．(2)如果一個圓經過點O、點B、點C三點，并交于拋物線段于點E，求的度數．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）利用一次函數求出B、C兩點的坐標，然后將其代入拋物線解析式求解即可；（2）先作出相應圖形，得出，可得等腰直角三角形，利用同弧所對圓周角相等即可求解；（3）分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況，由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，令，則，令，則，∴點B、C的坐標分別為、，將點B、C的坐標代入二次函數表達式得：，解得：，∴拋物線解析式；（2）解：如圖，

∵點B、C的坐標分別為、，∴，又∵，∴等腰直角三角形，∴，根據圓周角定理可得：；（3）解：①當點P在x軸上方時，如圖，

由（2）知，∴，令，解得或，∴，∴．過點B作于點H，設，則，由拋物線的對稱性可得：，，由勾股定理得：，∴，解得，∴；②當點P在x軸下方時，同理可得．綜上可得，的值為16+8．【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了一次函數圖象上點的坐標特征，求二次函數解析式，二次函數的對稱性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理等知識，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．例題3：（最值綜合）（2023·廣東佛山·統考一模）（1）如圖1，的半徑為1，，點P為上任意一點，則的最小值為；（2）如圖2，已知矩形，點E為上方一點，連接，作于點F，點P是的內心，求的度數；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若矩形的邊長，，，求此時的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據一點到圓上的距離可得當、、三點共線，且點在線段上時，有最小值，即可求解；（2）根據點是的內心，得出，，根據三角形內角和定理即可求解；（3）證明，結合（2）的結論，則，可得點P的運動軌跡是在上運動，且所含的圓周角為，作的外接圓，連接，，，過作，設的半徑為，交的延長線于，根據圓周角定理得出，得出是等腰直角三角形，勾股定理求得，進而即可求解．【詳解】解：（1）當、、三點共線，且點在線段上時，有最小值，的最小值為：；故答案為：．（2）∵，∴，∴，∵點是的內心，∴，，∴，∴；（3）點是的內心，，，，，由（2）可得，，∴點P的運動軌跡是在上運動，且所含的圓周角為，如圖，作的外接圓，連接，，，過作，交的延長線于，設的半徑為，則的最小值為：，∵所含的圓周角為，所對的圓心角為，，又，，是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴，，故的最小值為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，求一點到圓上的距離，三角形內心的性質，三角形外接圓，勾股定理，全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，矩形的性質，三角形內角和定理，綜合運用以上知識是解題的關鍵．1．（2023上·廣東深圳·九年級考試）【問題情境】：如圖1，點為正方形內一點，，，，將直角三角形繞點逆時針方向旋轉度()，點、的對應點分別為點、．

【問題解決】：(1)如圖2，在旋轉的過程中，點落在了上，求此時的長；(2)若，如圖3，得到(此時與重合)，延長交于點，①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②連接，求的長；(3)在直角三角形繞點逆時針方向旋轉過程中，直接寫出線段長度的取值范圍．【答案】(1)(2)①正方形，見解析；②(3)【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性質得，然后由旋轉的性質得，即可求解；（2）①由旋轉的性質得，，，再證四邊形是矩形，即可得出結論；②過點作于點，證（），得，，則，再由勾股定理求解即可；（3）當時，與重合，'最短；當落在的延長線上時，，最長，即可得出答案．【詳解】（1），，，，四邊形是正方形，，，，由旋轉的性質得：，；（2）①四邊形是正方形，理由如下：由旋轉的性質得：，，，，四邊形是矩形，又，四邊形是正方形；②過點作于點，如圖所示：則，，，在和中，，，，，．

（3）直角三角形繞點逆時針方向旋轉度點、的對應點分別為點、，點運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，當時，與重合，最短；當落在的延長線上時，，最長，線段長度的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了正方形的判定與性質、旋轉變換的性質、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質和旋轉變換的性質，證明是解題的關鍵．2．（2023·廣東佛山·聯考）如圖1，在矩形中，，，點E在射線上運動，將沿翻折，使得點A與點G重合，連接交于點F．(1)【初步探究】當點G落在邊上時，求的長；(2)【深入探究】在點E的運動過程中，是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，點P為的中點，連接，點E在射線上運動過程中，求長的最大值．【答案】(1)(2)在點的運動過程中，存在最小值，的最小值為(3)點在射線上運動過程中，長的最大值為【分析】（1）由翻折得：，根據勾股定理可得，再由，即可求得答案；（2）以為圓心，長為半徑作，可得點在上運動，當點在線段上時，最小，此時，，由勾股定理可得，即可求得的最小值為；（3）以為圓心，長為半徑作，延長至，使，連接，根據三角形中位線定理可得，則最大時，最大，由于點在上運動，當經過點時，最大，即可求得答案．【詳解】（1）當點落在邊上時，如圖1，四邊形是矩形，，，，由翻折得：，在中，，；（2）如圖2，以為圓心，長為半徑作，由翻折得：，點在上運動，當點在線段上時，最小，此時，，在中，，，故在點的運動過程中，存在最小值，的最小值為；（3）如圖3，以為圓心，長為半徑作，延長至，使，連接，

，點是的中點，點為的中點，是的中位線，，則最大時，最大，

由翻折得：，點在上運動，當經過點時，最大，如圖4，在中，，，，故點在射線上運動過程中，長的最大值為．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，翻折的性質，勾股定理，三角形的中位線定理，圓的有關性質，點到圓上各點距離的最大值和最小值的應用，解決問題的關鍵是運用三角形中位線定理和圓中的最值．3.（2023·廣東廣州·統考）在四邊形中，，；(1)如圖1，已知，直接寫出的度數；(2)如圖2，已知，，，連接，求的長度；(3)如圖3，已知，，請判斷四邊形的面積是否有最小值？如果有，請求出它的最小值；如果沒有，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據四邊形的內角和定理求解即可；（2）將繞點B逆時針旋轉得到．即得出，，，，從而可證是等邊三角形，即得出．再結合（1）可得出，進而可求出，最后根據勾股定理求解即可．（3）如圖，將繞點B逆時針旋轉得到，連接．易證為等邊三角形．根據，即得出當面積最大時，四邊形的面積最小．又可求，結合，即說明點A在定圓上運動，則當O、A、B共線時，的面積最大，此時，設交于K，，進而可求．在上取點F，使得，則是等腰直角三角形．設，則，即可列出關于x的等式，解出x的值，結合三角形的面積公式和等邊三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴；（2）解：如圖，將繞點B逆時針旋轉得到．∴，，，．∵，∴，即，∴是等邊三角形，∴．∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖，將繞點B逆時針旋轉得到，連接．由（2）同理可證為等邊三角形，∴，∴當面積最大時，四邊形的面積最小．∵，，∴，∴．∵，∴點A在定圓上運動，如圖，則當O、A、B共線時，的面積最大，此時，設交于K，∴．∵，∴．在上取點F，使得，如圖，則是等腰直角三角形．設，則，∴，解得：，∴．∵，∴，即四邊形的面積最小值為．【點睛】本題考查四邊形的內角和，旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質，三角形外角的性質，垂徑定理等知識．正確作出輔助線并利用數形結合的思想是解題關鍵．4.（2023下·廣東廣州·九年級廣州市番禺區期中）如圖，為等邊三角形，點P是線段上一動點（點P不與A，C重合），連接，過點A作直線的垂線段，垂足為點D，將線段繞點A逆時針旋轉得到線段，連接，．(1)求證：；(2)連接，延長交于點F，若的邊長為2；①求的最小值；②求的最大值．【答案】(1)見解析(2)①，②2【分析】（1）根據旋轉的性質可得，，根據等邊三角形的性質可得，，進而得出，即可求證，即可求證；（2）①根據題意可得，則點D在以為直徑的圓上運動，連接，與相交于點D，此時最小，求解即可；②過點C作，交的延長線于點G，通過證明得出點F是中點，再根據，得出點A，點F，點C，點E四點在以為直徑的圓上，即可求解，當為直徑時，取得最大值，即可求解．【詳解】（1）證明：∵線段繞點A逆時針旋轉得到線段，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴．（2）解：①∵，∴，∴點D在以為直徑的圓上運動，連接，與相交于點D，