專題01平行線中的拐點模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個結論正確，理由如下：如圖1，過點P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據（1）中結論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023下·江蘇鹽城·七年級統考期中）如圖，已知，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過點作直線，根據平行線的性質得到．【詳解】解：如圖，過點作直線，則．又，，，．故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質．關鍵是熟悉兩直線平行，內錯角相等的知識點．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年級校聯考期中）太陽灶、衛星信號接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有關．如圖，從點O照射到拋物線上的光線，反射后沿著與平行的方向射出，已知圖中，，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行線的性質即可得出，，再根據即可求解．【詳解】由題意知∴，∴故選：C．【點睛】題考查了平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，牢記性質是解決問題的關鍵．例3．（2023下·湖北黃岡·七年級階段練習）如圖，∠BCD＝90°，AB∥DE，則α與β一定滿足的等式是（）

A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°【答案】D【分析】過C作CF∥AB，根據平行于同一條直線的兩條直線平行得到AB∥DE∥CF，根據平行線的性質得到作差即可．【詳解】詳：過C作CF∥AB，

∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∴故選：D．【點睛】考查平行公理已經平行線的性質，解題的關鍵是注意輔助線的作法，作出輔助線．例4．（2023春·河南駐馬店·九年級專題練習）已知，，，若，則為（

）A．23° B．33° C．44° D．46°【答案】C【分析】如圖（見解析），先根據平行線的性質、角的和差可得，同樣的方法可得，再根據角的倍分可得，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過點E作，則，∴，，同理可得：，，∴，，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．例5．（2023下·江蘇南通·七年級校聯考階段練習）如圖，已知，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的補角，則∠BAH的度數是．【答案】/度【分析】首先設，，過點作，過點作，根據平行線的性質，可得，，又由的余角等于的補角，可得方程：，繼而求得答案．【詳解】解：如圖，設，，

，與的平分線交于點，，，，，過點作，過點作，，，，，，，，，的余角等于的補角，，解得：，，故答案為：．【點睛】此題考查了平行線的性質與判定以及余角、補角的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．例6．（2023下·湖北恩施·七年級統考期中）如圖，若，，且，，則．【答案】/20度【分析】過點E作，過點F作，則，根據平行線的性質，結合可證，再根據推出，即可列式求解．【詳解】解：如圖，過點E作，過點F作，，，，，．，，，，，，，，，，，，，，，解得，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．例7．（2023下·江蘇南通·七年級校考階段練習）如圖，已知，，寫出x，y，z的關系式．

【答案】【分析】過點作，過點D作，根據平行線的性質求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點作，過點D作，，，，，，，，，，，故答案為：．

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，解題關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．例8．（2023下·江西贛州·七年級統考期末）（1）如圖1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB與CD有怎樣的位置關系.（2）如圖2已知AB∥EF，試猜想∠B，∠F，∠BCF之間的關系，寫出這種關系，并加以證明.（3）如圖3已知AB∥CD，試猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的關系，請直接寫出這種關系，不用證明.【答案】（1）詳見解析（2）∠BCF=∠B+∠F（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（1）過點E作EF∥AB，得∠BEF=25°，得∠DEF=55°，從而可證AB∥CD；（2）作CD∥AB，根據平行線的傳遞性得CD∥EF，則根據平行線的性質得∠BCD=∠B，∠DCF=∠F，所以∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，故可得結論；（3）方法同（2）【詳解】（1）過點E作EF∥AB

∵∠B=25°∴∠BEF=∠B=25°∵∠BED=80°∴∠DEF=∠BED－∠BEF=55°∵∠D=55°∴∠D=∠DEF∴EF∥CD

∴AB∥CD

（2）過點C作CD∥AB，則CD∥EF，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B，∵CD∥EF，∴∠DCF=∠F，∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，即∠C=∠B+∠F．

（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，如圖，作MN∥AB，由（2）的結論得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7，∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質：同旁內角互補，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．作出相關輔助線是解此題的關鍵.例9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）已知：直線與直線內部有一個點，連接．(1)如圖，當點在直線上，連接，若，求證：；(2)如圖，當點在直線與直線的內部，點在直線上，連接，若，求證：；(3)如圖，在（）的條件下，、分別是、的角平分線，和相交于點G，和直線相交于點，當時，若，，求的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（）過點作，推出，進而得，根據平行公理的推論即可得證；（）分別過點和點作，，推出，進而得，根據平行公理的推論即可得證；（）過點作，同（）（）理證明，設，，，則，結合角平分線得，用含的式子代替，，代入即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：如圖，分別過點和點作，，∴，，∵，即，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，過點作，由()得，∴，，，∴，設，，，則，∵、分別是、的角平分線，∴，∵，∴，由()得，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴∴，∴，即的度數為.【點睛】本題考查平行線的判定與性質，角平分線的定義，三角形的內角和，平角定義等知識，添加輔助線，靈活運用平行公理的推論是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023下·江蘇無錫·七年級校聯考期中）如圖，，，，則的度數是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作，根據平行線的判定和性質可得，結合，兩式相加即可求出．【詳解】解：如圖，作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，求出是解題的關鍵．2．（2023下·江蘇鎮江·七年級統考期末）將一副三角尺（厚度不計）如圖擺放，使邊與邊互相平行，則圖中的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據三角板的特點得到，再由平行線的性質得到，則由平角的定義可得．【詳解】解：由題意得：，∵，∴，∴，故選：D．

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角板中角度的計算，靈活運用所學知識是解題的關鍵．3．（2023下·安徽馬鞍山·七年級校考期末）如圖，直線，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意作直線l平行于直線l1，再根據平行線的性質求解即可．【詳解】解：如下圖，作直線，

∵，，∴，．，．故選B．【點睛】本題主要考查平行線的性質，平行公理的應用，掌握兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行內錯角相等是解題關鍵．4．（2022下·廣東七年級期中）如圖，，，是的平分線，三點在一條直線上，則的度數為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作，則，進而求出，由平行線的傳遞性可證，從而，由角平分線的定義求出，進而可求出的度數．【詳解】作，則．∵，∴，∴．∵，，∴，∴．∴．∵是的平分線，∴，∴．故選A．

【點睛】本題考查了平行線性質的應用－拐點問題，常用的解答方法是過過拐點作其中一條線的平行線，利用平行線的傳遞性說明與另一條線也平行，然后利用平行線的性質解答即可．5．（2023·江蘇·七年級假期作業）如圖，，點在上，，則下列結論正確的個數是（

）（1）；（2）；（3）；（4）

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】過點作，根據平行線的性質對每一項判斷即可解答．【詳解】解：過點作，

∵，∴，∴與不全等，又∵點在上，∴無法判斷（1）是否正確；∵，，∴，∵，∴，，∴，故（2）正確；∵，，∴，∴，∴，，∴，故（3）正確；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴無法知道的度數，∴無法判斷（4）是否正確；故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，掌握平行線的性質，添加輔助線是解題的關鍵．6．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級校考階段練習）如圖，直線，用含的式子表示，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過角的頂點作，根據平行線的性質可得，，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過角的頂點作，∴

∵，∴，∴∴故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定定理是解題的關鍵．7．（2023下·山東德州·七年級校考階段練習）如圖，，平分交于點E，，，M，N分別是延長線上的點，和的平分線交于點F．下列結論：①；②；③平分；④為定值；其中結論正確的有（

）

A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】由，，可知，則，由，可得，則，，可證，可判斷①的正誤；由，可得，由，可得，可判斷②的正誤；由平分交于點E，可得，由，，可得，則平分，可判定③的正誤；由和的平分線交于點F，可得，，由，，，可得，，根據，為定值，可判斷④的正誤．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，又∵，∴，②錯誤，故不符合要求；∵平分交于點E，∴，∵，，∴，∴平分；③正確，故符合要求；∵和的平分線交于點F，∴，，∵，，，∴，∴，∴，為定值；④正確，故符合要求；故選：D．【點睛】本題考查了角平分線，平行線的判定與性質，三角形內角和定理．解題的關鍵在于明確角度之間的數量關系．8．（2022下·湖北省直轄縣級單位·七年級統考期末）如圖，C島在A島的北偏東方向，在B島的北偏西方向，則．

【答案】/105度【分析】過點作，從而可證明，然后由平行線的性質可知，，從而可求得的度數．【詳解】解：過點作．

，，．，，同理：．，故答案為：．【點睛】本題考查的是方向角的定義和平行線的性質的應用，掌握此類問題輔助線的作法是解題的關鍵．9．（2023下·江蘇揚州·七年級校考階段練習）如圖，，，，則的度數等于．

【答案】【分析】先添加輔助線，則根據平行線的性質可得，則有，，再根據垂直的定義可得，然后求出，根據鄰補角的定義即可得．【詳解】如圖，過作，

∴,∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了平行線的性質、垂直，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．10．（2023下·江蘇連云港·七年級統考期末）如圖，，將直角三角尺的兩個銳角頂點分別落在a、b上．若，則等于°．

【答案】25【分析】由平行線的性質可得，由三角形的內角和定理可求得，從而可求得，則可求的度數．【詳解】解：如圖，

∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：25．【點睛】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補．11．（2023下·江蘇揚州·九年級階段練習）如圖，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，則∠3=度．【答案】63【分析】如圖，易知∠3＝∠2－∠1，計算即可.【詳解】如圖所示，根據平行線的性質易知∠3＝∠2－∠1＝113°－50°＝63°.【點睛】本題主要考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解答的關鍵.12．（2023下·江蘇鎮江·七年級統考期中）探照燈、汽車燈及其他很多燈具都與拋物線形狀有關，如圖是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于點的燈泡發出的兩束光線，經燈碗反射以后平行射出．若，，則的度數為．【答案】【分析】過點作，由得，從而得到，，最后根據計算即可得到答案．【詳解】解：過點作，如圖所示，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平行線的性質為：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．13．（2023上·江蘇常州·八年級統考期中）如圖，直線a，b過等邊三角形的頂點A和C，且，，則．

【答案】99【分析】本題考查了平行線的性質、等邊三角形的性質．根據等邊三角形的性質可求出，再根據兩直線平行內錯角相等即可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，，∴．故答案為：99．14．（2022下·江蘇宿遷·七年級統考期末）如圖，直線，，則．

【答案】/208度【分析】根據平行線的性質和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和即可求得．【詳解】解：如圖

∵直線，∴，又∵，，∴．【點睛】本題主要考查平行線的性質和三角形外角和定理，解題的關鍵是做輔助線構造出相對應的角．15．（2023下·江蘇蘇州·七年級統考期末）如圖，已知，，記，則m的值為．

【答案】【分析】過點F作，則，依據平行線的性質可證明，同理可證明，然后結合已知條件可得到問題的答案．【詳解】解：如圖所示：過點F作．∵，∴．∵，∴，∴．∴．同理：．∴∵，∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查的是平行線的判定和性質，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．16．（2023下·江蘇淮安·七年級統考期末）在數學課本中，有這樣一道題：已知：如圖1，．求證：請補充下面證明過程：證明：過點，作，如圖2∴______（_________________）∵，_______=（已知）∴（___________）∴______=_______∴_____（________________）∵∴【答案】BEF；兩直線平行內錯角相等；FEC；等量代換；C；FEC；DC；內錯角相等兩直線平行【分析】根據平行線的判定與性質即可完成證明過程．【詳解】證明：過點，作，如圖2，（兩直線平行內錯角相等），，（已知），（等量代換），，（內錯角相等兩直線平行），，．故答案為：，兩直線平行內錯角相等，，等量代換，，，，內錯角相等兩直線平行．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是準確區分平行線的判定與性質，并熟練運用．17．（2023下·江蘇·七年級泰州市姜堰區第四中學校考周測）如圖，，，求的度數．【答案】【分析】過點作，根據，，進而據平行線的性質即可求的度數．【詳解】解：過點作，∵，∴，∴，，∴，【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是作輔助線及靈活應用平行線的判定與性質解決問題．18．（2023·江蘇·九年級專題練習）在圖中，，與又有何關系？【答案】【分析】此類題要過各個分點作已知直線的平行線，充分運用平行線的性質進行推導．【詳解】分別過，，作的平行線，則，，，，，即，．【點睛】此類題主要注意構造輔助線：平行線，解題的關鍵是充分運用平行線的性質進行證明．19．（2023·江蘇七年級月考）如圖所示，.求證：【答案】詳見解析【分析】連接AC，設∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根據平行線性質得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．【詳解】證明：連接AC，設∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，∴∠CAE+∠ACE=180°（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°（3x°+3y°）∴∠AEC=180°（∠CAE+∠ACE）=180°[180°（4x°+4y°）]=4x°+4y°=4（x°+y°），∠AFC=180°（∠FAC+∠FCA）=180°[180°（3x°+3y°）]=3x°+3y°=3（x°+y°），∴∠AFC=∠AEC．【點睛】本題考查了平行線性質和三角形內角和定理的應用，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補．20．（2022下·江蘇連云港·七年級統考期中）已知．

知識回顧（1）如圖，點在兩平行線之間，試說明：．知識應用（2）如圖，、分別平分、，利用中的結論，試說明：；（3）如圖，直接寫出、、、四個角之間的數量關系．知識拓展（4）如圖，若，，、分別平分、，那么______；只要直接填上正確結論即可（5）如圖，若、、三個角的和是，、分別平分、，那么______用含的式子表示【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；（4）【分析】過點作，利用豬腳模型進行計算，即可解答；利用的結論可得得：，，再利用角平分線的定義可得，，然后進行計算即可解答；根據角平分線的定義可得，，再利用的結論，從而進行計算可得，再利用的結論可得，然后進行計算即可解答；過點作，過點作，從而可得，然后利用平行線的性質可得，從而可得，再利用平行線的性質可得，，從而可得，最后利用角平分線的定義可得，，從而用的結論可得，進行計算即可解答；過點作，過點作，過點作，利用的解題思路進行計算即可解答．【詳解】解：過點作，，

，，，，；由得：，，、分別平分、，，，，即；，理由：、分別平分、，，，，由得：，，即；過點作，過點作，

，，，，，，，，，，，，、分別平分、，，，，故答案為：；過點作，過點作，過點作，

，，，，，，，，、分別平分、，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，列代數式，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．21．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考期中）已知在四邊形中，，點是線段上一點．

(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，若平分，．①請動動你聰明的頭腦，你會發現：______；②如圖③，若的平分線與的延長線交于點，與交于點，且，求的度數．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】過作，根據可得出，故可得出，，由此可得出結論；根據可知再由平分得出，根據，即可得出結論；由知，故再由三角形外角的性質得出根據三角形內角和定理得出由平分，平分及三角形內角和定理得出的度數．【詳解】（1）證明：如圖，過作，

，，，，；（2）：，．平分，，，，，．故答案為：；如圖③，由知，．，．．平分，平分，，．【點睛】本題考查的是平行線的性質，涉及到角平分線的性質、三角形內角和定理等知識，數形結合是解答本題的關鍵．22．（2023下·江蘇鎮江·七年級統考期末）如圖，，點A、B分別在直線MN、GH上，點O在直線MN、GH之間，若，．（1）=；（2）如圖2，點C、D是、角平分線上的兩點，且，求的度數；（3）如圖3，點F是平面上的一點，連結FA、FB，E是射線FA上的一點，若，，且，求n的值．【答案】（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如圖：過O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；（2）如圖：分別延長AC、CD交GH于點E、F，先根據角平分線求得，再根據平行線的性質得到；進一步求得，，然后根據三角形外角的性質解答即可；（3）設BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=，從而，又∠FKN=∠F+∠FAK，得，即可求n．【詳解】解：（1）如圖：過O作OP//MN，∵MN//GHl∴MN//OP//GH∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=36