第2章一元二次函數、方程和不等式基本不等式的應用湘教版

數學

必修第一

冊課標要求1.能夠利用基本不等式求代數式的最值.2.能夠利用基本不等式解決實際問題中的最值問題.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點利用基本不等式求最值已知x,y都為正數,則(1)如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y時,和x+y有最小值

;

(2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當x=y時,積xy有最大值

.

名師點睛利用基本不等式求最值的注意事項在應用基本不等式求最值時,要把握不等式成立的三個條件:一正、二定、三相等,這三個條件缺一不可.二定:積或和為定值.積為定值和有最小值;和為定值積有最大值.為了利用基本不等式,有時對給定的代數式要進行適當變形.例如:中等號不成立,即此時不能用基本不等式求最值.另外,在連續使用公式求最值時,取等號的條件很嚴格,要求同時滿足任何一次等號成立的字母取值存在且一致.過關自診1.某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2與到車站的距離成正比.如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么要使這兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站(

)A.5千米處

B.4千米處C.3千米處

D.2千米處A2.已知x>0,y>0.(1)若xy=4,則x+y的最小值是

;

4(2)若x+y=4,則xy的最大值是

.

4重難探究·能力素養速提升探究點一利用基本不等式求代數式的最值1.通過變形后應用基本不等式求最值【例1】

求下列代數式的最值,并求出相應的x值.規律方法

利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件.解題時應對照已知條件和欲求的式子,運用適當的“拆項、添項、配湊、變形”等方法創設使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數,改變不等號方向;二不定,應湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試利用函數的單調性(在第三章學習).

變式訓練1

D2.應用“1”的代換轉化為基本不等式求最值

4變式探究

1規律方法

利用基本不等式求條件最值問題時,若所給條件為ax+by=1或可化為ax+by=1及

=1(其中a,b為常數,x,y為變量),可利用“1”的結構,將待求式子的結構進行調整,優化為可以直接利用基本不等式求最值的式子.探究點二利用基本不等式解決實際應用中的最值問題【例3】

[2024甘肅臨夏高一校考期末]某單位建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房,由于地理位置的限制,房子側面的長度x不得超過5米,房屋正面的造價為400元/平方米,房屋側面的造價為150元/平方米,屋頂和地面的造價費用合計為5800元.如果墻高為3米,且不計房屋背面的費用,當側面的長度為多少時,總造價y最低?最低總造價是多少元?規律方法

應用基本不等式解決實際問題的思路與方法(1)理解題意,設出變量.(2)建立相應的函數關系,把實際問題抽象成求函數的最大值或最小值問題.(3)在定義域內,求出函數的最大值或最小值.(4)根據實際背景寫出答案.變式訓練2如圖,某人要圍成相同的四個長方形菜園,一面可利用原有的墻,其他各面用籬笆圍成.現有36m長的籬笆材料,每個菜園的長、寬分別設計為多少時,可使每個菜園面積最大?解

設每個菜園長x

m,寬y

m,則由條件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.設每個菜園的面積為S,則S=xy.當且僅當6-y=y,即y=3時等號成立,此時x=4.5.故每個菜園的長為4.5

m,寬為3

m時,可使每個菜園的面積最大.學以致用·隨堂檢測促達標A級必備知識基礎練12345678910111213A1234567891011121312345678910111213D123456789101112133.(多選題)已知a>0,b>0,且a2+b2=1,則(

)AD12345678910111213123456789101112134.一批救災物資隨51輛汽車從某市以vkm/h的速度勻速直達災區,已知兩地公路線長400km,為了安全起見,兩輛汽車的間距不得小于km,那么這批物資全部到達災區最少需要

h.

101234567891011121331234567891011121312345678910111213B級關鍵能力提升練7.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式

≥m恒成立,則m的最大值等于(

)A.10 B.9

C.8 D.7B1234567891011121312345678910111213A.1 B.2C.4 D.8C123456789101112139.如果兩個正方形的邊長分別為x,y,且x+y=1,那么它們的面積之和的最小值是(

)B解析

由題意可知,x>0,y>0,且x+y=1,由基本不等式可得x2+y2≥2xy,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,1234567891011121310.(多選題)[2024甘肅天水高三校聯考階段練習]設正實數x,y滿足x+y=2,則下列說法正確的有(

)AD1234567891011121312345678910111213對于D,x2+y2=(x+y)2-2xy=4-2xy≥2,當且僅當x=y=1時等號成立,所以x2+y2的最小值為2,故D正確.故選AD.1234567891011121311.已知函數y=x2+ax+1.若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,1]恒成立,則實數a的最小值為

.