專題14弧長及扇形的面積重難點題型專訓（七大題型）【題型目錄】題型一求弧長題型二求扇形半徑題型三求圓心角題型四求某點的弧形運動路徑長度題型五求扇形面積題型六求弓形面積題型七求不規則圖形的面積【經典例題一求弧長】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，，是邊上的一點，以為直徑的交邊于點，若，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據，得，再根據圓周角定理得，即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，

，，，，，，的長為，故選：B．【點睛】本題考查了弧長的計算和圓周角定理，熟練記住弧長公式：（弧長為，圓心角度數為，圓的半徑為）是關鍵．2．（2023秋·山西長治·九年級統考期末）如圖，在平行四邊形中，以為直徑的與相交于點E，與相交于點F，，已知，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質，圓周角定理，弧長公式計算即可．【詳解】如圖，連接，

∵為的直徑，∴，∵，∴，∵平行四邊形，，∴，∴，∵，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質，圓周角定理，平行四邊形的性質，弧長公式，熟練掌握弧長公式，圓周角定理是解題的關鍵．3．（2022秋·廣西貴港·九年級統考期末）如圖，分別以等邊的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若該萊洛三角形的周長（即外周三段弧的和）為，則的邊長為．

【答案】3【分析】利用弧長公式計算即可．【詳解】設的邊長為x，根據題意，得，∴，解得，故答案為：3．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，弧長公式，熟練掌握等邊三角形的性質和弧長公式是解題的關鍵．4．（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋線”（也稱“黃金螺旋”）是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，人類耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀，這種形狀的構造幫助人類可以更好地接收聲波，從而增強聽覺．現依次取邊長為1，1，2，3，5……的正方形按如圖所示方式拼接，分別以每個正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑作圓弧，連接形成的螺旋曲線即為“斐波那契螺旋線”．那么前五個正方形內形成的曲線的長度是．

【答案】【分析】觀察圖形可知，螺旋曲線的每一段都是以正方形的邊長為半徑的圓弧構成，計算出每個正方形的邊長，再根據圓的周長公式即可求解．【詳解】解：由圖可知，正方形的邊長依次為：1，1，2，3，5……，螺旋曲線的每一段都是以正方形的邊長為半徑的圓弧構成，故前五個正方形內形成的曲線的長度是：，故答案為：．【點睛】本題考查弧長的計算，解題的關鍵是觀察圖形得出每一段圓弧對應的正方形的邊長．5．（2023春·河北邢臺·九年級統考開學考試）如圖，一量角器所在圓的直徑為，其外緣有兩點，其讀數分別為和．

(1)劣弧所對圓心角=__________；(2)求的長（結果不求近似值）．【答案】(1)24(2)【分析】（1）根據量角器所示的度數計算；（2）根據弧長公式計算．【詳解】（1）解：劣弧所對圓心角的度數為．故填：．（2）解：的長．【點睛】本題考查的是圓心角的計算與弧長的計算，掌握弧長公式是解題的關鍵．6．（2023春·吉林長春·九年級校考階段練習）【感知】（1）如圖，在中，，，，是中線，點E、F同時從點D出發，以相同的速度分別沿方向移動，當點E到達點C時，運動停止，直線分別與、相交于G、H．證明：．【探究】（2）證明：點A、C、G、D均在以為直徑的圓上．【拓展】（3）在點E、F移動過程中，點G移動路線的長度為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據等腰三角形三線合一性質，運用邊角邊定理證明全等即可．（2）證明即可．（3）根據四點共圓，判定點G移動軌跡為，計算出圓心角和半徑，代入弧長公式計算即可．【詳解】證明：（1）∵，∴，∴，在和中，∵，∴．證明：（2）∵，∴，∵，∴，∴A、C、G、D四點共圓，且均在以為直徑的圓上．（2）∵A、C、G、D四點共圓，且均在以為直徑的圓上∴點G的運動軌跡為，設的中點為點O，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴點G的運動軌跡的長為．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一性質，四點共圓的判定，弧長的計算，熟練掌握性質和公式是解題的關鍵．【經典例題二求扇形半徑】1．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側面和底面，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當圓與相切時，半徑最大，設，根據扇形的弧長等于底面圓的周長，進行計算即可．【詳解】解：由題意，得：當圓與相切時，半徑最大，設，則：圓的直徑為：，∵扇形和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側面和底面，∴，解得：；∴的長為；故選C．【點睛】本題考查求圓錐的母線長．熟練掌握扇形的弧長等于圓錐的底面周長，是解題的關鍵．2．（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習）如圖是某圓弧形橋洞，水面跨徑米，小明為了計算圓弧所在圓的半徑，他在左側水面處測得橋洞高米，則圓弧所在圓的半徑為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】取圓心，連接，，，，根據圓周角定理得，設半徑為米，則米，在中，根據勾股定理得，解得，圓弧所在圓的半徑米．【詳解】解：如圖，取圓心，連接，，，設半徑為米，則米，在中，根據勾股定理得，，即，解得，圓弧所在圓的半徑米．故選：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理以及勾股定理的應用，根據題意作出輔助線，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．3．（2023·河南新鄉·校聯考二模）如圖，將矩形繞點逆時針旋轉得到矩形，點的對應點恰好落在邊上，若的長為，則的長為．【答案】2【分析】連接，，由旋轉可知，根據弧長公式得，得，在中，根據勾股定理得，即，即可求出．【詳解】解：如圖，連接，，由旋轉可知∵的長為，，，四邊形是矩形，，，∴∴在中，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了弧長的計算，矩形的性質和旋轉的性質，熟記公式是解題的關鍵．4．（2022秋·吉林長春·九年級校考期末）如圖，半圓的直徑為，點為半圓的三等分點，點為直徑上任意一點，若陰影部分的面積為，則半圓的半徑為．【答案】5【分析】連接，利用同底等高的三角形面積相等可知陰影部分的面積等于扇形的面積，然后計算半徑即可．【詳解】解：連接，如圖所示，和同底等高，，點為半圓的三等分點，，陰影部分的面積＝，，解得：，故答案為：5．【點睛】本題主要考查了扇形面積求法，利用已知得出陰影部分的面積等于扇形的面積是解題的關鍵．5．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，已知．（1）試用尺規作圖確定所在圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若的度數為120°，的長是8π，求所在圓的半徑的長．【答案】（1）作圖見解析；（2）12【分析】（1）在弧上任取一點C，連接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分線即可（2）根據弧長公式計算即可；【詳解】（1）在弧上任取一點C，連接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分線即可，點O即為所求；（2）如圖，連接AO，BO，∵弧AB的度數為，∴，又∵弧AB的長是，∴，解得：，∴所在圓的半徑的長是12．【點睛】本題主要考查了弧長公式的應用，結合垂直平分線作圖求解是解題的關鍵．6．（2022秋·全國·九年級統考期末）慶祝小麗十三歲生日那天，小麗和位好朋友一起均勻地圍坐在一張半徑為厘米的圓桌旁，每人離圓桌的距離均為厘米．后來小麗的爸爸和媽媽也趕到了，在座的每個人都向后挪動了相同的距離，再左右調整位置，使人都坐下，此時人之間的距離與原來人之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等，那么每人向后挪動的距離是多少厘米？【答案】．【分析】根據人之間的距離與原來人之間的距離相等，列方程求解即可.【詳解】解：設每人向后挪動的距離為，則這個人之間的距離是：，人之間的距離是：，根據等量關系列方程得：，解得．【點睛】本題考查了與圓相關的計算,屬于簡單題,熟悉弧長公式是解題關鍵.【經典例題三求圓心角】1．（2023·河北邯鄲·校考三模）如圖1是邊長為的等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以為圓心，長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的面積是（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據題意的長就是邊的長，由弧長公式求得扇形的圓心角的度數，進而根據扇形面積公式即可求解．【詳解】解：設，，，解得：，圓心角的度數為：扇形的面積是，故選：C．【點睛】本題考查了弧長公式的應用，扇形的面積計算，掌握公式和理解圖形變化前后對應關系是解題的關鍵．2．（2021秋·甘肅金昌·九年級校考階段練習）在半徑為6cm的圓中，長為2πcm的弧所對的圓周角的度數為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根據弧長公式，即可求出弧所對的圓心角的度數．【詳解】∵，∴圓心角的度數為n=2×30°=60°．∴長為2πcm的弧所對的圓周角的度數為，故選A．【點睛】本題考查了弧長的計算，牢記弧長公式是解題的關鍵．3．（2023·云南臨滄·統考三模）現有一個圓周的扇形紙片，該扇形的半徑為40cm，小琪同學為了在“六一”兒童節聯歡晚會上表演節目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊），那么剪去的扇形紙片的圓心角度數為．【答案】30/30度【分析】根據圓錐形紙帽的底面半徑，可計算出展開后的扇形的弧長，根據弧長公式即可算出剩下扇形紙片的圓心角，再利用原來扇形紙片的圓心角減去剩下扇形紙片的圓心角，即可解答．【詳解】解：剩下扇形紙片的弧長為：cm，原來的扇形紙片的圓心角為：，則剩下扇形紙片的圓心角為：，剪去的扇形紙片的圓心角度數為，故答案為：．【點睛】本題考查了扇形的弧長公式和圓錐相關計算，熟知兩者之間的對應關系：圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長兩個關系，是解題的關鍵．4．（2023秋·湖北荊州·九年級統考期末）扇子在我國已經有三、四千年的歷史，中國扇文化有豐富的文化底蘊．如圖，扇形紙扇完全打開后，的長為，扇面的長為，若弧的長為，則扇面的面積為．【答案】【分析】先利用扇形的弧長求出圓心角的度數，再由兩個扇形的面積作差即可得到答案．【詳解】解：設扇形的圓心角為n，則，解得，則扇面的面積為．故答案為：【點睛】此題考查了扇形面積和弧長，熟練掌握扇形面積公式和弧長公式是解題的關鍵．5．（2023·福建·模擬預測）石家莊市水上公園南側新建的摩天輪吸引了附近市民的目光．據工作人員介紹，新建摩天輪直徑為100m，最低點距離地面1m，摩天輪的圓周上均勻地安裝了24個座艙（本題中將座艙視為圓周上的點），游客在距離地面最近的位置進艙，運行一圈時間恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明從摩天輪的底部出發開始觀光，摩天輪轉動1周．(1)小明所在座艙到達最高點時距離地面的高度為

m；(2)在小明進座艙后間隔3個座艙小亮進入座艙（如圖，此時小明和小亮分別位于P、Q兩點），①求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧的長）；②求此時兩人所在座艙距離地面的高度差；(3)受周圍建筑物的影響，當乘客與地面的距離不低于時，可視為最佳觀賞位置，求最佳觀賞時間有多長（不足一分鐘按一分鐘記）．【答案】(1)101(2)①m；②25m(3)5分鐘【分析】（1）根據題意得出最高點是直徑加即可；（2）①求出圓心角的度數，再根據弧長公式進行計算即可；②求出的長即可，利用直角三角形的邊角關系求出的長，進而求出即可；（3）求出達到最佳觀賞位置時，座椅所處的位置，進而求出所夾的弧所對的圓心角的度數，由圓心角所占周角的百分比，得出最佳觀賞時間占13分14秒的百分比，通過計算可得答案．【詳解】（1）解：如圖，由題意可知，，，當座椅轉到點時，距離地面最高，此時，故答案為：101；（2）①圓周上均勻的安裝24個座椅，因此每相鄰兩個座椅之間所對的圓心角為，，的長為，答：兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧的長）為；②由題意得，兩人所在座艙距離地面的高度差就是的長，在中，，，，，即兩人所在座艙距離地面的高度差為；（3）如圖，當時，對應的座椅為點、點，當座椅在上運動時，觀賞位置最佳，此時，，，，的長是圓周長的，因此最佳觀賞位置所持續的時間為：13分14秒的，，答：最佳觀賞時間有多長約有5分鐘．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提，掌握弧長計算公式是正確計算的關鍵．6．（2021·河北邢臺·校考二模）如圖1，扇形的半徑為6，弧長為．（1）求圓心角的度數；（2）如圖2，將扇形繞點逆時針旋轉60°，連接，．①判斷四邊形的形狀并證明；②如圖3，若，將繞點旋轉，與，分別交于點（點，與點，，均不重合），判斷的值是否為定值，如果是定值請求出；如果不是，說明理由．【答案】（1）60°；（2）①菱形，證明見解析；②是，6【分析】（1）根據弧長公式即可得到答案；（2）①證明與是等邊三角形，可得四邊形得四邊相等，從而證明四邊形是菱形；②證明得，從而可得，是定值6．【詳解】解：（1）扇形的半徑為6，弧長為．∴，解得：，∴的度數為60°．（2）①四邊形是菱形．在扇形中，，，∴是等邊三角形，∴，∵將扇形繞點逆時針旋轉60°，∴與是等邊三角形，∴，∴四邊形是菱形．②是定值由①可知與是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即：，又，．∴≌，∴，∴．【點睛】本題考查扇形圓心角的度數、菱形判定、旋轉、全等三角形等綜合知識，熟悉相關性質是解題的關鍵．【經典例題四求某點的弧形運動路徑長度】1．（2023·湖南婁底·統考一模）如圖，一個邊長為的等邊三角形木板在平面直角坐標系上繞點按順時針旋轉到的位置，則頂點從開始到結束所經過的路程及的橫坐標分別為()

A． B．， C．， D．，【答案】A【分析】由題意知，頂點從開始到結束所經過的路徑為圓弧，所對的圓心角為，根據弧長公式計算求得頂點從開始到結束所經過的路程，再根據等邊三角形的三線合一的性質，即可求得的橫坐標．【詳解】解：一個邊長為的等邊三角形木板，在平面直角坐標系上繞點按順時針旋轉到的位置，

，，，作于，是等邊三角形，的橫坐標為，故選：A．【點睛】此題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，弧長公式等知識，得出點運動的路徑是解題關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，將邊長為的正方形繞著其中心點沿所在直線順時針轉動，轉動四周后剛好在以為中心的正方形處，在此過程中，中心點移動的路徑長為(

)

A． B． C． D．無法計算【答案】C【分析】根據正方形的性質可得，，又邊長為的正方形沿直線按順時針方向翻滾當正方形翻滾一周時，需要翻滾四次，而每次正方形的中心所經過的路徑長為弧以為圓心，為半徑，然后根據弧長公式計算出弧的長，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

四邊形為正方形，且邊長為，，，邊長為的正方形沿直線按順時針方向翻滾當正方形翻滾一周時，需要翻滾四次，而每次正方形的中心所經過的路徑長為弧以為圓心，為半徑，弧的長，當正方形翻滾一周時，正方形的中心所經過的路徑長．轉動四周后正方形的中心所經過的路徑長為故選：C．【點睛】本題考查了求弧長，正方形的性質，熟練掌握弧長公式是解題的關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，，分別是射線上的動點，的長始終為，點為的中點，則點的運動路徑長為

【答案】【分析】根據垂直的定義可知是直角三角形，再根據直角三角形的性質可知，最后利用弧長公式即可解答．【詳解】解：連接，∵，∴，∴是直角三角形，∵，∴，∴點的運動路徑長為弧，∴弧的長度：，故答案為．

【點睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的性質，弧長公式，掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．4．（2022秋·浙江金華·九年級校聯考階段練習）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線從處出發沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉，與量角器的半圓弧交于點E，第20秒時點E在量角器上運動路徑長是．

【答案】【分析】首先連接，由，易得點，，，C共圓，然后由圓周角定理，求得點E在量角器上對應的讀數．【詳解】解：連接，

∵，∴A，B，C在以點O為圓心，AB為直徑的圓上，∴點E，A，B，C共圓，∵，∴．∴點E在量角器上運動路徑長，故答案為：2π．【點睛】本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．5．（2023春·陜西西安·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1的正方形，的頂點均在格點上，點A的坐標是

(1)將平移，使點B平移到，畫出平移后的，此時線段的長度為；(2)畫出繞坐標原點O逆時針旋轉后的，那么在旋轉過程中點C走過的路徑長為．【答案】(1)見解析,(2)【分析】(1)根據平移坐標為，得到向左平移1個單位長度，向上平移6個單位長度，確定A，C的平移后坐標，畫圖形即可，利用兩點間的距離公式計算即可．(2)根據勾股定理計算半徑，根據旋轉得到圓心角，利用弧長公式計算即可．【詳解】（1）∵平移坐標為，∴向左平移1個單位長度，向上平移6個單位長度，∵，，∴，，畫圖如下，

則即為所求；∵，，∴，故答案為：．（2）根據勾股定理計算半徑，根據旋轉得到圓心角，故運動路徑長為，故答案為：．

【點睛】本題考查了平移規律，旋轉的性質，勾股定理，弧長公式，熟練掌握平移規律是解題的關鍵．6．（2023春·九年級單元測試）為推進“雙減”政策落地落實，某校在校內課后延時服務中開設了豐富多彩的興趣社團活動，小明同學在手工社團課上制造出一個特殊的小汽車，如圖1是這個小汽車的側面示意圖，其中矩形表示該小汽車的后備箱．在打開后備箱的過程中，箱蓋可以繞點A逆時針方向旋轉，當旋轉角為時，箱蓋落在了的位置（如圖2所示，已知，）．求點E在旋轉過程中經過的路線長．（結果保留根號和）【答案】厘米【分析】連接，，，利用旋轉的性質可得出，，進而可得出是等邊三角形，利用等邊三角形的性質可得出，在中，利用勾股定理可求出的長度，結合可得出、兩點的距離．【詳解】解：連接，，，如圖所示．由題意，得：，，是等邊三角形，．四邊形是矩形，．在中，厘米，厘米，（厘米），的長（厘米）．答：點在旋轉過程中經過的路線長厘米．【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理、求弧長，解題的關鍵是利用勾股定理求出的長度，掌握弧長公式．【經典例題五求扇形面積】1．（2023·山西忻州·校聯考模擬預測）如圖，是等邊三角形，是邊上的中線，以點為圓心，長為半徑畫弧分別交，于點，，過點作于點，交于點，若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據等邊三角形的性質得，，再利用是邊上的中線得到，，，則，易證得是等邊三角形，是等邊三角形重心，然后根據扇形面積公式，用一個扇形的面積減去的面積可得到圖中陰影部分的面積．【詳解】解：為等邊三角形，，，是邊上的中線，，，，，，是等邊三角形，于點，是的角平分線，，是是重心，，圖中陰影部分的面積．故選：A．【點睛】本題考查了扇形面積的計算：陰影面積常用的方法：直接用公式法；和差法；割補法．求陰影面積的主要思路是將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積．也考查了等邊三角形的性質．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，，以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點，連接，則陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】可求，，從而可證是等邊三角形，可得，即可求解．【詳解】解：，，，，，，是等邊三角形，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質，等邊三角形的判定及性質，扇形的面積公式，掌握性質及公式是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，以點為圓心，線段的長為半徑作，交的延長線于點，求出陰影部分的面積（結果保留）．

【答案】【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理利證明，利用勾股定理求出，根據計算即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查扇形的面積，等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是明確．4．（2023秋·河南濮陽·九年級統考期末）如圖，正方形的邊長為，點E為的中點，以E為圓心，為半徑作圓，分別交、于M、N兩點，與切于P點．則圖中陰影部分的面積是．

【答案】【分析】根據直角三角形的性質求出和，根據勾股定理求出，根據扇形面積公式計算，得到答案．【詳解】解：由題意得，，∵，∴，，∴，同理，，∴，陰影部分的面積，故答案為：．【點睛】本題考查的是切線的性質、正方形的性質、扇形面積計算，熟記扇形面積公式是解題的關鍵．5．（2022秋·上海靜安·七年級上海市風華初級中學校考期中）在長方形中，弧是以為圓心的一段圓弧，．

求：(1)用含有的代數式表示陰影部分的面積；(2)當時，求圖中陰影部分的面積（結果保留）．【答案】(1)(2)【分析】（1）由矩形的性質和弧是以為圓心的一段圓弧可得，再根據，進行計算即可得到答案；（2）代入的值即可得到答案．【詳解】（1）解：在長方形中，弧是以為圓心的一段圓弧，，，陰影部分的面積為：；（2）解：當時，．【點睛】本題考查了列代數式及求代數式的值，矩形的性質，扇形的面積公式，熟練掌握矩形的性質，扇形的面積公式，是解題的關鍵．6．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，為的直徑，．動點在上且位于直線上方，連結．作點關于直線的對稱點，連結．

(1)當點與點重合時，的大小為________度；(2)當時，求的長；(3)當平分線段時，求扇形的面積；(4)連接，當時，直接寫出線段的長．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）根據軸對稱的性質即可求解；（2）根據平行線的性質得出，由軸對稱的性質可得，，則，得出是等邊三角形，可得，進而根據弧長公式即可求解；（3）連接，則，由軸對稱的性質可得，則，得出，根據扇形面積公式即可求解；（4）分在優弧時與劣弧時，兩種情況討論即可求解．【詳解】（1）∵關于對稱，∴當與點重合時，∴的大小為度，故答案為：．（2）當時，由軸對稱的性質可得，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；（3）如圖所示，連接，則，

∵平分，∴，由軸對稱的性質可得，∴∵，∴，∴，（4）解：如圖所示，連接交于點，

∴，且，∵，，∴，∴，在中，，∴，∴；如圖所示，連接交的延長線于點，同理可得，則，

在中，，∴的長為或．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，求弧長，求扇形面積，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．【經典例題六求弓形面積】1．（2023·山西臨汾·統考二模）如圖，是的直徑，是弦，，在直徑上截取，延長交于點，若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，過點O作于點F，求出，由圓周角定理得，得，由三角形外角的性質得，由垂徑定理得，根據勾股定理得，根據求解即可．【詳解】解：如圖，連接，過點O作于點F，

則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，∵，∴∠，∴∠，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，扇形面積等知識，求出扇形的半徑和圓心角是解答本題的關鍵．2．（2023秋·九年級單元測試）如圖，是的直徑，弦與垂直，垂足為點，連接并延長交于點，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，首先證明是等邊三角形，證明，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接．∵，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，扇形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題．3．（2023·河南周口·校聯考三模）如圖，在中，，，以中點D為圓心、長為半徑作半圓交線段于點E，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】【分析】連接，，然后根據已知條件求出，，從而得到，最后結合扇形的面積計算公式求解即可．【詳解】解：如圖，連接，．

∵為直徑，∴．∵，∴，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴陰影部分的面積=．故答案為：．【點睛】本題考查陰影部分面積計算問題，涉及到扇形面積計算，等邊三角形的判定與性質，直徑所對的圓周為直角等，掌握扇形面積計算公式是解題關鍵．4．（2023·湖北襄陽·統考模擬預測）如圖，是等腰直角三角形，，以為直徑作交斜邊于點D，點M是中點，過點M作直線于點E，交于點F．(1)證明：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先根據圓周角定理和等腰三角形的性質證得，進而證明，得到，利用切線的判定定理即可證得結論；（2）連接，過點O作，根據等腰三角形的性質證得，則，再證明四邊形是矩形得到，再根據等腰直角三角形的性質求得，由求解即可．【詳解】（1）證明：連接、，∵點M是弧中點，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又是的半徑，∴是的切線；（2）解：連接，過點O作，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴在中，，∵，∴，∵∴．【點睛】本題考查切線的判定、等腰直角三角形的判定與性質、圓周角定理、矩形的判定與性質、扇形的面積公式等知識，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．【經典例題七求其他不規則圖形的面積】1．（2023秋·山西陽泉·九年級統考期末）如圖，為的直徑，射線交于點，點為劣弧的中點，連接