第十六章二次根式章末檢測卷（人教版）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共26題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022·湖北武漢·八年級期末）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次根式加減運算以及乘除運算即可求出答案．【詳解】A.，故該選項不正確，不符合題意；

B.，故該選項正確，符合題意；

C.，故該選項不正確，不符合題意；

D.，故該選項不正確，不符合題意；故選B【點睛】本題考查二次根式的混合運算運算，解題的關鍵是熟練運用二次根式的加減運算以及乘除運算．2．（2022·黑龍江·八年級階段練習）若是整數，則a能取的最小整數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】首先根據二次根式有意義的條件確定a的取值范圍，再根據是整數，即可求得a能取的最小整數．【詳解】解：成立，，解得，又是整數，a能取的最小整數為0，故選：A．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握和運用次根式有意義的條件是解決本題的關鍵．3．（2022·河北承德·七年級期末）如圖，若數軸上點A，B對應的實數分別為和，用圓規在數軸上畫點C，則點C對應的實數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，AB＝2，因為BC＝AB，所以BC＝2，再根據點B對應的數，求出點C對應的實數．【詳解】解：∵點A，B對應的實數分別為，．∴AB（）＝2．由題圖可知，BC＝AB．∴BC＝2．設點C對應的數為x．∴BC＝x．解得x＝3．∴點C對應的數為3．故選：C．【點睛】本題考查了數軸上兩個點之間距離的求法，數軸上兩個點A，B對應的實數分別為x1，x2，則線段AB＝|x1﹣x2|．特別的，當點B在點A的右側時，AB＝x2﹣x1．4．（2022·云南紅河·八年級期末）若x為實數，在“”的“”中添上一種運算符號（在“＋，－，×，÷”中選擇）后，其運算的結果為有理數，則不可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】代入選項，添加運算符然后化簡，其結果不為有理數，即可選出答案【詳解】A．原式＝，結果為有理數；B．原式＝，結果為有理數；C．任意添加一種運算符號，其運算結果都為無理數；D．原式＝，結果為有理數．故選擇C．【點睛】本題考查根式的運算，靈活運用根式的運算法則為關鍵．5.（2022·河北保定·八年級期中）如果最簡二次根式與能夠合并，那么a的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．10【答案】A【分析】先把化簡成最近二次根式，然后根據最簡二次根式與能夠合并，得到被開方數相同，列出一元一次方程求解即可．【詳解】，∵最簡二次根式與能夠合并，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了二次根式化簡，同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式，利用同類二次根式的被開方數相同是解題的關鍵．6.（2022·山東菏澤·八年級期中）把中根號外面的因式移到根號內的結果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次根式的性質直接化簡得出即可．【詳解】解：由題意可知a<0，∴．故選：A．【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡，正確確定二次根式的符號是解題關鍵．7．（2022·綿陽市·八年級課時練習）已知a滿足，則的值為（

）A．0 B．1 C．2021 D．2022【答案】D【分析】根據二次根式有意義的條件得到a的取值范圍，根據a的取值范圍去絕對值，化簡即可得出答案．【詳解】解：由題意知：，解得：，∴

，∵，∴，得：，∴

，即．故選：D【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，出現二次根式中有未知數的題，想到二次根式有意義是解題的關鍵．8．（2022·江西·南城縣第二中學七年級階段練習）已知，，，那么a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把化為再結合從而可得答案．【詳解】解：∵，，，而∴故選A．【點睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關鍵．9．（2022·河北廊坊·八年級階段練習）如圖，在長方形ABCD中無重疊放入面積分別為8和16的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據已知條件可以求出長方形ABCD的長和寬，從而求出長方形ABCD的面積，最后即可求出空白部分的面積．【詳解】解：由已知可得：長方形ABCD的長為，寬為4，∴長方形ABCD的面積為∴空白部分的面積為：故選：A．【點睛】本題考查二次根式的應用，熟練掌握二次根式的意義和長方形、正方形的面積公式是解題關鍵．10．（2022·重慶渝北·八年級期末）二次根式除法可以這樣理解：如．像這樣通過分子、分母同乘以一個式子，把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．判斷下列選項正確的是（

）①若a是的小數部分，則的值為；②對于式子，對它的分子分母同時乘以或，均不能對其分母有理化；③比較兩個二次根式的大??；④計算．A．①② B．③④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】先判斷的整數部分求解a的值，再分母有理化可判斷①，再把的分子，分母都乘以或由結果可判斷②，先把分母有理化，再比較結果的大小可判斷③，逐一把各項分母有理化，再進行二次根式的加減運算即可判斷④，從而可得答案．【詳解】解：∵∴∴故①不符合題意；∵故②符合題意；∵而∴，故③不符合題意；∵故④符合題意；故選D【點睛】本題考查的是二次根式的除法運算，分母有理化，理解分母有理化的含義，熟練的運用分母有理化的方法解決問題是關鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．（2022·山東淄博·八年級期末）將化為最簡二次根式，其結果是__．【答案】【分析】將分母有理化后進行化簡即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的化簡方法解決本題的關鍵．12．（2022·江蘇南通·八年級期中）如圖，數軸上的點P，A表示的數分別為?1，2，過A點的直線l垂直于數軸，點B在直線l上，且AB=OA．連接PB，以P為圓心，PB為半徑作弧，交數軸于點C，則點C表示的數為_______．【答案】##【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出線段PB的長度，然后根據PC＝BP即可求出PC的長度，接著可以求出數軸上點C所表示的數．【詳解】解：在Rt△PAB中，，，∴，∵，∴，∴點C表示的數為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理、數軸上點的表示，解題的關鍵是根據勾股定理求出PB的長．13．（2022·浙江·八年級期末）已知，則的值是_____________．【答案】9【分析】先將原等式變形為，再根據平方的非負性可得，，，由此可求得a、b、c的值，進而可求得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，，∴，，，∴，，，∴，故答案為：9．【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡，熟練掌握二次根式的性質和靈活應用完全平方公式是解決此題的關鍵．14．（2022·山東菏澤·八年級期中）閱讀材料：如果兩個正數a、b，即，，則有下面的不等式，當且僅當時取到等號．我們把叫做正數a、b算術平均數，把叫做正數a、b的幾何平均數，于是上述不等式可表述為：兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數．它在數學中有廣泛的應用，是解決最大（小）值問題的有力工具．根據上述材料，若，則y最小值為________．【答案】【分析】根據“兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數”可得的最小值．【詳解】解∶∵如果兩個正數a、b，即，，則有下面的不等式，當且僅當時取到等號，∴即，當且僅當時，等號成立，∴y的最小值為．故答案為∶．【點睛】本題考查了新定義以及算術平均數與幾何平均數之間的關系，正確理解新定義與性質是解題的關鍵．15．（2022·甘肅白銀·八年級期末）我們經過探索知道，，，，若已知，則_______（用含的代數式表示，其中為正整數）．【答案】【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算數平方根和公式進行化簡與計算，即可求解．【詳解】解：∵，，，，∴故答案為：．【點睛】本題考查數式規律問題、算數平方根、有理數的加減混合運算等知識點，用裂項法將分數進行化簡與計算是解題關鍵．16．（2022·浙江八年級專題練習）已知，則2x﹣18y2＝_____．【答案】【分析】直接利用二次根式的性質將已知化簡，再將原式變形求出答案．【詳解】解：∵一定有意義，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，則2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案為：22．【點睛】本題考查二次根式有意義的應用，以及二次根式的性質應用，屬于提高題．17．（2022·河北·平泉市九年級學業考試）已知長方形的長為a，寬為b，且，．（1）這個長方形的周長為__；（2）若一正方形的面積和這個長方形的面積相等，則這個正方形的邊長為__．【答案】

【分析】利用長方形的周長公式列出代數式并求值；利用等量關系另一個正方形的面積=這個長方形的面積列出等式并計算．【詳解】解：∵，．長方形的周長=2×(+)=2×(+)=12；長方形的面積===24，根據面積相等，則正方形的邊長==．故答案為：；．【點睛】此題主要考查了二次根式的應用，需要掌握長方形和正方形的面積公式與長方形周長公式．18．（2022·浙江寧波·八年級開學考試）若a+6，當a，m，n均為正整數時，則的值為__________．【答案】或##或【分析】先利用完全平方公式將展開，再根據等式左右兩邊對應項相等得到關于m、n的方程組，進而可求解．【詳解】解：∵，∴，，∵a、m、n均為正整數，∴m=1，n=3，或m=3，n=1，當m=1，n=3時，a=12+3×32=28，則；當m=3，n=1時，a=32+3×12=12，則．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了完全平方公式在二次根式混合運算中的運用，熟記完全平方公式，以及分類討論思想的運用，是解答的關鍵．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2022·綿陽市八年級期末）計算：（1）．（2）．（3）．【答案】（1）2；（2）；（3）【分析】（1）根據立方根和二次根式的性質化簡，然后計算即可；（2）先利用二次根式的性質化簡，然后利用二次根式的加減運算法則求解即可；（3）利用二次根式的混合運算法則求解即可.【詳解】解：（1）；（2）；（3）.【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關運算法則進行求解.20．（2022·湖北八年級期中）（1）先化簡，再求值：，其中．（2）已知，，求值．【答案】（1）；（2）11【分析】（1）根據二次根式的性質化簡，然后代入即可求出答案．（2）先由x與y的值計算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy計算可得．【詳解】解：（1）原式，當時，原式．（2）∵，，∴，，原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy＝（2）2﹣1＝12﹣1＝11．【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的混合運算順序和運算法則及完全平方公式、平方差公式．21．（2022·河北八年級期中）先閱讀，再解答：由可以看出，兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式，在進行二次根式計算時，利用有理化因式，有時可以化去分母中的根號，例如：，請完成下列問題：（1）的有理化因式是______；（2）化去式子分母中的根號：______．（直接寫結果）（3）______（填或）（4）利用你發現的規律計算下列式子的值：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2020【分析】（1）根據有理化因式的定義求解；（2）利用分母有理化計算；（3）通過比較它們的倒數大小進行判斷，利用分母有理化得到，，然后進行比較大??；（4）先根據規律，化簡第一個括號中的式子，再利用平方差公式計算即可．【詳解】解：（1）的有理化因式是，故答案為：；（2）∵，故答案為：；（3）∵，，而，∴>，∴<，故答案為：<（4）解：原式【點睛】本題考查了分母有理化和二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．22．（2022·北京市燕山教研中心八年級期中）閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記半周長為p，即，那么這個三角形的面積，這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊長直接求三角形面積的公式．中國南宋數學家秦九韶也得出了類似的公式，稱“三斜求積術”，所以這個公式也稱為“海倫—秦九韶公式”．完成下列問題：如圖，△ABC中，三邊長分別為a＝7，b＝5，c＝6．(1)求△ABC的面積；(2)過點C作CD⊥AB，垂足為點D，請補全圖形，并求線段BD的長．【答案】(1)；(2)補全圖形見解析，BD＝5.【分析】（1）根據海倫公式計算即可；（2）根據等面積法求出CD的長，再根據勾股定理求BD即可．(1)解：，=

＝；(2)解：補全圖形如圖所示：，∴CD＝，∴BD＝＝5．【點睛】本題考查了二次根式的應用、數學常識，根據等面積法求出CD的長是解題的關鍵．23．（2022·山東濟寧·八年級期中）我們知道，是一個無理數，將這個數減去整數部分，差就是小數部分，即的整數部分是1，小數部分是，請回答以下問題：(1)的小數部分是________，的小數部分是________．(2)若a是的整數部分，b是的小數部分，求的平方根．(3)若，其中x是整數，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)11．【分析】（1）確定的整數部分，即可確定它的小數部分；確定的整數部分，即可確定的整數部分，從而確定的小數部分；（2）確定的整數部分，即知a的值，同理可確定的整數部分，從而求得它的小數部分，即b的值，則可以求得代數式+1的值，從而求得其平方根；（3）由得即，從而得x=9，y=，將x、y的值代入原式即可求解．（1）解：∵，∴的整數部分為3，∴的小數部分為，∵，∴，∴即，∴的整數部分為1，∴的小數部分為，故答案為：，；（2）解：∵，a是的整數部分，∴a=9，∵，∴的整數部分為1，∵b是的小數部分，∴，∴∵9的平方根等于，∴的平方根等于；（3）解：∵，∴即，∵，其中x是整數，且，∴x=9，y=，∴．【點睛】本題考查了無理數的估算、求平方根以及求代數式的值，關鍵是掌握二次根式的大小估算方法．24．（2022·福建八年級期中）先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學在研究化簡中發現：首先把化為﹐由于，，即：，，所以，問題：（1）填空：__________，____________﹔（2）進一步研究發現：形如的化簡，只要我們找到兩個正數a，b（），使，，即，﹐那么便有：__________．（3）化簡：（請寫出化簡過程）【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）根據題目所給的方法將根號下的數湊成完全平方的形式進行計算；（2）根據題目給的a，b與m、n的關系式，用一樣的方法列式算出結果；（3）將寫成，4寫成，就可以湊成完全平方的形式進行計算．【詳解】解：（1）；；（2）；（3）==．【點睛】本題考查二次根式的計算和化簡，解題的關鍵是掌握二次根式的運算法則．25．（2022·江西贛州·八年級期中）（閱讀材料）如果兩個正數，，即，，則有下面的不等式：且僅當時取等號，我們把叫做正數，的算術平均數，把叫做正數，的幾何平均數，于是上述的不等式可以表述為：兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數．它在數學中有廣泛的應用，是解決最大（?。┲祮栴}的有力工具．（實例剖析）已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當且僅當時，即時，式子有最小值，最小值為4．（學以致用）根據上面材料回答下列問題：（1）己知，則當______時，式于取到最小值，最小值為______；（2）用籬笆圍一個面積為的長方形花園，問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（3）己知，則______時，分式取到最大值，最大值為_____．【答案】（1）1，2；（2）這個矩形的長、寬各為10米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40米；（3）3，【分析】（1）令a=x，b=，根據即可得答案；（2）設這個矩形的長為x米，根據寬=面積÷