用反比例函數解決問題要點一、利用反比例函數解決實際問題1.基本思路：建立函數模型，即在實際問題中求得函數解析式，然后應用函數的圖象和性質等知識解決問題.2.一般步驟如下：（1）審清題意，根據常量、變量之間的關系，設出函數解析式，待定的系數用字母表示.（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數.（3）寫出函數解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.（4）利用函數解析式、函數的圖象和性質等去解決問題.要點二、反比例函數在其他學科中的應用當圓柱體的體積一定時，圓柱的底面積是高的反比例函數；當工程總量一定時，做工時間是做工速度的反比例函數；在使用杠桿時，如果阻力和阻力臂不變，則動力是動力臂的反比例函數；電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數.要點三、反比例函數中的最值問題理論：若，，則成立（當且僅當時等號成立）例題：對于函數，當取何值時，函數的值最小？最小值是多少？，，當且僅當時，等號成立，由得：或（舍去），經檢驗，是方程的解，故當x=1時，函數y的值最小，最小值是2題型一:反比例函數實際問題與圖象1．已知矩形的面積為，它的長y與寬x之間的關系用圖象大致可表示為（

）A．

B．

C．

D．

2．當溫度不變時，某氣球內的氣壓與氣體體積成反比例函數關系（其圖象如圖所示），已知當氣球內的氣壓時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球內氣體體積V應滿足的條件是（

）

不大于 B．大于 C．不小于 D．小于3．偉大的古希臘哲學家、數學家、物理學家阿基米德有句名言：“給我一個支點，我可以撬動地球！”這句名言道出了“標桿原理”的意義和價值．“標桿原理”在實際生產和生活中，有著廣泛的運用．比如：小明用撬棍撬動一塊大石頭，運用的就是“標桿原理”．已知阻力和阻力臂的函數圖像如圖，若小明想使動力不超過，則動力臂至少需要（）m．A．2 B．1 C．6 D．44．體育課上，甲、乙、丙、丁四位同學進行跑步訓練，如圖用四個點分別描述四位同學的跑步時間y（分鐘）與平均跑步速度x（米/分鐘）的關系，其中描述甲、丙兩位同學的y與x之間關系的點恰好在同一個反比例函數的圖像上，則在這次訓練中跑的路程最多的是（

）

甲 B．乙 C．丙 D．丁5．某商家設計了一個水箱水位自動報警儀，其電路圖如圖1所示，其中定值電阻，是一個壓敏電阻，用絕緣薄膜包好后放在一個硬質凹形絕緣盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水壓的面積S為0.01，壓敏電阻的阻值隨所受液體壓力F的變化關系如圖2所示（水深h越深，壓力F越大），電源電壓保持6V不變，當電路中的電流為0.3A時，報警器（電阻不計）開始報警，水的壓強隨深度變化的關系圖象如圖3所示（參考公式：，，）．則下列說法中不正確的是（

）A．當水箱未裝水（）時，壓強p為0kPaB．當報警器剛好開始報警時，水箱受到的壓力F為40NC．當報警器剛好開始報警時，水箱中水的深度h是0.8mD．若想使水深1m時報警，應使定值電阻的阻值為題型二:利用反比例函數解決實際問題1．如圖是某種電子理療設備工作原理的示意圖,其開始工作時的溫度是，然后按照一次函數關系一直增加到，這樣有利于打通病灶部位的血液循環，在此溫度下再沿反比例函數關系緩慢下降至，然后在此基礎上又沿著一次函數關系一直將溫度升至，再在此溫度下沿著反比例函數關系緩慢下降至，如此循環下去．（1）的值為；（2）如果在分鐘內溫度大于或等于時，治療效果最好，則維持這個溫度范圍的持續時間為分鐘．2．心理學家研究發現，一般情況下，一節課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散.經過實驗分析可知，學生的注意力指標數隨時間（分鐘）的變化規律如圖所示（其中、分別為線段，為雙曲線的一部分）：(1)開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？(2)一道數學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數最低達到36，那么經過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目？請說明理由.3．某水果生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種水果，如圖是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度與時間之間的函數關系，其中線段表示恒溫系統開啟后階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統關閉階段．請根據圖中信息解答下列問題：(1)這個恒溫系統設定的恒定溫度為多少；(2)求全天的溫度與時間之間的函數關系式；(3)若大棚內的溫度低于不利于新品種水果的生長，問這天內，相對有利于水果生長的時間共多少小時？4．心理學研究發現，一般情況下，在一節分鐘的課中，學生的注意力隨學習時間的變化而變化．開始學習時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析可知，學生的注意力指標數隨時間(分鐘)的變化規律如下圖所示(其中分別為線段，為雙曲線的一部分)．

(1)求注意力指標數與時間(分鐘)之間的函數表達式；(2)開始學習后第分鐘時與第分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？(3)某些數學內容的課堂學習大致可分為三個環節：即“教師引導，回顧舊知；自主探索，合作交流；總結歸納，鞏固提高”，其中“教師引導，回顧舊知”環節分鐘；重點環節“自主探索，合作交流”這一過程一般需要分鐘才能完成，為了確保效果，要求學習時的注意力指標數不低于，請問：這樣的課堂學習安排是否合理？并說明理由．5．如圖所示，小明家飲水機中原有水的溫度是，開機通電后，飲水機自動開始加熱，此過程中水溫（）與開機時間（分）滿足一次函數關系．當加熱到時自動停止加熱，隨后水溫開始下降，此過程中水溫（）與開機時間（分）成反比例關系．當水溫降至時，飲水機又自動開始加熱……，不斷重復上述程序．根據圖中提供的信息，解答下列問題：

(1)當時，求水溫（）與開機時間（分）的函數關系式；(2)求圖中的值；(3)有一天，小明在上午（水溫），開機通電后去上學，放學回到家時，飲水機內水的溫度為多少？并求：在這段時間里，水溫共有幾次達到？6．據醫學研究，使用某種抗生素可治療心肌炎，某一患者按規定劑量服用這種抗生素，已知剛服用該抗生素后，血液中的含藥量y（微克）與服用的時間x成正比例藥物濃度達到最高后，血液中的含藥量y（微克）與服用的時間x成反比例，根據圖中所提供的信息，回答下列問題：

(1)抗生素服用_______小時時，血液中藥物濃度最大，每毫升血液的含藥量有____微克；(2)根據圖象求出藥物濃度達到最高值之后，y與x之間的函數解析式及定義域；(3)求出該患者服用該藥物10小時時每毫升血液的含藥量y．題型三：最值問題1．閱讀與思考下面是小米同學的數學筆記，請仔細閱讀并完成相應的任務．如果，，那么，即，得，即是的最小值，當時，等號成立．例題：當時，求的最小值．解：令，，由，得，∴，故當時，有最小值2．任務：(1)填空：已知，只有當______時，有最小值，最小值為______．(2)如圖，P為雙曲線上的一點，過點P作軸于點C，軸于點D，求的最小值．2．【操作發現】由得，；如果兩個正數a，b，即，，則有下面的不等式：，當且僅當時取到等號．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當且僅當時，即時式子有最小值，最小值為4．(1)【問題解決】請根據上面材料回答下列問題：已知，當為多少時，代數式的最小值為；(2)【靈活運用】當時，求的最小值；(3)【學以致用】如圖，民民同學想做一個菱形風箏，現在有一根長的竹竿，他準備把它截成兩段做成風箏的龍骨即菱形的對角線，，請你幫他設計一下，當為多少時菱形的面積最大，最大值為（直接寫出結果）．3．由得，；如果兩個正數a，b，即，則有下面的不等式：，當且僅當時取到等號．例如：已知，求式子的最小值．解：令，則由，得，當且僅當時，即時，式子有最小值，最小值為4．請根據上面材料回答下列問題：(1)當，式子x+的最小值為；(2)當，代數式最大值為多少？并求出此時x的值；(3)用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？4．閱讀材料：①對于任意實數a和b，都有，∴，得到，當且僅當時，等號成立．②任意一個非負實數都可寫成一個數的平方的形式.即：如果a≥0，則．如：等．例：①用配方法求代數式的最小值．②已知，求證：.①解：由題意得：，∵，且當時，，∴，∴當時，代數式的最小值為：；②證明：∵，∴∴，當且僅當，即時，等號成立．請解答下列問題：某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用籬笆圍成（如圖所示）.設垂直于墻的一邊長為x米.(1)若所用的籬笆長為36米，那么：①當花圃的面積為144平方米時，垂直于墻的一邊的長為多少米？②設花圃的面積為S米，求當垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個花圃的面積最大？并求出這個最大面積；(2)若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？題型四：反比例函數綜合運用1．如圖是4個臺階的示意圖，每個臺階的高和寬分別是1和2，每個臺階凸出的角的頂點記作（m為1～4的整數），函數的圖象為曲線L，若曲線L使得，這些點分布在它的兩側，每側各2個點，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．如圖，矩形對角線的交點為，點在軸的正半軸上，平分，的面積為．若雙曲線經過點，交于點，且，則的值為．3．如圖，已知點和點是直線與雙曲線的交點，的面積為．

(1)求的值；(2)設，是反比例函數在同一象限上任意不重合的兩點，，，判斷，的大小，并說明理由．4．已知反比例函數的圖象經過點．(1)試確定此反比例函數的解析式；(2)點是坐標原點，將線段繞點順時針旋轉得到線段．判斷點是否在此反比例函數的圖象上，并說明理由；(3)已知點也在此反比例函數的圖象上（其中），過點作軸的垂線，交軸于點．若線段上存在一點，使得的面積是，設點的縱坐標為，求的值．5．如圖，矩形ABCD的兩邊AD，AB的長分別為3，8，邊BC落在x軸上，E是DC的中點，連接AE，反比例函數的圖象經過點E，與AB交于點F．(1)求AE的長；(2)若，求反比例函數的表達式；(3)在（2）的條件下，連接矩形ABCD兩對邊AD與BC的中點M，N，設線段MN與反比例函數圖象交于點P，將線段MN沿x軸向右平移n個單位，若，直接寫出n的取值范圍．課后練習1．已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：)是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，則當電阻為時，電流為(

)

A． B． C． D．2．如圖1是一個亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現．如圖2是該臺燈的電流．與電阻成反比例函數的圖象，該圖象經過點．根據圖象可知，下列說法正確的是（）

A．當時，B．I與R的函數關系式是C．當時，D．當時，I的取值范圍是3．某蔬菜生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種蔬菜．圖是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度與時間之間的函數關系，其中線段、表示恒溫系統開啟階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統關閉階段．請根據圖中信息解答下列問題：

(1)求這天的溫度y與時間的函數關系式；(2)若大棚內的溫度低于時，蔬菜會受到傷害．問這天內，恒溫系統最多可以關閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？4．心理學家研究發現，一般情況下，一節課分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化：開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析可知，學生的注意力指標數y隨時間x（分鐘）的變化規律如圖所示（其中分別為線段，軸，為雙曲線的一部分），其中段的關系式為．(1)點B坐標為_______；(2)根據圖中數據，求出段雙曲線的表達式；(3)一道數學競賽題，需要講分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數最低達到，那么經過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目?5．為確保身體健康，自來水最好燒開（加熱到）后再飲用．某款家用飲水機，具有加熱、保溫等功能．現將的自來水加入到飲水機中，先加熱到．此后停止加熱，水溫開始下降，達到設置的飲用溫度后開始保溫．比如事先設置飲用溫度為，則水溫下降到后不再改變，此時可以正常飲用．整個過程中，水溫與通電時間之間的函數關系如圖所示．(1)水溫從加熱到，需要______；請直接寫出加熱過程中水溫與通電時間之間的函數關系式：______；(2)觀察判斷：在水溫下降過程中，與的函數關系是______函數，并嘗試求該函數的解析式；(3)已知沖泡奶粉的最佳溫度在左右，某家庭為了給嬰兒沖泡奶粉，將飲用溫度設置為．現將的自來水加入到飲水機中，此后開始正常加熱．則從加入自來水開始，需要等待多長時間才可以接水沖泡奶粉？6．如圖是8個臺階的示意圖，每個臺階的高和寬分別是1和2，每個臺階凸出的角的頂點記作（為的整數）函數的圖像為曲線，若曲線使得這些點分布在它的兩側，每側各4個點，則的取值范圍是（