PAGE§1歸納與類比1．1歸納推理授課提示：對應學生用書第1頁[自主梳理]一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、歸納推理的定義依據一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中________都有這種屬性．我們將這種推理方式稱為歸納推理．三、歸納推理的特征歸納推理是由部分到________，由個別到________的推理．[雙基自測]1．數列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x等于()A．38 B．39C．40 D．412．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集個數歸納出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集個數為()A．n B．n＋1C．2n D．2n－13．在數列{an}中，已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a33為()A．3 B．－3C．6 D．－64．視察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，則可歸納出________．5．如圖(1)，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向三角形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖(2)，如此接著下去，得圖(3)…試用n表示出第(n)個圖形的邊數an＝________.[自主梳理]一、合情演繹二、每一個事物三、整體一般[雙基自測]1．C前6項從第2項起每一項與前一項的差分別為4,5,6,7,8，由此可得x＝31＋9＝40.2．C由前三個集合子集的個數分別為21,22,23，可歸納得出{a1，a2，…，an}的子集個數為2n.3．A由題意可得，a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，歸納出每6項一個循環，則a33＝a3＝3.4．1＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)(n∈N＋)利用歸納推理，不等號的右邊的分母與左邊的最終一項的分母的算術平方根相同，而右邊的分子的改變遵循規律2n＋1，n為正整數．5．3×4n－1視察圖形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{an}是首項為3，公比為4的等比數列，故an＝3×4n－1.授課提示：對應學生用書第1頁探究一數、式中的歸納推理[例1]已知：1＞eq\f(1,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＞1；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＞eq\f(3,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)＞2；….請你歸納出一個最貼切的一般性結論.[解析]1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左邊最終一項的分母為2n－1，而不等式右端依次分別為：eq\f(1,2)，eq\f(2,2)，eq\f(3,2)，eq\f(4,2)，…，eq\f(n,2).歸納得一般結論：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＞eq\f(n,2)(n∈N＋)．依據給出的數與式，歸納一般結論的思路：(1)視察數與式的結構特征，如數、式與符號的關系，代數式的相同或相像之處等；(2)提煉出數、式的改變規律；(3)運用歸納推理寫出一般結論．1．視察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依據上述規律，第五個等式為________．解析：由前三個式子可以得出如下規律：每個式子等號的左邊是從1起先的連續正整數的立方和，且個數依次多1，等號的右邊是一個正整數的平方，后一個正整數依次比前一個大3,4，….因此，第五個等式為13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212探究二幾何圖形中的歸納推理[例2]有兩種花色的正六邊形地面磚．按下圖的規律，拼成若干個圖案，則第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數是()A．26 B．31C．32 D．36[解析]法一：有菱形紋的正六邊形個數如下表：圖案123…個數61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數列，所以第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數是6＋5×(6－1)＝31.法二：由圖案的排列規律可知，除第一塊無紋正六邊形需6個有菱形紋正六邊形圍繞外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊有菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的有菱形紋正六邊形)，故第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數為6＋5×(6－1)＝31.[答案]B圖形的歸納推理問題，可從圖形的改變規律入手求解，一般探討圖形中點、線或面等的增加改變數值，結合數列的學問得出規律．2．(1)如圖(a)(b)(c)(d)為四個平面圖形．數一數，每個平面圖形各有多少個頂點？多少條邊？它們分別圍成了多少個區域？請將結果填入下表(按填好的例子做)；頂點數邊數區域數(a)463(b)(c)(d)(2)視察上表，推斷一個平面圖形的頂點數、邊數、區域數之間有什么關系；(3)現已知某個平面圖形有1005個頂點，且圍成了1005個區域，試依據以上關系確定這個圖形有多少條邊．解析：(1)填表如下：頂點數邊數區域數(a)463(b)8125(c)694(d)10156(2)由該表可以看出，所給四個平面圖形的頂點數、邊數及區域數之間有下述關系：4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.所以我們可以推斷：任何平面圖形的頂點數、邊數及區域數之間都有下述關系：頂點數＋區域數－邊數＝1.(3)由上面所給的關系，可知所求平面圖形的邊數．邊數＝頂點數＋區域數－1＝1005＋1005－1＝2009.對歸納推理的特征駕馭不精確致誤[例3]對隨意正整數n，猜想2n與n2的大小關系是________．[解析]當n＝1時，21＞12；當n＝2時，22＝22；當n＝3時，23＜32；當n＝4時，24＝42；當n＝5時，25＞52，當n＝6時，26＞62；所以可以猜想當n＝3時，2n＜n2；當n∈N＋且n≠3時，2n≥n2.[答案]當n＝3時，2n＜n2；當n