PAGE第三章導數應用[A組基礎鞏固]1．函數f(x)＝2x3－6x2－18x－7在[1,4]上的最小值為()A．－64 B．－51C．－56 D．－61解析：f′(x)＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3，f(3)＝－61，f(1)＝－29，f(4)＝－47.所以所求的最小值為－61.答案：D2．已知函數f(x)＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值為eq\f(15,4)，則a的值為()A．－eq\f(3,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)或－eq\f(3,2)解析：當a≤－1時，最大值為4，不合題意；當－1<a<2時，f(x)在[a,2]上是減函數，此時f(a)最大，所以－a2－2a＋3＝eq\f(15,4)，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝－eq\f(3,2)(舍去)．答案：C3．若函數f(x)＝asinx＋eq\f(1,3)sin3x在x＝eq\f(π,3)處有最值，那么a等于()A．2 B．1C.eq\f(2\r(3),3) D．0解析：∵f′(x)＝acosx＋cos3x(x∈R)，又f(x)在x＝eq\f(π,3)處有最值，故x＝eq\f(π,3)是函數f(x)的極值點，所以f′(eq\f(π,3))＝acoseq\f(π,3)＋cosπ＝0，即a＝2，故選A.答案：A4．函數f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)e\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)e\f(π,2)))C．[1，eeq\f(π,2)] D．(1，eeq\f(π,2))解析：f′(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)＋eq\f(1,2)ex(cosx－sinx)＝excosx，當0≤x≤eq\f(π,2)時，f′(x)≥0，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數．∴f(x)的最大值為f(eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)eeq\f(π,2)，f(x)的最小值為f(0)＝eq\f(1,2).答案：A5．如圖，將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強度系數為k，k＞0)．要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，斷面的寬x應為()A.eq\f(d,3) B.eq\f(d,2)C.eq\f(\r(3),3)d D.eq\f(\r(2),2)d解析：設斷面高為h，則h2＝d2－x2.設橫梁的強度函數為f(x)，則f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0＜x＜d.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝±eq\f(\r(3),3)d(舍去負值)．當0＜x＜eq\f(\r(3),3)d時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；當eq\f(\r(3),3)d＜x＜d時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減．所以函數f(x)在定義域(0，d)內只有一個極大值點x＝eq\f(\r(3),3)d.所以x＝eq\f(\r(3),3)d時，f(x)有最大值，故選C.答案：C6．設x0是函數f(x)＝eq\f(1,2)(ex＋e－x)的最小值點，則曲線上點(x0，f(x0))處的切線方程是________．解析：f′(x)＝eq\f(1,2)(ex－e－x)，令f′(x)＝0，∴x＝0，可知x0＝0為最小值點．切點為(0,1)，f′(0)＝0為切線斜率，∴切線方程為y＝1.答案：y＝17．函數f(x)＝4x2(x－2)在[－1,1]上的最小值為______，最大值為________．解析：∵f(x)＝4x3－8x2，∴f′(x)＝12x2－16x＝4x(3x－4)．令f′(x)＝0，則x＝0或x＝eq\f(4,3).又x∈[－1,1]，∴f(1)＝－4，f(0)＝0，f(－1)＝－12.∴f(x)的最大值為0，最小值為－12.答案：－1208．設f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，當x∈[－1,2]時，f(x)<m恒成立，則實數m的取值范圍是________．解析：f′(x)＝3x2－x－2＝(x－1)(3x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－eq\f(2,3).f(1)＝1－eq\f(1,2)－2＋5＝eq\f(7,2)，f(－eq\f(2,3))＝－eq\f(8,27)－eq\f(2,9)＋eq\f(4,3)＋5＝5eq\f(22,27).又f(－1)＝－1－eq\f(1,2)＋2＋5＝eq\f(11,2)，f(2)＝8－2－4＋5＝7.所以f(x)max＝f(2)＝7.所以m>7.答案：(7，＋∞)9．求函數y＝f(x)＝eq\f(x－1,x2＋1)在區間[0,4]上的最值．解析：y′＝eq\f((x2＋1)－(x－1)·2x,(x2＋1)2)＝eq\f(－x2＋2x＋1,(x2＋1)2).令y′＝0，即－x2＋2x＋1＝0，得x＝1±eq\r(2)，而x＝1－eq\r(2)?[0,4]．∴當x∈(0,1＋eq\r(2))時，f′(x)>0；當x∈(1＋eq\r(2)，4)時，f′(x)<0.∴x＝1＋eq\r(2)是f(x)的極大值點，f(x)極大值＝f(1＋eq\r(2))＝eq\f(\r(2)－1,2).∵f(0)＝－1，f(4)＝eq\f(3,17)，∴函數的最大值為eq\f(\r(2)－1,2)，最小值為－1.10．某單位用2160萬元購得一塊空地，安排在該地塊上建立一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經測算，假如將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝eq\f(購地總費用,建筑總面積))解析：設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，則f(x)＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)(x≥10，x∈N＋)，f′(x)＝48－eq\f(10800,x2)，令f′(x)＝0，得x＝15或x＝－15(舍去)，當x>15時，f′(x)>0；當10≤x<15時，f′(x)<0.因此當x＝15時，f(x)取最小值f(15)＝2000.故為了樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為15層．[B組實力提升]1．已知f(x)＝ax3－6ax2＋b在區間[－1,2]上的最大值為3，最小值為－29(a>0)，則()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不對解析：∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，由f′(x)＝0，解得x＝0或x＝4(舍)，又f(－1)＝b－7a，f(0)＝b，f(2)＝b－16a，∴f(x)min＝b－16a，f(x)max＝b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－16a＝－29,b＝3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3.))故選C.答案：C2．函數f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在區間[0，eq\f(π,2)]上的值域為()A．[] B．()C．[] D．()解析：f′(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)＋eq\f(1,2)ex(cosx－sinx)＝excosx.當x∈[0，eq\f(π,2)]時，f′(x)≥0，即f(x)在[0，eq\f(π,2)]上是增加的．∴f(x)max＝f(eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)eeq\f(π,2)，f(x)min＝f(0)＝eq\f(1,2).答案：A3．某種產品每件成本為6元，每件售價為x元(x＞6)，年銷量為u萬件，若已知eq\f(585,8)－u與(x－eq\f(21,4))2成正比，且售價為10元時，年銷量為28萬件，則該產品的年最大利潤為__________萬元．解析：設eq\f(585,8)－u＝k(x－eq\f(21,4))2，因為售價為10元時，年銷量為28萬件，所以eq\f(585,8)－28＝k(10－eq\f(21,4))2，解得k＝2，所以u＝－2＋eq\f(585,8)＝－2x2＋21x＋18，所以年利潤f(x)＝(x－6)(－2x2＋21x＋18)＝－2x3＋33x2－108x－108，則f′(x)＝－6x2＋66x－108＝－6(x－2)(x－9)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝9，因為x＞6，所以x＝9.當6＜x＜9時，f′(x)＞0；當x＞9時，f′(x)＜0，所以x＝9為f(x)的極大值點，所以當x＝9時，年利潤最大，最大年利潤為f(9)＝135萬元．答案：1354．等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，則AB＝__________時，等腰梯形面積最大．解析：如圖，設∠A＝θ，則h＝AD·sinθ，AB＝40＋2ADcosθ，故S＝eq\f(1,2)AD·sinθ(40＋40＋2ADcosθ)＝20(80＋80cosθ)sinθ＝1600(1＋cosθ)sinθ.S′＝1600[cosθ(1＋cosθ)－sinθsinθ]，令S′＝0得cosθ＝－1，cosθ＝eq\f(1,2).因為0＜θ＜eq\f(π,2)，所以cosθ＞0.所以cosθ＝eq\f(1,2).即θ＝eq\f(π,3)時，等腰梯形的面積最大，此時AB＝40＋2×40×eq\f(1,2)＝80.答案：805．已知函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2處取得微小值－eq\f(4,3).(1)求f(x)的單調遞增區間；(2)若x∈[－4,3]時，有f(x)≤m2＋m＋eq\f(10,3)恒成立，求實數m的取值范圍．解析：(1)f′(x)＝x2＋a，由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′(2)＝4＋a＝0,f(2)＝\f(8,3)＋2a＋b＝－\f(4,3)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，))令f′(x)＝x2－4>0，得f(x)的單調遞增區間為(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4，當x改變時，f′(x)與f(x)的改變狀況如下表：x－4(－4，－2)－2(－2,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)－eq\f(4,3)eq\f(28,3)－eq\f(4,3)1所以x∈[－4,3]時，f(x)max＝eq\f(28,3).于是f(x)≤m2＋m＋eq\f(10,3)在x∈[－4,3]上恒成立，等價于m2＋m＋eq\f(10,3)≥eq\f(28,3)，解得m∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)．6．已知函數f(x)＝ex－kx，x∈R.(1)若k＝e，試確定函數y＝f(x)的單調區間；(2)若k>0，且對于隨意x∈R，y＝f(|x|)>0恒成立，試確定實數k的取值范圍．解析：(1)由k＝e得f(x)＝ex－ex，所以f′(x)＝ex－e.由f′(x)>0得x>1，故y＝f(x)的遞增區間是(1，＋∞)，由f′(x)<0得x<1，故y＝f(x)的遞減區間是(－∞，1)．(2)由f(|－x|)＝f(|x|)可知y＝f(|x|)是偶函數，于是y＝f(|x|)>0對隨意x∈R成立等價于y＝f