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PAGE第三章導數(shù)應用[A組基礎鞏固]1.函數(shù)f(x)=2x3-6x2-18x-7在[1,4]上的最小值為()A.-64 B.-51C.-56 D.-61解析:f′(x)=6x2-12x-18,令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3,f(3)=-61,f(1)=-29,f(4)=-47.所以所求的最小值為-61.答案:D2.已知函數(shù)f(x)=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值為eq\f(15,4),則a的值為()A.-eq\f(3,2) B.eq\f(1,2)C.-eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)或-eq\f(3,2)解析:當a≤-1時,最大值為4,不合題意;當-1<a<2時,f(x)在[a,2]上是減函數(shù),此時f(a)最大,所以-a2-2a+3=eq\f(15,4),解得a=-eq\f(1,2)或a=-eq\f(3,2)(舍去).答案:C3.若函數(shù)f(x)=asinx+eq\f(1,3)sin3x在x=eq\f(π,3)處有最值,那么a等于()A.2 B.1C.eq\f(2\r(3),3) D.0解析:∵f′(x)=acosx+cos3x(x∈R),又f(x)在x=eq\f(π,3)處有最值,故x=eq\f(π,3)是函數(shù)f(x)的極值點,所以f′(eq\f(π,3))=acoseq\f(π,3)+cosπ=0,即a=2,故選A.答案:A4.函數(shù)f(x)=eq\f(1,2)ex(sinx+cosx)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上的值域為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2)e\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2)e\f(π,2)))C.[1,eeq\f(π,2)] D.(1,eeq\f(π,2))解析:f′(x)=eq\f(1,2)ex(sinx+cosx)+eq\f(1,2)ex(cosx-sinx)=excosx,當0≤x≤eq\f(π,2)時,f′(x)≥0,∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上是增函數(shù).∴f(x)的最大值為f(eq\f(π,2))=eq\f(1,2)eeq\f(π,2),f(x)的最小值為f(0)=eq\f(1,2).答案:A5.如圖,將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁,橫截面為矩形,橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強度系數(shù)為k,k>0).要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁,斷面的寬x應為()A.eq\f(d,3) B.eq\f(d,2)C.eq\f(\r(3),3)d D.eq\f(\r(2),2)d解析:設斷面高為h,則h2=d2-x2.設橫梁的強度函數(shù)為f(x),則f(x)=k·xh2=k·x(d2-x2),0<x<d.令f′(x)=k(d2-3x2)=0,解得x=±eq\f(\r(3),3)d(舍去負值).當0<x<eq\f(\r(3),3)d時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當eq\f(\r(3),3)d<x<d時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)f(x)在定義域(0,d)內(nèi)只有一個極大值點x=eq\f(\r(3),3)d.所以x=eq\f(\r(3),3)d時,f(x)有最大值,故選C.答案:C6.設x0是函數(shù)f(x)=eq\f(1,2)(ex+e-x)的最小值點,則曲線上點(x0,f(x0))處的切線方程是________.解析:f′(x)=eq\f(1,2)(ex-e-x),令f′(x)=0,∴x=0,可知x0=0為最小值點.切點為(0,1),f′(0)=0為切線斜率,∴切線方程為y=1.答案:y=17.函數(shù)f(x)=4x2(x-2)在[-1,1]上的最小值為______,最大值為________.解析:∵f(x)=4x3-8x2,∴f′(x)=12x2-16x=4x(3x-4).令f′(x)=0,則x=0或x=eq\f(4,3).又x∈[-1,1],∴f(1)=-4,f(0)=0,f(-1)=-12.∴f(x)的最大值為0,最小值為-12.答案:-1208.設f(x)=x3-eq\f(1,2)x2-2x+5,當x∈[-1,2]時,f(x)<m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是________.解析:f′(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2),令f′(x)=0,得x=1或x=-eq\f(2,3).f(1)=1-eq\f(1,2)-2+5=eq\f(7,2),f(-eq\f(2,3))=-eq\f(8,27)-eq\f(2,9)+eq\f(4,3)+5=5eq\f(22,27).又f(-1)=-1-eq\f(1,2)+2+5=eq\f(11,2),f(2)=8-2-4+5=7.所以f(x)max=f(2)=7.所以m>7.答案:(7,+∞)9.求函數(shù)y=f(x)=eq\f(x-1,x2+1)在區(qū)間[0,4]上的最值.解析:y′=eq\f((x2+1)-(x-1)·2x,(x2+1)2)=eq\f(-x2+2x+1,(x2+1)2).令y′=0,即-x2+2x+1=0,得x=1±eq\r(2),而x=1-eq\r(2)?[0,4].∴當x∈(0,1+eq\r(2))時,f′(x)>0;當x∈(1+eq\r(2),4)時,f′(x)<0.∴x=1+eq\r(2)是f(x)的極大值點,f(x)極大值=f(1+eq\r(2))=eq\f(\r(2)-1,2).∵f(0)=-1,f(4)=eq\f(3,17),∴函數(shù)的最大值為eq\f(\r(2)-1,2),最小值為-1.10.某單位用2160萬元購得一塊空地,安排在該地塊上建立一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算,假如將樓房建為x(x≥10)層,則每平方米的平均建筑費用為560+48x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應建為多少層?(注:平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用,平均購地費用=eq\f(購地總費用,建筑總面積))解析:設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元,則f(x)=(560+48x)+eq\f(2160×10000,2000x)=560+48x+eq\f(10800,x)(x≥10,x∈N+),f′(x)=48-eq\f(10800,x2),令f′(x)=0,得x=15或x=-15(舍去),當x>15時,f′(x)>0;當10≤x<15時,f′(x)<0.因此當x=15時,f(x)取最小值f(15)=2000.故為了樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應建為15層.[B組實力提升]1.已知f(x)=ax3-6ax2+b在區(qū)間[-1,2]上的最大值為3,最小值為-29(a>0),則()A.a(chǎn)=2,b=-29 B.a(chǎn)=3,b=2C.a(chǎn)=2,b=3 D.以上都不對解析:∵f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),由f′(x)=0,解得x=0或x=4(舍),又f(-1)=b-7a,f(0)=b,f(2)=b-16a,∴f(x)min=b-16a,f(x)max=b,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b-16a=-29,b=3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=3.))故選C.答案:C2.函數(shù)f(x)=eq\f(1,2)ex(sinx+cosx)在區(qū)間[0,eq\f(π,2)]上的值域為()A.[] B.()C.[] D.()解析:f′(x)=eq\f(1,2)ex(sinx+cosx)+eq\f(1,2)ex(cosx-sinx)=excosx.當x∈[0,eq\f(π,2)]時,f′(x)≥0,即f(x)在[0,eq\f(π,2)]上是增加的.∴f(x)max=f(eq\f(π,2))=eq\f(1,2)eeq\f(π,2),f(x)min=f(0)=eq\f(1,2).答案:A3.某種產(chǎn)品每件成本為6元,每件售價為x元(x>6),年銷量為u萬件,若已知eq\f(585,8)-u與(x-eq\f(21,4))2成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件,則該產(chǎn)品的年最大利潤為__________萬元.解析:設eq\f(585,8)-u=k(x-eq\f(21,4))2,因為售價為10元時,年銷量為28萬件,所以eq\f(585,8)-28=k(10-eq\f(21,4))2,解得k=2,所以u=-2+eq\f(585,8)=-2x2+21x+18,所以年利潤f(x)=(x-6)(-2x2+21x+18)=-2x3+33x2-108x-108,則f′(x)=-6x2+66x-108=-6(x-2)(x-9).令f′(x)=0,得x=2或x=9,因為x>6,所以x=9.當6<x<9時,f′(x)>0;當x>9時,f′(x)<0,所以x=9為f(x)的極大值點,所以當x=9時,年利潤最大,最大年利潤為f(9)=135萬元.答案:1354.等腰梯形ABCD中,上底CD=40,腰AD=40,則AB=__________時,等腰梯形面積最大.解析:如圖,設∠A=θ,則h=AD·sinθ,AB=40+2ADcosθ,故S=eq\f(1,2)AD·sinθ(40+40+2ADcosθ)=20(80+80cosθ)sinθ=1600(1+cosθ)sinθ.S′=1600[cosθ(1+cosθ)-sinθsinθ],令S′=0得cosθ=-1,cosθ=eq\f(1,2).因為0<θ<eq\f(π,2),所以cosθ>0.所以cosθ=eq\f(1,2).即θ=eq\f(π,3)時,等腰梯形的面積最大,此時AB=40+2×40×eq\f(1,2)=80.答案:805.已知函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)x3+ax+b(a,b∈R)在x=2處取得微小值-eq\f(4,3).(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若x∈[-4,3]時,有f(x)≤m2+m+eq\f(10,3)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.解析:(1)f′(x)=x2+a,由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′(2)=4+a=0,f(2)=\f(8,3)+2a+b=-\f(4,3)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-4,,b=4,))令f′(x)=x2-4>0,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2)和(2,+∞).(2)f(x)=eq\f(1,3)x3-4x+4,當x改變時,f′(x)與f(x)的改變狀況如下表:x-4(-4,-2)-2(-2,2)2(2,3)3f′(x)+0-0+f(x)-eq\f(4,3)eq\f(28,3)-eq\f(4,3)1所以x∈[-4,3]時,f(x)max=eq\f(28,3).于是f(x)≤m2+m+eq\f(10,3)在x∈[-4,3]上恒成立,等價于m2+m+eq\f(10,3)≥eq\f(28,3),解得m∈(-∞,-3]∪[2,+∞).6.已知函數(shù)f(x)=ex-kx,x∈R.(1)若k=e,試確定函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若k>0,且對于隨意x∈R,y=f(|x|)>0恒成立,試確定實數(shù)k的取值范圍.解析:(1)由k=e得f(x)=ex-ex,所以f′(x)=ex-e.由f′(x)>0得x>1,故y=f(x)的遞增區(qū)間是(1,+∞),由f′(x)<0得x<1,故y=f(x)的遞減區(qū)間是(-∞,1).(2)由f(|-x|)=f(|x|)可知y=f(|x|)是偶函數(shù),于是y=f(|x|)>0對隨意x∈R成立等價于y=f
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