試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁一輪難題復習推理與證明典型解答題一、知識網絡二、合情推理（一）歸納推理1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。2.歸納推理的一般步驟：第一步，通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質；第二步，從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題（猜想）。題型1：用歸納推理發(fā)現規(guī)律（1）觀察：對于任意正實數，試寫出使成立的一個條件可以是____.（2）蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖。其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數。則（二）類比推理1.類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理。簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。2.類比推理的一般步驟：第一步：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；第二步：用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想.題型2：用類比推理猜想新的命題（1）已知正三角形內切圓的半徑是高的，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是______.（三）合情推理1.定義：歸納推理和類比推理都有是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統稱為合情推理。簡言之，合情推理就是合乎情理的推理。2.推理的過程：思考探究：（1）歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯系?

①歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現一般性規(guī)律的重要方法。②類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。三、演繹推理（一）含義：1.演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論。演繹推理又叫邏輯推理。2.演繹推理的特點是由一般到特殊的推理。（二）演繹推理的模式1.演繹推理的模式采用“三段論”：（1）大前提——已知的一般原理(M是P)；（2）小前提——所研究的特殊情況(S是M)；（3）結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷(S是P)。2.從集合的角度看演繹推理：（1）大前提：x∈M且x具有性質P；（2）小前提：y∈S且SM（3）結論：y具有性質P（三）演繹推理與合情推理合情推理與演繹推理的關系：1.從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理。2.從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確。四、直接證明與間接證明（一）三種證明方法：綜合法、分析法、反證法分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發(fā)，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執(zhí)果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。反證法：它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個命題的一般步驟：（1）假設命題的結論不成立；（2）根據假設進行推理，直到推理中導出矛盾為止

（3）斷言假設不成立（4）肯定原命題的結論成立用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設；（2）歸謬；（3）結論。重難點：在函數、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數學問題中，選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數學命題考點1：綜合法在銳角三角形中，求證：考點2：分析法已知，求證考點3：反證法已知，證明方程沒有負數根五、數學歸納法1.數學歸納法的定義：一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數N的所有正整數n都成立時，可以用以下兩個步驟：（1）證明當時命題成立；（2）假設當時命題成立，證明n=k+1時命題也成立。在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于的所有正整數都成立。這種證明方法稱為數學歸納法。2.數學歸納法的本質：無窮的歸納→有限的演繹（遞推關系）3.數學歸納法步驟：（1）（遞推奠基）：當n取第一個值結論正確；（2）（遞推歸納）：假設當時結論正確；（歸納假設）證明當n=k+1時結論也正確。（歸納證明）由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數n都正確。題型1：

已知n是正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設時命題為真，則還需證明（

）A.n=k+1時命題成立

B.n=k+2時命題成立C.n=2k+2時命題成立

D.n=2（k+2）時命題成立題型2：用數學歸納法證明不等式例題1．（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心；（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓”與，軸的交點.連結“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實數，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.例題2．（1）證明：；（2）證明：對任何正整數n，存在多項式函數，使得對所有實數x均成立，其中均為整數，當n為奇數時，，當n為偶數時，；（3）利用（2）的結論判斷是否為有理數？例題3．對于數列：、、、、，若不改變，僅改變、、、中部分項的符號（可以都不改變），得到的新數列稱為數列的一個生成數列，如僅改變數列、、、、的第二、三項的符號，可以得到一個生成數列：、、、、.已知數列為數列的生成數列，為數列的前項和.（1）寫出的所有可能的值；（2）若生成數列的通項公式為，求；（3）用數學歸納法證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為.例題4．已知正整數數列滿足：，，（）.（1）已知，，試求、的值；（2）若，求證：；（3）求的取值范圍.試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁一輪難題復習推理與證明典型解答題一、知識網絡二、合情推理（一）歸納推理1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。2.歸納推理的一般步驟：第一步，通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質；第二步，從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題（猜想）。題型1：用歸納推理發(fā)現規(guī)律（1）觀察：對于任意正實數，試寫出使成立的一個條件可以是____.點撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數之和為22，故（2）蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖。其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數。則【解題思路】找出的關系式[解析]總結：處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數據的關系（二）類比推理1.類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理。簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。2.類比推理的一般步驟：第一步：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；第二步：用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想.題型2：用類比推理猜想新的命題（1）已知正三角形內切圓的半徑是高的，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是______.【解題思路】從方法的類比入手[解析]原問題的解法為等面積法，即，類比問題的解法應為等體積法，即正四面體的內切球的半徑是高總結：①不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比。②類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數列與等比數列類比；實數集的性質向復數集的性質類比；圓錐曲線間的類比等（三）合情推理1.定義：歸納推理和類比推理都有是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統稱為合情推理。簡言之，合情推理就是合乎情理的推理。2.推理的過程：思考探究：（1）歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯系?

①歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現一般性規(guī)律的重要方法。②類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。三、演繹推理（一）含義：1.演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論。演繹推理又叫邏輯推理。2.演繹推理的特點是由一般到特殊的推理。（二）演繹推理的模式1.演繹推理的模式采用“三段論”：（1）大前提——已知的一般原理(M是P)；（2）小前提——所研究的特殊情況(S是M)；（3）結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷(S是P)。2.從集合的角度看演繹推理：（1）大前提：x∈M且x具有性質P；（2）小前提：y∈S且SM（3）結論：y具有性質P（三）演繹推理與合情推理合情推理與演繹推理的關系：1.從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理。2.從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確。四、直接證明與間接證明（一）三種證明方法：綜合法、分析法、反證法分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發(fā)，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執(zhí)果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。反證法：它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個命題的一般步驟：（1）假設命題的結論不成立；（2）根據假設進行推理，直到推理中導出矛盾為止

（3）斷言假設不成立（4）肯定原命題的結論成立用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設；（2）歸謬；（3）結論。重難點：在函數、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數學問題中，選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數學命題考點1：綜合法在銳角三角形中，求證：[解析]考點2：分析法已知，求證[解析]總結：注意分析法的“格式”是“要證—只需證—”，而不是“因為—所以—”考點3：反證法已知，證明方程沒有負數根【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾[解析]總結：否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多五、數學歸納法1.數學歸納法的定義：一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數N的所有正整數n都成立時，可以用以下兩個步驟：（1）證明當時命題成立；（2）假設當時命題成立，證明n=k+1時命題也成立。在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于的所有正整數都成立。這種證明方法稱為數學歸納法。2.數學歸納法的本質：無窮的歸納→有限的演繹（遞推關系）3.數學歸納法步驟：（1）（遞推奠基）：當n取第一個值結論正確；（2）（遞推歸納）：假設當時結論正確；（歸納假設）證明當n=k+1時結論也正確。（歸納證明）由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數n都正確。題型1：

已知n是正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設時命題為真，則還需證明（

）A.n=k+1時命題成立

B.n=k+2時命題成立C.n=2k+2時命題成立

D.n=2（k+2）時命題成立[解析]

因n是正偶數，故只需證等式對所有偶數都成立，因k的下一個偶數是k+2，故選B總結：用數學歸納法證明時，要注意觀察幾個方面：（1）n的范圍以及遞推的起點（2）觀察首末兩項的次數（或其它），確定n=k時命題的形式（3）從的差異，尋找由k到k+1遞推中，左邊要加（乘）上的式子題型2：用數學歸納法證明不等式[解析]總結：（1）數學歸納法證明命題，格式嚴謹，必須嚴格按步驟進行；（2）歸納遞推是證明的難點，應看準“目標”進行變形；（3）由k推導到k+1時，有時可以“套”用其它證明方法，如：比較法、分析法等，表現出數學歸納法“靈活”的一面。例題1．（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心；（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓”與，軸的交點.連結“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實數，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）作圖見解析；（3）存在，【解析】【分析】（1）根據點差法可求出平行弦的中點的軌跡方程為，顯然直線經過橢圓中心原點；（2）由（1）知，平行弦的中點軌跡必過橢圓中心，所以作出兩組平行弦的中點軌跡所在直線，兩條直線的交點即為橢圓的中心；（3）由（1）的結論可知，．設出直線和弦的中點坐標，即可求得中點所在的軌跡方程為橢圓方程．當或時，平行弦的軌跡可以在直線上，不總在橢圓上．【詳解】（1）證明：設斜率為的直線與橢圓交于點兩點，．中點坐標為，所以，所以，，作差得，，即有，即，再根據中點在橢圓內部，所以，即，解得．故平行弦的中點的軌跡方程為，，所以橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡過橢圓中心．（2）如圖所示，點即為橢圓中心．（3）由（1）的結論可知，．設交“果圓”于兩點，中點為，則，，則，即．易證，當或時，“果圓”的平行弦的軌跡可以在直線上，不總在橢圓上．所以，當時，“果圓”的平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．【點睛】本題主要考查了點差法求中點弦的軌跡方程，以及中點弦的軌跡應用，意在考查學生的數學運算和數學建模能力，屬于難題．例題2．（1）證明：；（2）證明：對任何正整數n，存在多項式函數，使得對所有實數x均成立，其中均為整數，當n為奇數時，，當n為偶數時，；（3）利用（2）的結論判斷是否為有理數？【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解析】【分析】（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進行證明；（2）對分奇偶，即和兩種情況，結合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數學歸納法進行證明；（3）根據（2）的結論，將表示出來，然后判斷其每一項都為無理數，從而得到答案.【詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數時，時，，其中，成立時，，其中，成立時，，其中，成立，則當時，所以得到因為均為整數，所以也均為整數，故原式成立；為偶數時，時，，其中，時，，其中，成立，時，，其中，成立，則當時，所以得到其中，因為均為整數，所以也均為整數，故原式成立；綜上可得：對任何正整數，存在多項式函數，使得對所有實數均成立，其中，均為整數，當為奇數時，，當為偶數時，；（3）由（2）可得其中均為有理數，因為為無理數，所以均為無理數，故為無理數，所以不是有理數.【點睛】本題考查利三角函數的二倍角的余弦公式，積化和差公式，數學歸納法證明，屬于難題.例題3．對于數列：、、、、，若不改變，僅改變、、、中部分項的符號（可以都不改變），得到的新數列稱為數列的一個生成數列，如僅改變數列、、、、的第二、三項的符號，可以得到一個生成數列：、、、、.已知數列為數列的生成數列，為數列的前項和.（1）寫出的所有可能的值；（2）若生成數列的通項公式為，求；（3）用數學歸納法證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為.【答案】（1）、、、；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據生成數列定義，可知當時，，、分別為、中取值，由此給出的所有可能的情況，即可計算出的所有可能值；（2）利用，分、、三種情況討論，利用分組求和與等比數列的求和公式即可求得；（3）利用數學歸納法證明：①當時命題成立；②假設當時，，證明出，結合歸納原理即可證明出結論成立.【詳解】（1）由題意得，