專題18導數之隱零點問題1．已知函數（表示不超過實數的最大整數），若函數的零點為，則（）A． B．-2 C． D．2．設函數，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是____.3．已知函數．（1）求的最值；（2）若對恒成立，求的取值范圍．4．已知函數，證明．5．設函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，求證：．6．已知函數，．（1）求函數的極值；（2）當時，證明：．7．已知函數在上有兩個極值點，，且．（1）求實數的取值范圍；（2）證明：當時，．8．設函數．（1）求函數的圖象在點處的切線方程；（2）求的單調區間；（3）若，為整數，且當時，，求的最大值．9．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）證明：不等式恒成立．10．已知函數（1）若是的極值點，求的值，并討論的單調性；（2）當時，證明：．11．設函數f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)當a＝－1時，求函數f(x)的單調區間；(2)若函數f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))上有兩個零點，求實數a的取值范圍．12．已知二次函數.（1）討論函數的單調性；（2）設函數，記為函數極大值點，求證：..13．已知函數，且.（1）求；（2）證明：存在唯一極大值點，且.14．已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）當時，，記函數在上的最大值為，證明：.15．已知函數.（1）求的極值；（2）若在上的最大值為，求證：.16．已知函數且.（1）求實數的值；（2）令在上的最小值為，求證：.17．已知函數．（1）若函數，討論在的單調性；（2）若，對任意恒成立，求整數k的最大值．18．已知函數，．（1）若是函數的極值點，求a的值；（2）當時，證明：專題18導數之隱零點問題1．已知函數（表示不超過實數的最大整數），若函數的零點為，則（）A． B．-2 C． D．【解析】因為，所以在上恒成立，即函數在上單調遞增；又，所以在上必然存在零點，即，因此，所以.故選B2．設函數，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是____.【解析】函數有三個零點等價于與有三個不同的交點，當時，，則，在上單調遞減，在上單調遞增，且，，，從而可得圖象如下圖所示：通過圖象可知，若與有三個不同的交點，則3．已知函數．（1）求的最值；（2）若對恒成立，求的取值范圍．【解析】（1），令，得；令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，無最大值．（2）由題知，在上恒成立，令，則，因為，所以．設，易知在上單調遞增．因為，，所以存在，使得，即．當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增，所以，從而，故的取值范圍為．4．已知函數，證明．【解析】在上單調遞增，，，在存在唯一實數根，且，當時，，，時，，當時，函數取得最小值，，即，，．5．設函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，求證：．【解析】（1）時，令，可化為，即，易知為增函數，且，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，又，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．（2）令，可化為，，當時，易知為上增函數，當時，；當時，；當時，，而，所以存在，，即，當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以．6．已知函數，．（1）求函數的極值；（2）當時，證明：．【解析】（1）∵，，∴，當時，恒成立，函數單調遞減，函數無極值；當時，時，，函數單調遞減；時，，函數單調遞增，故函數的極小值為，無極大值．（2）證明：令，，故，令的根為，即，兩邊求對數得，即，∴當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，∴，∴，即原不等式成立．7．已知函數在上有兩個極值點，，且．（1）求實數的取值范圍；（2）證明：當時，．【解析】（1），，由題意知方程在上有兩不等實根，設，其圖象的對稱軸為直線，故有，解得．（2）證明：由題意知是方程的大根，從而，，由于，，．設，，，，在，遞增，，即成立．8．設函數．（1）求函數的圖象在點處的切線方程；（2）求的單調區間；（3）若，為整數，且當時，，求的最大值．【解析】（1），，，，，函數的圖象在點處的切線方程為．（2），．若，則恒成立，所以，在區間上單調遞增．若，則當時，，當時，，所以，在區間上單調遞減，在上單調遞增．3）由于，所以，．故當時，．①令，則．函數在上單調遞增，而（1），（2）．所以在上存在唯一的零點，故在上存在唯一的零點．設此零點為，則．當時，；當時，；所以，在上的最小值為．由，可得，所以，，．由于①式等價于．故整數的最大值為2．9．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）證明：不等式恒成立．【解析】（1），當時，，所以在上單調遞增；當時，令，得到，所以當時，，單調遞增；當，，單調遞減，綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）設函數，則，可知在上單調遞增．又由，，知在上有唯一實數根，且，則，即．當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，結合，知，所以，則，即不等式恒成立．10．已知函數（1）若是的極值點，求的值，并討論的單調性；（2）當時，證明：．【解析】（1）由函數的定義域，因為，是的極值點，所以（1），所以，所以，因為和，在上單調遞增，所以在上單調遞增，當時，；時，，此時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為，（2）證明：當時，，設，則，因為和，在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為（1），（2），所以存在使得，所以在上使得，在，上，所以在單調遞減，在，上單調遞增，所以，因為，即，所以，所以，因為，所以，所以．11．設函數f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)當a＝－1時，求函數f(x)的單調區間；(2)若函數f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))上有兩個零點，求實數a的取值范圍．【解析】(1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，當a＝－1時，f′(x)＝－2x－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(－2x2－x＋1,x)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2)(負值舍去)，當0<x<eq\f(1,2)時，f′(x)>0；當x>eq\f(1,2)時，f′(x)<0.∴f(x)的單調遞增區間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，單調遞減區間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－eq\f(lnx,x).令g(x)＝x－eq\f(lnx,x)，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，則g′(x)＝1－eq\f(1－lnx,x2)＝eq\f(x2＋lnx－1,x2)，令g′(x)＝0，得x＝1，當eq\f(1,3)≤x<1時，g′(x)<0；當1<x≤3時，g′(x)>0，∴g(x)的單調遞減區間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))，單調遞增區間為(1,3]，∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函數f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))上有兩個零點，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝3ln3＋eq\f(1,3)，g(3)＝3－eq\f(ln3,3)，3ln3＋eq\f(1,3)>3－eq\f(ln3,3)，∴實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，3－\f(ln3,3))).12．已知二次函數.（1）討論函數的單調性；（2）設函數，記為函數極大值點，求證：..【解析】（1），，當時，在上恒正；所以在上單調遞增.當時，由得，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，當時，單調遞減；當時，單調遞增.（2），則，，令的，當時，為增函數；當時，為減函數；所以，在處取得極大值，一定有個零點，分別是的極大值點和極小值點.設是函數的一個極大值點，則，所以，又，所以，此時，所以.13．已知函數，且.（1）求；（2）證明：存在唯一極大值點，且.【解析】（1）因為,且,所以,構造函數,則,又,若,則,則在上單調遞增,則當時,矛盾,舍去；若,則,則當時,，則在上單調遞增，則矛盾，舍去；若,則,則當時,,則在上單調遞減,則矛盾,舍去；若,則當時,,當時,,則在上單調遞減,在上單調遞增,故,則,滿足題意；綜上所述,.（2）證明:由（1）可知,則,構造函數,則,又在上單調遞增,且,故當時,,當時,,則在上單調遞減,在上單調遞增,又,,又,結合零點存在性定理知,在區間存在唯一實數,使得,當時,,當時,,當時,,故在單調遞增,在單調遞減,在單調遞增,故存在唯一極大值點,因為,所以,故,因為,所以.14．已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）當時，，記函數在上的最大值為，證明：.【解析】（1）函數的定義域是，.當時，恒成立，故函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間.當時，令得時，令得，故函數的單調遞增區間為單調遞減區間為；（2）證明：當時，，則.當時，，令，則.所以在上單調增.因為，，所以存在使得，即，即.故當時，，此時；當時，，此時.即在上單調遞增，在上單調遞減，則.令，，則，所以在上單調遞增，則，所以.15．已知函數.（1）求的極值；（2）若在上的最大值為，求證：.【解析】（1）因為函數，定義域為，所以.由，得；由，得.所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，所以的極小值為，無極大值.（2）因為，所以.令，則，當時，，所以在上單調遞增.因為，，所以存在使得，即，即.故當時，，此時；當時，，此時.即在上單調遞增，在上單調遞減，則.令，則，所以在上單調遞增.則當時，，，所以.由（1）知在上單調遞減，因為，，所以.16．已知函數且.（1）求實數的值；（2）令在上的最小值為，求證：.【解析】（1）法1：由題意知：恒成立等價于在時恒成立，令，則，當時，，故在上單調遞增，由于，所以當時，，不合題意.當時，，所以當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，即.所以要使在時恒成立，則只需，亦即，令，則，所以當時，；當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增.又，所以滿足條件的只有2，即.法2：由題意知：恒成立等價于在時恒成立，令，由于，故，所以為函數的最大值，同時也是一個極大值，故.又，所以，此時，當時，，當時，，即：在上單調遞增；在上單調遞減.故合題意.（2）由（1）知，所以，令，則，由于，所以，即在上單調遞增；又，，所以，使得，且當時，；當時，，即在上單調遞減；在上單調遞增.所以.（∵）即，所以，即.17．已知函數．（1）若函數，討論在的單調性；（2）若，對任意恒成立，求整數k的最大值．【解析】（1）因為，令，則．所以函數在單調遞增，從而，所以．由，得；由，得，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．（2）因為，對任意恒成立，所以．令，則，所以在R上單調遞增，又，，所以存在唯一的，使得，又，由（1）知當時，，所以，所以存在唯一的，使得，即．當時，，所以單調遞減；當時，