復(fù)數(shù)的知識點(diǎn)總結(jié)與題型歸納

一、知識要點(diǎn)

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

我們把集合C=｛a+〃|a，gR｝中的數(shù)，即形如a+b\(a,b￡R)的數(shù)叫做

復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.

全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集.

復(fù)數(shù)通常用字母2表示，即z=a+歷伍，h￡R),這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的

代數(shù)形式.

對于復(fù)數(shù)z=a+6i,以后不作特殊說明都有小b《R,其中的。與人分別叫

做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.

說明：

(1)復(fù)數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個(gè)數(shù)都可以寫成。+砥凡〃￡R)的形式，其

中0=0+0i.

(2)復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)數(shù)b而非bi.

(3)復(fù)數(shù)z=〃+bi只有在Q,b￡R時(shí)才是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形

式.

2.復(fù)數(shù)相等

在復(fù)數(shù)集C=｛。+加|〃，。仁R｝中任取兩個(gè)數(shù)〃+Z?i,c+di(a,b,c,d￡R),

我們規(guī)定：〃+為與c+di相等的充要條件是a=c且b=d.

3.復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)”+方，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)。=8=0時(shí)，它是

實(shí)數(shù)0；當(dāng)力￥0時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng)。=0且b￥0時(shí)，叫做純虛數(shù).這樣，復(fù)數(shù)z

=。+方可以分類如下：

有MJ實(shí)數(shù)俗=0)，

>j數(shù)方

I虛數(shù)(bWO)(當(dāng)。=0時(shí)為純虛數(shù)).

說明：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系

4.復(fù)數(shù)的幾何意義

⑴復(fù)數(shù)Z=〃+歷m，b￡R)-----------紅J復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(mb)

(2)復(fù)數(shù)z=a+0i(a,Z?eR)二口理平面向量

5.復(fù)數(shù)的模

⑴定義:向量0Z的模??叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b￡R)的模.

(2)記法：復(fù)數(shù)z=a+bi的模記為|z|或|〃+歷|.

(3)公式：|z|=<+加=r=7『+/0,r￡R).

說明：實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對應(yīng)

的有序?qū)崝?shù)對為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0,表示的是實(shí)數(shù).

6.復(fù)數(shù)的加、減法法則

設(shè)zi=a+bi,Z2=c+%(〃，b,c,d￡R),

則zi+z2=(a+c)+S+d)i，zi-Z2=(〃-c)+g-4i.

7.復(fù)數(shù)加法運(yùn)算律

設(shè)Z],Z2，Z3《C,有Z1+Z2=Z2+Z],(Z]+Z2)+Z3=Z|+(22+23).

8.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

設(shè)復(fù)數(shù)Z],Z2對應(yīng)的向量為&T，75滑，則復(fù)數(shù)Z]+Z2是以&T，~OZ^

為鄰邊的平行四邊形的對角線N所對應(yīng)的復(fù)數(shù)，ZI-Z2是連接向量標(biāo)與

oz；的終點(diǎn)并指向7升的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù).

它包含兩個(gè)方面：一方面是利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)

運(yùn)算去處理，另一方面對于一些復(fù)數(shù)的運(yùn)算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工

具運(yùn)用于幾何之中.

9.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則

設(shè)z1=a+bi,Z2=c+di(。，b,c,d￡R),則z「Z2=(a+歷)(c+di)=(。。一加Z)

+(ad+兒)i.

10.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對任意復(fù)數(shù)zi，zz，z3ec,有

交換律Z\'Zz=Z2'Z\

結(jié)合律(Z「Z?>Z3=Z「(ZrZ3)

分配律Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z]Z3

11.共聊復(fù)數(shù)

已知zi=a+bi,Z2=c+di,a,b,c,d￡R,則

(l)Z］,Z2互為共枕復(fù)數(shù)的充要條件是〃=c且人=-d.

(2)Z1,Z2互為共枕虛數(shù)的充要條件是。=。且力=一dWO.

12.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則：

a-\-b\ac+bd,bc-ad,,

(a+bi)+(c+*)=在咨=再后+Kji(c+diW0).

說明：在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法時(shí)，分子、分母同乘以分母的共施復(fù)數(shù)c—M,化簡

后即得結(jié)果，這個(gè)過程實(shí)際上就是把分母實(shí)數(shù)化，這與根式除法的分母“有理化”

很類似.

二、題型總結(jié)

題型一：復(fù)數(shù)的概念及分類

x2—X—n,

［典例］實(shí)數(shù)X分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)Z=+(r-2x-15)i是(1)實(shí)

人IJ

數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)?

彳2—2,r—15^0

［解］(1)當(dāng)x滿足＜「，八~’即x=5時(shí)，Z是實(shí)數(shù).

［%+3A0,

f—2,丫—15W0,

(2)當(dāng)x滿足《「二八'即％W-3且時(shí)，z是虛數(shù).

―十3￥0,

’X2一1一6

x+3=0,

(3)當(dāng)x滿足彳即x=-2或x=3時(shí)，z是純虛數(shù).

x2—2%—15￡0,

』+3W0,

復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵

⑴利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，關(guān)鍵是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實(shí)部、

虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式.求解參數(shù)時(shí)，注意考慮問題要全面，當(dāng)條件不滿足代數(shù)形

式z=a+bi(mb￡R)時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式.

(2)注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件

設(shè)復(fù)數(shù)z=a+b\(a,A￡R),則①z為實(shí)數(shù)Ob=0,②z為虛數(shù)ObWO,③z

為純虛數(shù)臺〃=0,6W0.④z=00〃=0,且8=0

題型二、復(fù)數(shù)相等

［典例］己知關(guān)于x的方程9+(1—2i)x+(3機(jī)一i)=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)相

的值為，方程的實(shí)根x為.

［解析］設(shè)。是原方程的實(shí)根，則『+(］-2m+(36一i)=o,

即(。2+。+3機(jī))一(2。+l)i=0+0i,所以/+々+3罐=0且2。+1=0,

所以4=一；且(一/}—；+3m=0,所以m=心.

題型三：復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系

2__x

［典例］求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=a“2—+(/—2〃-15)i(〃￡R)

對應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件：

(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi).

(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方.

(cr-a-6

［解］(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則，。+3V'解得〃V—3.

1。2一2。-15>0,

fa2—2a—15>0,

(2)點(diǎn)Z在x軸上方，則J-即3+3)3—5)>0,解得a>5

、a+3H0,

或〃V—3.

題型四：復(fù)數(shù)的模

［典例］(1)若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上，且|z|=#,則復(fù)數(shù)z=()

A.l+2iB.11—2i

C.±l±2iD.l+2i或一l—2i

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1=〃+2i,Z2=-2+i,且?|V|Z2|,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—8,-l)u(l,+8)B.(-1,1)

C.(1,+oo)D.(0,+8)

［解析］(1)依題意可設(shè)復(fù)數(shù)z=a+2ai(〃￡R),由一=小得7/十戒二迎

解得々=±1,故z=l+2i或z=-l-2i.

(2)因?yàn)槌鰘=y/d+4,閡=<4+1=小,所以，J+4V小,即/+4V5,

所以/vi,

即一IVQVI.

［答案］(1)D(2)B

題型五：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系

［典例］向量aT對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5—4i,向量"5元對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一5+4「

則函*十醞*對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.-10+8iB.10-8i

C.0D.10+8i

［解析］因?yàn)橄蛄?T對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-4i,向量7N對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一5+

4i,所以&T=(-5,4),~OZ^=(5,-4),所以O(shè)Z；=(5,-4)+(—5,4)=(0,0),

所以&T+礪*對應(yīng)的復(fù)數(shù)是o.

［答案］c

題型六：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算

［典例］(1)計(jì)算：(2-3i)+(-4+2i)=.

(2)已知Z|=(3x—4y)+(y—2x)i,Z2=(—2x+y)+(x—3y)i,x,y為實(shí)數(shù)，若

z1-Z2=5-3i,則|zi+z2|=.

［解析］(1)(2—3i)+(—4+2i)=(2-4)+(—3+2)i=-2—i.

(2)Z|—Z2=［(3X—4y)+(y—2x)i］—［(—2x+y)+(x—3y)i］=［(3x-4y)—(—2x+

y)］+［(y-2x)—(x-3y)］i=(5x-5y)+(—3x+4y)i=5—3i,

5x-5y=5,

所以1r一c解得x=l,y=0,

、―3x+4y=-3,

所以Zi=3—2i,Z2=-2+i,則zi+z2=l—i,所以出十封二地.

［答案］(l)-2-i(2)/

題型七：復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義

［典例］如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,眾

C分別表示0,3+2i,-2+4i.求：《旬\

(1)~A0表示的復(fù)數(shù)；

_____-3-2-\(A［234*

(2)對角線-CA表示的復(fù)數(shù)；十

(3)對角線/表示的復(fù)數(shù).

［解］(1)因?yàn)槎?二蘇，所以AO’表示的復(fù)數(shù)為一3一2i.

(2)因?yàn)?=~oT一二75百，所以對角線75F表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)一(一

2+4i)=5-2i.

(3)因?yàn)閷蔷€"5F=PF+7寸，所以對角線PF表示的復(fù)數(shù)為(3+

2i)+(-2+4i)=l+6i.

題型八：復(fù)數(shù)模的最值問題

［典例］⑴如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z—i|=2,那么|z+i+l|的最小值是()

A.1B,^

C.2D.小

(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z+5+i|W1,求|z|的最大值和最小值.

［解析］⑴設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為

-i，i,-l?iZ|,Z2,Z3,

因?yàn)閨z+i|+|z?i|=2,2億2|=2,所以點(diǎn)Z的集合為線段ZiZ?.

問題轉(zhuǎn)化為：動(dòng)點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動(dòng)，求IZZ3I的最小值，因?yàn)閮|億3|二1.

所以|z+i+l|min=L

［答案］A

(2)解：如圖所示，|方才|=叱一小)，十(一1)，=2.

所以憶島=2+1=3,憶扃=2-1=1.

o

-1

題型九：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

［典例］(1)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(l+〃i)(2+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。等于

)

D.-2

(2)(江蘇高考)復(fù)數(shù)z=(l+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是

［解析］(l)(l+ai)(2+i)=2—。+(l+2〃)i,要使復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以有2—a

=0』+2aW0,解得。=2.

(2)(l+2i)(3-i)=3-i+6i-2i2=5+5i,所以z的實(shí)部是5.

題型十：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算

［典例］(1)若復(fù)數(shù)z滿足z(2—i)=ll+7i(i是虛數(shù)單位)，則2為()

A.3+5iB.3-5i

C.-3+5iD.-3-5i

(2)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)巖為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。為()

A.2B.-2

C.—2D.^

［解析］⑴?；(2-i)=ll+7i,

U+7i(U+7i)(2+i)15+25i.

2—i=(2—i)(2+i)=-5—=3+51

l+〃i(l+〃