專題04相似三角形重要模型之一線三等角模型相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．1）一線三等角模型（同側型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，結論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結論：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·重慶渝北·九年級統考期末）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點．將沿翻折，點正好落在線段上的點處，使得．若，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是等邊三角形，＝＝＝60°，由沿DE折疊C落在AB邊上的點F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設AF=m，BF=2m，AB=3m，設AD＝x，CD=DF＝，由BE=2，BC＝，可得CE＝，可證，利用性質，即，解方程即可【詳解】解：∵是等邊三角形，∴＝＝＝60°，∵沿DE折疊C落在AB邊上的點F上，∴，∴＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，設AF=m，BF=2m，AB=3m，設＝x，＝DF＝，∵BE=2，BC＝，∴CE＝，∵＝，＝60°，∴＝120°，＝120°，∴＝，∵＝，∴，∴，即，解得：，使等式有意義，∴＝，故選擇：A．【點睛】本題考查等邊三角形性質和折疊性質以及相似三角形的性質和判定，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．例2．（2023·黑龍江綏化·校聯考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現在有如下五個結論：①一定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】如圖1中，證明，，可得，可得，，可得①②正確，如圖2中，當M與C重合時，設．則，證明，可得，即，可得，可得③正確，如圖3中，當點F與點D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，可得④錯誤，如圖1中，于H，，同理可得：，可得，結合，可得⑤正確．【詳解】解：如圖1中，

∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正確，如圖2中，當M與C重合時，設．則，

∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正確，如圖3中，當點F與點D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯誤，如圖1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正確，故選：C．【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．例3．（2022·湖北武漢·模擬預測）[問題背景]（1）如圖1，是等腰直角三角形，，直線過點，，，垂足分別為，．求證：；[嘗試應用]（2）如圖2，，，，，三點共線，，，，．求的長；[拓展創新]（3）如圖3，在中，，點，分別在，上，，，若，直接寫出的值為．【答案】（1）見解析；（2）；（3）5【分析】（1）由“”可證；（2）延長，交于點，過點作于，由（1）可知：，可得，，由直角三角形的性質可求解；（3）通過證明，可求，通過證明，可求，即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）如圖2，延長，交于點，過點作于，由（1）可知：，∴，，∵，，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴；（3）如圖3，過點作，交的延長線于，延長交于，過點作于，過點作于，∵，∴設，，∴，由（1）可知：，∴，，∵，，，∴，∴，，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形或相似三角形是本題的關鍵．例4．（2022?廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點，且，與相似嗎？請說明理由.（2）模型應用：為等邊三角形，其邊長為，為邊上一點，為射線上一點，將沿翻折，使點落在射線上的點處，且.①如圖2，當點在線段上時，求的值；②如圖3，當點落在線段的延長線上時，求與的周長之比.【答案】（1），見解析；（2）①；②與的周長之比為.【分析】（1）根據三角形的內角和得到，即可證明；（2）①設，，根據等邊三角形的性質與折疊可知，，，根據三角形的內角和定理得，即可證明，故，再根據比例關系求出的值；②同理可證，得，得，再得到，再根據相似三角形的性質即可求解.【詳解】解（1），理由：，在中，，，，，，，；（2）①設，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，；②設，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，..與的周長之比為.【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知等邊三角形的性質及相似三角形的判定與性質.例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過、向經過點直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發現結論：．（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結論；．請你說明理由．（2）學以致用：如圖③，在平面直角坐標系中，直線與直線交于點，且兩直線夾角為，且，請你求出直線的解析式．（3）拓展應用：如圖④，在矩形中，，，點為邊上—個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉，點落在點處，當點在矩形外部時，連接，．若為直角三角形時，請你探究并直接寫出的長．

【答案】（1）理由見解析；（2）；（3）長為3或．【分析】（1）根據同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似；（2）過點作交直線于點，分別過、作軸，軸，由（1）得，從而得到，然后結合相似三角形的性質和銳角三角函數求出，，從而確定N點坐標，然后利用待定系數法求函數解析式；（3）分兩種情形討論：①如圖1中，當∠PDC=90°時．②如圖2中，當∠DPC=90°時，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設BE=x．分別求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴又∵∴∴∵．∴（2）如圖，過點作交直線于點，分別過、作軸，軸由（1）得

∴∵坐標

∴，∵

∴解得：，

∴設直線表達式為，代入，得，解得，∴直線表達式為（3）解：①如圖1中，當∠PDC=90°時，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠PDC=180°，∴A、D、P共線，∵EA=EP，∠AEP=90°，∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，∴∠BAE=45°，∵∠B=90°∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB=3．②如圖2中，當∠DPC=90°時，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設BE=x，∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠PEF，在△ABE和△EFP中，∴△ABE≌△EFP，∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，∴CF=3-（5-x）=x-2，∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，∴△PHD∽△CHP，∴PH2=DH?CH，∴（x-2）2=x（3-x），∴x=或（舍棄），∴BE=，綜上所述，當△PDC是直角三角形時，BE的值為3或．【點睛】本題考查旋轉變換、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．例6．（2023·浙江·九年級專題練習）在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．（1）如圖，若點在線段上運動，交于．①求證：；②當是等腰三角形時，求的長；（2）如圖，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由；（3）若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．【答案】（1）①見解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，見解析【分析】（1）①根據等腰直角三角形的性質得到，再證，根據相似三角形的判定定理證明即可；②根據等腰三角形的性質，分，和三種情況討論，再根據相似三角形的性質求解；（2）先證得，再根據相似三角形的性質計算即可；（3）根據三角形內角和定理以及三角形外角的性質定理，進行判斷即可．【詳解】（1）①證明：∵，，∴．∴．又∵，∴．∴；②解：分三種情況：（i）當，時，得到，點分別與重合，∴．（ii）當時，在△ABD和△DCE中，，∴，∴，∵BC=，∴，∴；（iii）當時，有，∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴．綜上所述，當是等腰三角形時，的長為2，或1．（2）解：存在．∵，∴．∵，∴．∴，∴，∴，當，．（3）解：不存在．理由如下：如圖，∵和不重合，∴，又，，∴≠．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理等知識，分情況討論是解答本題的關鍵．例7．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┤鐖D，矩形中，，點是邊上的一個動點，聯結，過點作，垂足為點.

(1)設，的余切值為，求關于的函數解析式；(2)若存在點，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；(3)對（2）中求出的矩形，聯結，當的長為多少時，是等腰三角形？【答案】(1)(2)(3)或或1【分析】（1）根據已知條件矩形和，得出，，從而求出，再根據求出結果；（2）假設存在，由題意、與四邊形的面積比是，可得，設，證，根據三角形的相似比，從而求解；（3）過點作，垂足為點，判斷是等腰三角形，要分類討論，①；②；③，根據三角形相似進行求解．【詳解】（1）解：，，，，∵在矩形中，，∴，則，；（2）：四邊形的面積比是，，，設，則，∵，，，且，，，解得，，∴；（3）①時，過點作，垂足為點，則，，延長交于點，

，，當時，是等腰三角形；②時，則，，，，則，當時，是等腰三角形；③時，則點在的垂直平分線上，故為中點．，，，∴，，，即，∴，解得，當時，是等腰三角形，綜上：的長度為或或1．【點睛】此題難度比較大，主要考查矩形的性質、相似三角形的性質、三角函數及等腰三角形的判定，考查知識點比較多，綜合性比較強，另外要注意輔助線的作法．課后專項訓練1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習）如圖，點E、F分別在矩形的邊上，且，若，則的長為（

）

A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【分析】證明，根據對應邊成比例即可求得．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，故選：A．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，證明相似三角形是本題的關鍵．2．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點D是線段上的一點，連接，過點B作，分別交、于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，下列結論錯誤的是（

）A．B．若點D是AB的中點，則C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時，D．若，則【答案】D【分析】由，可確定A項正確；由可得，進而由確定點F為的三等分點，可確定B項正確；當B、C、F、D四點在同一個圓上時，由圓內接四邊形的性質得到，得到為圓的直徑，因為，根據垂徑定理得到，故C項正確；因為D為的三等分點，即，可得，由此確定D項錯誤．【詳解】解：依題意可得，∴，∴，又，∴．故A項正確；如圖，∵，，∴．在與中，，∴，∴，又∵，∴；∵為等腰直角三角形，∴；∴；∵，∴，∴，∴．故B項正確；當B、C、F、D四點在同一個圓上時，由圓內接四邊形的性質可得，∴是B、C、F、D四點所在圓的直徑，∵，∴，∴，故C項正確；∵，，，∴，∴，，∴，∴；∴．故D項錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應用，有一定的難度．對每一個結論，需要仔細分析，嚴格論證；注意各結論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關聯關系，需要善加利用．3．（2023秋·山東聊城·九年級?？茧A段練習）如圖，在正方形中，是的中點，是上一點，，則下列結論中正確的結論有（

）①；②；③；④圖中有3對相似三角形．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由題中條件可得，進而得出對應線段成比例，進而又可得出，即可得出題中結論．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，是的中點，，，故①正確；由可得，的正切值相同，，，，，，，，故②正確；，，，與不全等，故③錯誤；由以上證得，，，故④正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質，其中又涉及正方形的一些性質問題，能夠熟練掌握這些定理是解題的關鍵．4．（2023春·安徽六安·八年級統考期中）在一次數學活動課上，小穎發現：將三角板的直角頂點放在長方形紙片的邊上移動，恰好存在兩直角邊分別經過點，情形（如圖）．如果，，則的長應為（

）

A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或6【答案】B【分析】根據得出，再根據長方形的性質證得，，從而得到，最后根據相似三角形的對應邊成比例即可求出的長．【詳解】解：由題意知，，四邊形為長方形，，，，，，，，設，則，，整理得，，解得，，，即的長應為2或8，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質．5．（2023·遼寧丹東·統考中考真題）如圖，在正方形中，，點E，F分別在邊，上，與相交于點G，若，則的長為．【答案】【分析】根據題意證明，，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，又，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，掌握這些性質是解題的關鍵．6．（2023春·山東煙臺·八年級統考期末）如圖．是等邊三角形，點D，E分別為邊，上的點，，若，，則的長為．

【答案】或【分析】根據是等邊三角形，得到，，推出，得到，得到，然后代入數值求得結果．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴，即，解得：或，經檢驗：或是原方程的解，故答案為：或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質，注意數形結合和方程思想的應用．7．（2023·江蘇鹽城·校聯考二模）如圖，在矩形中，，點E、F分別是邊上的動點，且，當為時，最大．【答案】/【分析】在中，，則，當增加時，也增加，因為，要使取最大值，所以取最小值，然后證明，利用二次函數求得的最小值即可．【詳解】設，∵矩形中，，∴，∴,∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即，整理得：，∵，∴當時，y取最小值，∵中，，∴，∴要使取最大值，即最大時，y應取最小值，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查二次函的最值、三角形相似的判定和性質、正切函數的性質，也體現了數學中轉化的思想，靈活運用是關鍵．8．（2023春·廣東深圳·八年級校考期中）如圖，在等邊中，，，E，F分別為邊，上的點，將沿所在直線翻折，點A落在邊上的G點，得到三角形，則的面積為．

【答案】【分析】過點G作于點M，過點F作于點N，由已知條件及翻折的性質可知，可得，，，，，設，則，在中，由勾股定理可求出x值，即可得，，證明，則，可得和，在中，可得，利用三角形面積公式直接求的面積即為的面積．【詳解】解：過點G作于點M，過點F作于點N．

∵為等邊三角形，，，∴，，，由翻折可知，，，在中，，，∴，，設，則，在中，由勾股定理可得，，解得，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，∴，在中，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題）、等邊三角形的性質、相似三角形的判定與性質、解直角三角形等知識，熟練掌握翻折的性質是解答本題的關鍵．9．（2023·山西·九年級專題練習）如圖，在中，，，，，，則CD的長為______．【答案】5【分析】在CD上取點F，使，證明，求解再證明，利用相似三角形的性質求解即可得到答案.【詳解】解：在CD上取點F，使，，，由，，，，且，，，∽，，，，又，，∽，，又，，或舍去，經檢驗：符合題意，．故答案為：5．本題考查的是等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質，掌握以上知識是解題的關鍵.10．（2023·安徽·九年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關于x的函數關系式為________【答案】【分析】根據題意證明，列出比例式即可求得y關于x的函數關系式【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，函數解析式，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．11．（2023·湖南·統考中考真題）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．

(1)證明：．(2)求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據題意得出，，則，即可得證；（2）根據（1）的結論，利用相似三角形的性質列出比例式，代入數據即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，解得：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．12．（2023秋·安徽阜陽·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，點、分別是、邊上的點，且．(1)求證：；(2)若，，當時，求的長．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據等腰三角形的性質可得，再由三角形外角的性質可得，即可求證；（2）根據，可得，再由，可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴且，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，即，∵，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．13．（2023秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）如圖，梯形中，，點是邊上一點，點在邊上，射線交的延長線于點，且．(1)求證：；(2)若，求的長．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據已知條件得出，，根據三角形的外角的性質，可得，證明，則，根據相似三角形的性質，即可得證；（2）根據（1）的結論得出比例式，代入數據，即可求解．【詳解】（1）證明：∵梯形中，，∴，又∵∴∴，∴∴∴即；（2）解：∵∴∵∴，∴則∵∴，∴【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．14．（2023秋·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖，是矩形的邊上的一點，于點，，，．(1)求證：∽．(2)計算點到直線的距離為______．

【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）證明兩個角對應相等；（2）點到直線的距離就是線段的長度，由相似三角形對應邊成比例求解即可；【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，∴，，∴，∴，∽，（2）解：∵∽，∴，即?！喙蚀鸢笧椋海军c睛】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，證得∽是解題的關鍵15．（2023春·上海普陀·八年級統考期末）在梯形中，，，，，點E是射線上一點（不與點A、B重合），聯結，過點E作交射線于點F，聯結．設．(1)求的長；(2)如圖，當點E在線段上時，求y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)如果是以為腰的等腰三角形，求的長．

【答案】(1)6(2)(3)或【分析】（1）過點作，可得四邊形為矩形，利用勾股定理求出的長即可；（2）證明，列出比例式進行求解即可；（3）分點在線段上和在線段的延長線上，兩種情況進行討論求解．【詳解】（1）解：過點作與點，

∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，在中，，∴（2）∵，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，即：，整理，得：，∵點E在線段上，∴，∴；（3）當點在線段上時，①當時，如圖，過點作與點，則：，

由（1）知，，∴，由（2）知：，當時：或，即：或；②當時，∵，∴此種情況不存在；當點在線段的延長線上時：如圖，

則：，同法（2）可得：，即：，整理，得：，∵是以為腰的等腰三角形，則：，在中：，在中：，在中：，整理，得：，∵，∴，整理，得：，解得：（負值已舍掉）；∴，綜上：或．【點睛】本題考查矩形得判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形，勾股定理．解題的關鍵是讀懂題意，正確的作圖，利用數形結合和分類討論的思想進行求解．16．（2023秋·四川達州·九年級校考階段練習）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數量關系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當時，直接寫出的大??；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數量關系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當時，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長過點F作，證明即可得出結論．（2）在上截取，使，連接，證明，通過邊和角的關系即可證明．（3）過點A作的垂線交的延長線于點，設菱形的邊長為，由（2）知，，通過相似求出，即可解出．【詳解】（1）延長過點F作，∵，，∴，在和中∴，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．

（2）解：在上截取，使，連接．，，．，．．，．．

（3）解：過點作的垂線交的延長線于點，設菱形的邊長為，．在中，，．，由（2）知，．．，，，在上截取，使，連接，作于點O．由（2）知，，∴，∵，∴，．∵，∴，∵，∴．．

【點睛】此題考查菱形性質、三角形全等、三角形相似，解題的關鍵是熟悉菱形性質、三角形全等、三角形相似．17．（2023·四川成都·?？既＃┰诰匦沃?，，．點為邊上一動點，連接，在右側作，，．

(1)如圖1，若點恰好落在邊上，求的長；(2)如圖2，延長交邊于點，當時，求的值；(3)連接，當為等腰三角形時，求的長．【答案】(1)(2)(3)或【