專題02圓中的重要模型-圓中的全等三角形模型知識儲備：垂徑定理及推理、圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系等。圓中常見全等模型：切線長模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、對角互補模型、半角模型。模型1、切線長模型圖1圖21）切線長模型（標(biāo)準(zhǔn)類）條件：如圖1，P為外一點，PA，PB是的切線，切點分別為A，B。結(jié)論：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切線長模型（拓展類）條件：如圖2，AD，CD，BC是的切線，切點分別為A，E，B。結(jié)論：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；例1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，將直尺、含的直角三角尺和量角器按如圖擺放，角的頂點A在直尺上讀數(shù)為4，量角器與直尺的接觸點B在直尺上的讀數(shù)為7，量角器與直角三角尺的接觸點為點C，則該量角器的直徑是（

）．

A．3 B． C．6 D．例2．（2023秋·福建莆田·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，是圓的兩條切線，，為切點，線段交圓于點．下列說法不正確的是（

）A． B． C．平分 D．例3．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┤鐖D，為的切線，A為切點，過點A作，垂足為點C，交于點B，延長與的延長線交于點D．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．模型2.燕尾模型條件：OA，OB是的半徑，OC=OD。結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；例1．（2023·重慶九年級課時練習(xí)）如圖，以O(shè)為圓心的兩個圓中，大圓的半徑分別交小圓于點C，D，連結(jié)，下列選項中不一定正確的是（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·福建龍巖·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并回答問題．[材料]自從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》實施以來，九年級的龍老師增加了一個習(xí)慣，就是在每個新章節(jié)備課時都會查閱新課標(biāo)，了解該章知識的新舊課標(biāo)的變化，并在上課時告訴學(xué)生．他通過查閱新課標(biāo)獲悉：切線長定理由“選學(xué)”改為“必學(xué)”，并新增“會過圓外的一個點作圓的切線”．在學(xué)習(xí)完《切線的性質(zhì)與判定》后，龍老師布置了一道課外思考題：“已知：如圖，及外一點．求作：直線，使與相切于點”．班上小巖同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組經(jīng)過探索，給出了如下的一種作圖方法：（1）連接，以為圓心，長為半徑作大圓；（2）若交小圓于點，過點作小圓的切線與大圓交于兩點（點在點的上方）；（3）連接交小圓于，連接，則是小圓的切線．[問題](1)請問小巖同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組提供的作圖方法是否正確？請你按照步驟完成作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并說明理由．(2)延長交大圓于，連接，若，，求的長．例3．（2023秋·湖北·九年級統(tǒng)考期末）請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡：(1)如圖1，與是圓內(nèi)接三角形，，，畫出圓的一條直徑．(2)如圖2，，是圓的兩條弦，且不相互平行，畫出圓的一條直徑．模型3.蝴蝶模型條件：OA，OE是的半徑，AD⊥OE，EB⊥OA。結(jié)論：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；例1．（2023秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）在以為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長為______．(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點，若，求證．例2．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）概念引入在一個圓中，圓心到該圓的任意一條弦的距離，叫做這條弦的弦心距．概念理解(1)如圖1，在中，半徑是5，弦，則這條弦的弦心距長為．(2)通過大量的做題探究；小明發(fā)現(xiàn)：在同一個圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦的弦心距也相等．但是小明想證明時卻遇到了麻煩．請結(jié)合圖2幫助小明完成證明過程如圖2，在中，，，，求證：．概念應(yīng)用如圖3，在中，的直徑為20，且弦垂直于弦于，請應(yīng)用上面得出的結(jié)論求的長．例3．（2022·江西·九年級統(tǒng)考期中）用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，分別作出圖中的平分線：（1）如圖1，的兩邊與一圓切于點，點是優(yōu)弧的三等分點；（2）如圖2，的兩邊與一圓交于，且．模型4.手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構(gòu)造出來的（常用旋轉(zhuǎn)或截長補短法）。條件：是△ABD的外接圓，且AD=BD，∠ADB=，C為圓O上一點。結(jié)論：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；特別地，當(dāng)=60°時，CD=CA+CB；當(dāng)=90°時，CD=CA+CB；例1．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，為直徑，若四邊形的面積是，的長是，則與之間的數(shù)關(guān)系式是（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）（1）如圖所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點是劣弧上任意一點（不與重合），連接、、，求證：．（2）[初步探索]小明同學(xué)思考如下：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，可得、、三點在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：根據(jù)小明的思路，請你完成證明．若圓的半徑為，則的最大值為______．（3）類比遷移：如圖所示，等腰內(nèi)接于圓，，點是弧上任一點（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為，試求周長的最大值．（4）拓展延伸：如圖所示，等腰，點A、在圓上，，圓的半徑為連接，試求的最小值．例3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖1，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點的三條弦BA，CA，DA構(gòu)成的圖形稱為圓中“爪形A”，弦BA，CA，DA稱為“爪形A”的爪．（1）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB＝BC，①證明：圓中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求證：AD＋CD＝BD（2）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其中BA＝BC，連接BD．若AD⊥DC，此時“爪形D”的爪之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)果．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，它的周長為22，若與三邊分別切于E，F(xiàn)，D三點，則的長為（

）A．6 B．8 C．4 D．32．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2，PA，PB，CD分別切⊙O于點A，B，E，CD分別交PA，PB于點C，D，且P，E，O三點共線．若∠P＝60°，則CD的長為（）A．4 B．2 C．3 D．63．（2023春·山東九年級課時練習(xí)）如圖，切于點切于點交于點，下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A．B．平分C．D．4．（2022秋·安徽淮南·九年級校考階段練習(xí)）如圖，點和C、D分別在以點O為圓心的兩個同心圓上，若，，則（）A． B． C． D．5．（2022春·廣西·九年級專題練習(xí)）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．6．（2022春·江蘇九年級期中）如圖，已知，，分別切于點A，B，D，若，則的周長是．若，則．

7．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，的半徑為2，為圓上一動弦，以為邊作正方形，求的最大值．8．（2022·湖北黃岡·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，點P為CD的中點，若點D在圓上逆時針運動的路徑長為π，則點P運動的路徑長為．9．（2023春·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半圓O的直徑，射線和是它的兩條切線，D點在射線上運動（且不與點A重合），E點在半圓O上，滿足，連接并延長交射線于點C．(1)求證：是半圓O的切線；(2)設(shè)，．①寫出y與x的關(guān)系式；②若，求陰影部分的面積．

10．（2023春·北京西城·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，線段為的直徑，，分別切于點，，射線交的延長線于點，的延長線交于點，于點．若，．(1)求證：；(2)求線段的長．

11．（2022年山東省濟寧市創(chuàng)新聯(lián)盟第五次中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖1，直線l是過圓心O的一條直線，點M，N是直線l上關(guān)于點O對稱的兩點．AB，CD是圓O的兩條直徑，其中，過點A，B，C，D作圓O的切線AN，BM，CN，DM．(1)求證：的角平分線垂直平分線段MN．(2)在若干個多邊形組成的整體中，位于整體外側(cè)的邊的延長線相交組成的邊數(shù)最少的封閉多邊形，其面積被稱為該整體的延展面積．例如圖2，虛線所示的矩形的面積為兩個小矩形所組成的整體的延展面積．則圖1中，若可發(fā)生變化且不為60°，要使由四邊形ANCO和四邊形BMDO組成的整體的延展面積與時的相同，求可能的度數(shù)．12．（2023·陜西西安·九年級校考期末）如圖，為圓的弦，半徑，分別交于點，．且．（1）求證：．（2）作半徑于點，若，，求的長．13．（2022·綿陽市·九年級專題練習(xí)）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．（1）證明：點E是OB的中點；（2）若AB=8，求CD的長．14．（2023春·湖北武漢·九年級?？计谥校┤鐖D，A，B，C，P是圓上的四個點，．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論．(2)若，求的長

15．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點，