專題51圖形折疊中的直角三角形存在性問題【題型演練】一、解答題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線為與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)D處．(1)點(diǎn)A坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是．的長是．(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若，直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)．(4)在第一象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，說明理由．2．折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如，在中，（如圖1），怎樣證明呢？把沿的平分線翻折，因?yàn)椋渣c(diǎn)落在上的點(diǎn)處（如圖2）．于是，由，，可得．【感知】(1)①如圖2，在中，若，則．②如圖2，在中，若，求證：；【探究】(2)若將圖2中是角平分線的條件改成是高線，其他條件不變（圖3），即在中，，請?zhí)剿骶€段之間的等量關(guān)系，并說明理由．【拓展】(3)如圖4，在中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．若以為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，直接寫出的長度3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)D處．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是_________，點(diǎn)B的坐標(biāo)是__________，的長為_________；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(4)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)將沿直線翻折得到，使點(diǎn)O與點(diǎn)C重合，與x軸交于點(diǎn)D．求證：；(3)在直線下方是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究等腰直角三角形中的折疊問題．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)．(1)如圖2，當(dāng)沿折疊，點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，且時(shí)，發(fā)現(xiàn)四邊形是菱形，請證明；(2)如圖3，奇異小組同學(xué)的折疊方法是沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，延長交于點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，沿折疊使點(diǎn)落在線段的中點(diǎn)處，求線段的長；(3)沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊的三等分點(diǎn)處，請借助圖探究，并直接寫出的長．6．定義：若，，是的三邊，且，則稱為“方倍三角形”．(1)對于①等邊三角形，②直角三角形，下列說法一定正確的是________．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D.①②都一定不是“方倍三角形”(2)若是“方倍三角形”，且斜邊，則該三角形的面積為________；(3)如圖，中，，，為邊上一點(diǎn)，將沿直線進(jìn)行折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，．若為“方倍三角形”，且，求的長．7．如圖，在中，，，，P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，交于點(diǎn)E，連結(jié)．(1)求的長．(2)若，求證：．(3)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求所有符合條件的長．8．在中于點(diǎn)．(1)如圖1，若的角平分線交于點(diǎn)，，，求的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)、分別在線段、上，將折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕分別為和，點(diǎn)、均在直線上，若，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并簡要說明理由；(3)在（2）小題的條件下，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，記旋轉(zhuǎn)中的為（如圖3）．在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．若，是否存在這樣的、兩點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；若不存在，請說明理由．9．如圖，在中，，點(diǎn)P是射線上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），，連接，將沿AP向右翻折，得到，連接．(1)當(dāng)，時(shí)，的度數(shù)為，的度數(shù)為；(2)在圖1中，點(diǎn)P在BC邊上，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊的延長線上時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立嗎？請直接作出判斷，不必說明理由．10．如圖1，在△ABC中，BC＝6，P是BC邊的一點(diǎn)，且不與B，C重合，將△APB沿AP折疊得，過點(diǎn)C作AP垂線，垂足為D，連接．(1)AB和的數(shù)量關(guān)系是，AP與的位置關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求BP的長；(3)在（2）的條件下，若BD＝CD，求證：．11．已知，如圖1，在中，，將沿翻折至，連接．(1)求證：；(2)若點(diǎn)在直線下方，如圖2，，，求的長；(3)在翻折過程中，若為直角三角形，求的值．12．在中，，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，將沿AD折疊后得到，射線AE交射線CB于點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①如圖1，若，說明；②如圖2，若，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的度數(shù)．13．【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為；再沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為；然后連結(jié)，沿所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想．【問題解決】(1)小亮對上面的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．請你補(bǔ)全余下的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】(2)的度數(shù)為________度，的值為_________；(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段上，且，點(diǎn)Q在線段上，連結(jié)、，如圖②，設(shè)，則的最小值為_________．（用含a的代數(shù)式表示）14．如圖，ABCD為一長方形紙片，E為BC上一點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，B點(diǎn)落在長方形外的F點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)∠BEA＝35°時(shí)，∠FAD的度數(shù)為．（直接填空）(2)如圖2，連BD，若∠CBD＝25°，AFBD，求∠BAE；(3)如圖3，當(dāng)AFBD時(shí)，設(shè)∠CBD＝，請你求出∠BAE的度數(shù)．（用表示）15．【探究與應(yīng)用】我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多結(jié)論．例如：在平行四邊形ABCD中，，將△ABC沿直線AC翻折至△AEC，連結(jié)DE，則AC∥ED．(1)如圖1，若AD與CE相交于點(diǎn)O，證明以上個(gè)結(jié)論；(2)如圖2，AD與CE相交于點(diǎn)O，若，，，求△AOC的面積；(3)如果，，當(dāng)A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請畫圖并求出AC的長；(4)如果，，當(dāng)△AED是直角三角形時(shí)，直接寫出BC的長．16．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗(yàn)，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在中，為邊上的高，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，連接，將沿翻折得．(1)問題解決：如圖①，當(dāng)，將沿翻折后，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______；(2)問題探究：如圖②，當(dāng)，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時(shí)的最小值；(3)拓展延伸：當(dāng)，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．17．在中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上．將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形．(1)利用圖1，求證：；(2)如圖2，連接BD，若，，，當(dāng)點(diǎn)落在BD上時(shí)，求EF的長；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段CD上時(shí)，求證：直線與直線CD重合．18．模型探究：如圖1，D、E、F分別為三邊BC、AB、AC上的點(diǎn)，且．（1）與相似嗎？請說明理由；模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長為8，E為AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為射線AC上一點(diǎn)，將沿EF翻折，使A點(diǎn)落在射線CB上的點(diǎn)D處，且．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求的值；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D落在線段CB的延長線上時(shí)，求與的周長之比．19．綜合與實(shí)踐：如圖1，已知正方形紙片ABCD．實(shí)踐操作第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD沿AC，BD分別折疊．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于點(diǎn)O．第二步：如圖2，將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF與BD相交于點(diǎn)G，然后展平，連接GE，EF．問題解決（1）的度數(shù)是______；（2）如圖2，請判斷四邊形BGEF的形狀，并說明理由；探索發(fā)現(xiàn)（3）如圖3，若，將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)A和點(diǎn)F重合，折痕分別與AB，DC相交于點(diǎn)M，N．求的值．20．已知中，，，．點(diǎn)D由A出發(fā)沿向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E由B出發(fā)沿向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度相同，點(diǎn)F在上，，且點(diǎn)