專題23菱形的性質(zhì)與判定（分層精練）1．（2022?河南）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD為直角三角形．∵OE＝3，點E為線段CD的中點，∴CD＝2OE＝6．∴C菱形ABCD＝4CD＝4×6＝24．故選：C．2．（2022?湘西州）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面積為32，則CD的長為（）A．4 B．4 C．8 D．8【答案】C【解答】解：∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），∴OD＝4，BD＝8，由得，＝32，∴AC＝8，∴OC＝＝4，∴CD＝＝8，故選C．3．（2022?淄博）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點，連接CE交對角線BD于點F．若∠DEF＝∠DFE，則這個菱形的面積為（）A．16 B．6 C．12 D．30【答案】B【解答】解：連接AC交BD于O，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，∵E為AD邊的中點，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝×2×6＝6．故選：B．4．（2022?甘肅）如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，動點P從點A出發(fā)，沿折線AD→DC→CB方向勻速運動，運動到點B停止．設(shè)點P的運動路程為x，△APB的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長為（）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，設(shè)AB＝a，由圖2可知，△ABD的面積為3，∴△ABD的面積＝a2＝3，解得：a1＝2，a2＝﹣2（舍去），故選：B．5．（2022?甘肅）如圖，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AB＝2cm，AC＝4cm，則BD的長為cm．【答案】8【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝4cm，∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝2cm，∵AB＝2cm，∵BO＝＝4cm，∴DO＝BO＝4cm，∴BD＝8cm，故答案為：8．6．（2022?廣東）菱形的邊長為5，則它的周長是．【答案】20【解答】解：∵菱形的四邊相等，邊長為5，∴菱形的周長為5×4＝20，故答案為20．7．（2022?齊齊哈爾）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是．（只需寫出一個條件即可）【答案】AB＝CD（答案不唯一）【解答】解：添加的條件是AB＝CD，理由如下：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故答案為：AB＝CD（答案不唯一）．8．（2022?遼寧）如圖，CD是△ABC的角平分線，過點D分別作AC，BC的平行線，交BC于點E，交AC于點F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長是．【答案】16【解答】解：連接EF交CD于O，如圖：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四邊形CEDF是平行四邊形，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠FCD＝∠ECD，∵DE∥AC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四邊形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，CE＝＝＝4，∴四邊形CEDF的周長是4CE＝4×4＝16，故答案為：16．9．（2022?濟(jì)南）已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求證：AE＝CF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠ADF＝∠CDE，∴∠ADF﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF（ASA），∴AE＝CF．10．（2022?岳陽）如圖，點E，F(xiàn)分別在?ABCD的邊AB，BC上，AE＝CF，連接DE，DF．請從以下三個條件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，選擇一個合適的作為已知條件，使?ABCD為菱形．（1）你添加的條件是（填序號）；（2）添加了條件后，請證明?ABCD為菱形．【解答】（1）解：添加的條件是∠1＝∠2或∠3＝∠4，故答案為：①或③；（2）證明：添加①，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴?ABCD為菱形；添加③，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AD＝CD，∴?ABCD為菱形．11．（2022?涼山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵點D是BC的中點，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，∴AD＝BD＝BC，∴四邊形ADBF是菱形；（2）解：∵四邊形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面積＝2△ABD的面積，∵點D是BC的中點，∴△ABC的面積＝2△ABD的面積，∴菱形ADBF的面積＝△ABC的面積＝40，∴AB?AC＝40，∴×8?AC＝40，∴AC＝10，∴AC的長為10．12．（2021?玉林）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，已知OA＝OC，OB＝OD，過點O作EF⊥BD，分別交AB、DC于點E，F(xiàn)，連接DE，BF，AF．（1）求證：四邊形DEBF是菱形；（2）設(shè)AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的長．【解答】（1）證明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形DEBF是菱形；（2）過點F作FG⊥AB于點G，如圖，∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∵AD+AB＝12，BD＝4，∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，解得AD＝4，AB＝8，∴sin∠ABD＝，∴∠ABD＝30°，∵四邊形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4，∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)G＝，在Rt△AGF中，AG＝6，根據(jù)勾股定理得，AF＝＝＝4．13．（2021?巴中）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分別以B、D為圓心，大于BD長為半徑畫弧，兩弧交于點M．畫射線AM交BC于E，連接DE．（1）求證：四邊形ABED為菱形；（2）連接BD，當(dāng)CE＝5時，求BD的長．【解答】證明：（1）連接BD，根據(jù)題意得出AM為BD的線段垂直平分線，即BD⊥AE，∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC，∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠DBE，∵BD⊥AE，∴AB＝BE，∴AD＝AB＝BE＝DE，∴四邊形ABED為菱形；方法二：設(shè)AE與BD的交點為O，∴AM為BD的線段垂直平分線，∴BO＝DO，由平行可得∠DAO＝∠BEO，∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD≌△EOB（AAS），∴AO＝EO，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵AE⊥BD，∴平行四邊形ABED是菱形；（2）∵AB＝AD＝CD＝BC，BE＝AD，∴E是BC的中點，∵DE＝BE＝CE＝CD＝5，∴△BDC是直角三角形，∵2DC＝BC，∴△BDC是含30°的直角三角形，∴BD＝CD＝5．14．（2022?綿陽）如圖1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中點，N是對角線BD上一動點，設(shè)DN長為x，線段MN與AN長度的和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，圖象右端點F的坐標(biāo)為（2，3），則圖象最低點E的坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（，） C．（，） D．（，2）【答案】C【解答】解：如圖，連接AC，MC，∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴AB＝BC，AC垂直平分BD，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠DBC＝30°，∴AN＝CN，△ABC是等邊三角形，∴AN+MN＝CN+MN，∴當(dāng)點N在線段CM上時，AN+MN有最小值為CM的長，∵點F的坐標(biāo)為（2，3），∴DB＝2，AB+BM＝3，∵點M是AB的中點，∴AM＝BM，CM⊥AB，∴2BM+BM＝3，∴BM＝1，∵tan∠ABC＝tan60°＝＝，∴CM＝，∵cos∠ABD＝cos30°＝＝，∴BN'＝，∴DN'＝，∴點E的坐標(biāo)為：（，），故選：C．15．（2022?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，點E是DA中點，F(xiàn)是對角線AC上一點，且∠DEF＝45°，則AF：FC的值是（）A．3 B．+1 C．2+1 D．2+【答案】D【解答】解：連接DB，交AC于點O，連接OE，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD＝BD，AC＝2AO，AB＝AD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴DB＝AD，∵∠AOD＝90°，點E是DA中點，∴OE