甘肅省玉門一中2025屆高一數學第一學期期末學業水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知則當最小時的值時A.﹣3 B.3C.﹣1 D.12．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C. D.3．下表是某次測量中兩個變量的一組數據,若將表示為關于的函數,則最可能的函數模型是234567890.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函數模型 B.二次函數模型C.指數函數模型 D.對數函數模型4．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象（）A.向左平行移動個單位長度 B.向右平行移動個單位長度C.向左平行移動個單位長度 D.向右平行移動個單位長度5．設，且，則的最小值是（）A. B.8C. D.166．已知a,b∈(0,+∞)，函數f(x)=alog2x+b的圖象經過點(4,1)A.6-22 B.C.4+22 D.7．最小值是A.-1 B.C. D.18．已知一扇形的周長為28，則該扇形面積的最大值為（）A.36 B.42C.49 D.569．函數與的圖象（）A.關于軸對稱 B.關于軸對稱C.關于原點對稱 D.關于直線軸對稱10．不等式對一切恒成立，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．對于定義在區間上的兩個函數和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的（1）若，，則與在區間上是否“友好”；（2）現在有兩個函數與，給定區間①若與在區間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數與與在區間上是否“友好”12．已知樣本9，10，11，，的平均數是10，標準差是，則______，______.13．已知為偶函數，當時，，當時，，則不等式的解集為__________14．已知且，則的最小值為______________15．設函數，若互不相等的實數、、滿足，則的取值范圍是_________16．已知函數滿足，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，某居民小區內建一塊直角三角形草坪，直角邊米，米，扇形花壇是草坪的一部分，其半徑為20米，為了便于居民平時休閑散步，該小區物業管理公司將在這塊草坪內鋪設兩條小路和，考慮到小區整體規劃，要求M、N在斜邊上，O在弧上（點O異于D，E兩點），，.（1）設，記，求的表達式，并求出此函數的定義域.（2）經核算，兩條路每米鋪設費用均為400元，如何設計的大小，使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用.18．已知函數（，為常數，且）的圖象經過點，（1）求函數的解析式；（2）若關于不等式對都成立，求實數的取值范圍19．已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長為.（1）若，，求扇形的弧長；（2）若扇形的周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大，并求出此時扇形面積的最大值.20．如圖，以Ox為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于P，Q兩點，已知點P的坐標為（1）求的值；（2）若，求的值21．如圖所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體的表面積

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】由題目已知可得：當時，的值最小故選2、B【解析】要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，﹣2）到直線的距離m，求出m，由勾股定理可求切線長的最小值【詳解】要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，﹣2）到直線的距離m，由點到直線的距離公式得m==4，由勾股定理求得切線長的最小值為=故選B【點睛】本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式、勾股定理的應用．解題的關鍵是理解要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小3、D【解析】對于，由于均勻增加，而值不是均勻遞增，不是一次函數模型；對于，由于該函數是單調遞增，不是二次函數模型；對于，過不是指數函數模型，故選D.4、A【解析】根據三角函數圖象的變換求解即可【詳解】由題意，把函數的圖象向左平行移動個單位長度得到故選：A5、B【解析】轉化原式為，結合均值不等式即得解【詳解】由題意，故則當且僅當，即時等號成立故選：B6、D【解析】由函數f(x)=alog2x+b的圖象經過點(4,1)得到2a+b=1【詳解】因為函數f(x)=alog2x+b圖象經過點(4,1)，所以有alog24+b=1?2a+b=1，因為a,b∈(0,+∞)，所以有(故選：D【點睛】本題考查了基本不等式的應用，用“1”巧乘是解題的關鍵，屬于一般題.7、B【解析】∵，∴當sin2x=-1即x=時，函數有最小值是，故選B考點：本題考查了三角函數的有界性點評：熟練掌握二倍角公式及三角函數的值域是解決此類問題的關鍵，屬基礎題8、C【解析】由題意，根據扇形面積公式及二次函數的知識即可求解.【詳解】解：設扇形的半徑為R，弧長為l，由題意得，則扇形的面積，所以該扇形面積的最大值為49，故選：C.9、D【解析】函數與互為反函數，然后可得答案.【詳解】函數與互為反函數，它們的圖象關于直線軸對稱故選：D10、B【解析】當時，得到不等式恒成立；當時，結合二次函數的性質，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，不等式對一切恒成立，當時，即時，不等式恒成立，符合題意；當時，即時，要使得不等式對一切恒成立，則滿足，解得，綜上，實數a的取值范圍是.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）是；（2）①；②見解析【解析】（1）按照定義，只需判斷在區間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設存在實數，使得與與在區間上是“友好”的，即，即，只需求出函數在區間上的最值，解不等式組即可.【詳解】（1）由已知，，因為時，，所以恒成立，故與在區間上是“友好”的.（2）①與在區間上都有意義，則必須滿足，解得，又且，所以的取值范圍為.②假設存在實數，使得與與在區間上是“友好”的，則，即，因為，則，，所以在的右側，又復合函數的單調性可得在區間上為減函數，從而，，所以，解得，所以當時，與與在區間上是“友好”的；當時，與與在區間上是“不友好”的.【點睛】本題考查函數的新定義問題，主要涉及到不等式恒成立的問題，考查學生轉化與化歸的思想、數學運算求解能力，是一道有一定難度的題.12、①.20②.96【解析】先由平均數的公式列出x+y=20，然后根據方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值.【詳解】根據平均數及方差公式，可得:化簡得：，，或則，故答案為：20；96【點睛】本題主要考查了平均數和方等概念，以及解方程組，屬于容易題.13、【解析】求出不等式在的解，然后根據偶函數的性質可得出不等式在上的解集.【詳解】當時，令，可得，解得，此時；當時，令，解得，此時.所以，不等式在的解為.由于函數為偶函數，因此，不等式的解集為.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數不等式的求解，同時也涉及了函數奇偶性的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.14、9【解析】因為且，所以取得等號，故函數的最小值為9.，答案為9.15、【解析】作出函數的圖象，設，求出的取值范圍以及的值，由此可求得的取值范圍.【詳解】作出函數的圖象，設，如下圖所示：二次函數的圖象關于直線對稱，則，由圖可得，可得，解得，所以，.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查零點有關代數式的取值范圍的求解，解題的關鍵在于利用利用圖象結合對稱性以及對數運算得出零點相關的等式與不等式，進而求解.16、6【解析】由得出方程組，求出函數解析式即可.【詳解】因為函數滿足，所以，解之得,所以，所以.【點睛】本題主要考查求函數的值，屬于基礎題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），.【解析】（1）過作的垂線交與兩點，求出，即可求出的表達式，并求出此函數的定義域.（2）利用輔助角公式化簡，即可得出結果.【詳解】（1）如圖，過作的垂線交與兩點，則，，，，，則，，所以，，（2），，當，即時，總費用最少為.18、（1）（2）【解析】（1）將，，代入函數，利用待定系數法即可得出答案；（2）對都成立，即，，令，，令，求出函數的最小值即可得解.【小問1詳解】解：∵函數的圖象經過點，，∴，即，又∵，∴，，∴，即；【小問2詳解】解：由（1）知，，∴對都成立，即對都成立，∴，，令，，則，令，即，，∴的圖象是開口向下且關于直線對稱的拋物線，∴，∴，∴的取值區間為19、（1）；（2）當時，扇形面積最大值.【解析】（1）利用扇形弧長公式直接求解即可；（2）根據扇形周長可得，代入扇形面積公式，由二次函數最值可確定結果.【小問1詳解】，扇形的弧長；【小問2詳解】扇形的周長，，扇形面積，則當，，即當時，扇形面積最大值.20、（1）（2）【解析】(1)由三角函數的定義首先求得的值，然后結合二倍角公式和同角三角函數基本關系化簡求解三角函數式的值即可；(2)由題意首先求得的關系，然后結合誘導公式和兩角和差正余弦公式即可求得三角函數式的值.【詳解】（1）由三角函數定義得，，∴原式（2）∵，且，∴，，∴，∴【點睛】本題主要考查三角函數的定義，二倍角公式及其應用，兩角和差正余弦