陜西省西安市東儀中學2025屆高二數學第一學期期末經典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數學家、物理學家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數學家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（）A.1 B.2C. D.32．古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數且的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現有橢圓為橢圓長軸的端點，為橢圓短軸的端點，，分別為橢圓的左右焦點，動點滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件4．命題：，的否定為（）A.， B.不存在，C.， D.，5．設正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.6．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.8．已知等差數列的公差，若，，則該數列的前項和的最大值為（）A.30 B.35C.40 D.459．在遞增等比數列中，為其前n項和．已知，，且，則數列的公比為（）A.3 B.4C.5 D.610．已知直線與垂直，則為（）A.2 B.C.-2 D.11．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A. B.C. D.12．設等比數列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的圖象在點處的切線方程為____.14．對于實數表示不超過的最大整數，如.已知數列的通項公式，前項和為，則___________.15．過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點（點在軸上方），_________16．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點，且，則p的值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在y軸上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）已知圓C上存在點M，使得三角形MAB的面積為，求點M的坐標18．（12分）如圖甲，在直角三角形中，已知，，，D，E分別是的中點.將沿折起，使點A到達點的位置，且，連接，得到如圖乙所示的四棱錐，M為線段上一點.（1）證明：平面平面；（2）過B，C，M三點的平面與線段A'E相交于點N，從下列三個條件中選擇一個作為已知條件，求直線DN與平面A'BC所成角的正弦值.①；②直線與所成角的大小為；③三棱錐的體積是三棱錐體積的注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19．（12分）已知在數列中，，且.（1）求，，并證明數列是等比數列；（2）求的通項公式及前n項和.20．（12分）在等差數列中，（1）求數列的通項公式；（2）設，求.21．（12分）已知拋物線C：經過點.（1）求拋物線C的方程及其準線方程；（2）經過拋物線C的焦點F的直線l與拋物線交于兩點M，N，且與拋物線的準線交于點Q.若，求直線l的方程.22．（10分）已知數列的前項和為，且．數列是等比數列，，（1）求，的通項公式；（2）求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當過焦點的弦垂直于x軸時，即時，，即，故選：D2、A【解析】由題可得動點M的軌跡方程，可得，，即求.【詳解】設，，由，可得=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴故選：A3、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當且時，成立，反過來，當時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎題型.4、D【解析】含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論即可【詳解】解：命題：，的否定為：，故選：D5、D【解析】建立空間直角坐標系，根據空間向量所學點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設平面的法向量，所以，，即，設，所以，，即，設點到平面的距離為，所以，故選：D.6、A【解析】由橢圓標準方程求得，再計算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點睛】本題考查求橢圓的離心率，根據橢圓標準方程求出即可7、B【解析】根據雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.8、D【解析】利用等差數列的性質求出公差以及首項，再由等差數列的前項和公式即可求解.【詳解】等差數列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴當或10時，最大，，故選：D9、B【解析】由已知結合等比數列的性質可求出、，然后結合等比數列的求和公式求解即可.【詳解】解：由題意得：是遞增等比數列又，，故故選：B10、A【解析】利用一般式中直線垂直的系數關系列式求解.【詳解】因為直線與垂直，故選：A.11、A【解析】兩直線垂直，斜率之積為，曲線與直線相切，聯立方程令.【詳解】法一：直線，所以，所以切線的，設切線的方程為，聯立方程，所以，令，解得，所以切線方程為.法二：直線，所以，所以切線的，，所以令，所以，帶入曲線方程得切點坐標為，所以切線方程為，化簡得.故選：A.12、C【解析】根據給定條件求出等比數列公比q的關系，再利用前n項和公式計算得解.【詳解】設等比數列的的公比為q，由得：，解得，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出導函數，進而根據導數的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程.【詳解】由題意，，，則切線方程為：.故答案為：.14、54【解析】由，利用裂項相消法求得，再由的定義求解.【詳解】由已知可得：，，當時，，；當時，，；當時，，；當時，，；當時，；；所以.故答案為：54.15、3【解析】根據拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.16、3【解析】根據拋物線焦點弦性質求解，或聯立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設，，，則，∵，所以，，∴，當且僅當m=0時，取..故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）兩點式求AB所在直線的斜率，結合點坐標求AB的垂直平分線，根據已知確定圓心、半徑即可得圓C的方程；（2）求AB所在直線方程，幾何關系求弦長，由三角形面積求點線距離，設M所在直線為，由點線距離公式列方程求參數，進而聯立直線與圓C求M的坐標【小問1詳解】由題意知，AB所在直線的斜率為，又，中點為，所以線段AB的垂直平分線為，即，聯立，得，半徑，所以圓C的方程為.【小問2詳解】由題意，AB所在直線方程為，即，圓心到直線AB的距離為，故，因為三角形MAB的面積為，則點M到直線AB的距離為，設點M所在直線方程為，所以，所以或，當時，聯立得：或，當時，聯立，無解；所以或18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得證；（2）分別選①，②，③可求得為的中點，再以為坐標原點，向量的方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.利用空間向量求得所求的線面角.【小問1詳解】分別為的中點，.，，.，，平面.又平面，∴平面平面.【小問2詳解】（2）選①，；，，，，為的中點.選②，直線與所成角的大小為；，∴直線與所成角為.又直線與所成角的大小為，，，為的中點.選③，三棱錐的體積是三棱錐體積的，又，即，為的中點.∵過三點的平面與線段相交于點平面，平面.又平面平面，，為的中點.兩兩互相垂直，∴以為坐標原點，向量的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則；.設平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為.由，得.令，得.則.∴直線與平面所成角的正弦值為.19、（1），，證明見解析（2），【解析】（1）根據遞推關系求出，，對遞推公式變形，即可得證；（2）結合（1）求得通項公式，分組求和.【小問1詳解】因為，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴數列是等比數列.【小問2詳解】由（1）可知是以為首項，以3為公比的等比數列，即，即；.20、（1）（2）1280【解析】（1）直接利用等差數列通項公式即可求解；（2）先判斷出數列單調性，由，則時，，時，；然后去掉絕對值，利用等差數列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】設數列的公差為，由，可知，∴;【小問2詳解】由（1）知，數列為單調遞減數列，由，則時，，時，；.21、（1）拋物線C的方程為，準線方程為（2）或.【解析】（1）將點代入拋物線求出即可得出拋物線方程和準線方程；（2）設出直線方程，與拋物線聯立，表示出弦長和即可求出.【小問1詳解】將代入可得，