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文檔簡介
2025屆河北省保定市曲陽一中數學高三上期末考試模擬試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數列滿足,且成等比數列.若的前n項和為,則的最小值為()A. B. C. D.2.對于正在培育的一顆種子,它可能1天后發芽,也可能2天后發芽,….下表是20顆不同種子發芽前所需培育的天數統計表,則這組種子發芽所需培育的天數的中位數是()發芽所需天數1234567種子數43352210A.2 B.3 C.3.5 D.43.已知全集,集合,,則()A. B. C. D.4.過圓外一點引圓的兩條切線,則經過兩切點的直線方程是().A. B. C. D.5.的展開式中的常數項為()A.-60 B.240 C.-80 D.1806.如圖,平面與平面相交于,,,點,點,則下列敘述錯誤的是()A.直線與異面B.過只有唯一平面與平行C.過點只能作唯一平面與垂直D.過一定能作一平面與垂直7.三棱錐的各個頂點都在求的表面上,且是等邊三角形,底面,,,若點在線段上,且,則過點的平面截球所得截面的最小面積為()A. B. C. D.8.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.9.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},則A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}10.已知,,,,則()A. B. C. D.11.已知為定義在上的偶函數,當時,,則()A. B. C. D.12.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處,小球將自由下落.小球在下落的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障礙物時,向左、右兩邊下落的概率都是,則小球落入袋中的概率為__________.14.已知為偶函數,當時,,則__________.15.若復數滿足,其中為虛數單位,則的共軛復數在復平面內對應點的坐標為_____.16.已知,,求____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,點是直線上的動點,為定點,點為的中點,動點滿足,且,設點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點的直線交曲線于,兩點,為曲線上異于,的任意一點,直線,分別交直線于,兩點.問是否為定值?若是,求的值;若不是,請說明理由.18.(12分)三棱柱中,平面平面,,點為棱的中點,點為線段上的動點.(1)求證:;(2)若直線與平面所成角為,求二面角的正切值.19.(12分)已知函數,.(Ⅰ)判斷函數在區間上零點的個數,并證明;(Ⅱ)函數在區間上的極值點從小到大分別為,,證明:20.(12分)已知數列的前n項和為,且n、、成等差數列,.(1)證明數列是等比數列,并求數列的通項公式;(2)若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列,求的值.21.(12分)已知函數.(1)若函數不存在單調遞減區間,求實數的取值范圍;(2)若函數的兩個極值點為,,求的最小值.22.(10分)已知,且滿足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
利用等比中項性質可得等差數列的首項,進而求得,再利用二次函數的性質,可得當或時,取到最小值.【詳解】根據題意,可知為等差數列,公差,由成等比數列,可得,∴,解得.∴.根據單調性,可知當或時,取到最小值,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等差數列通項公式、等比中項性質、等差數列前項和的最值,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意當或時同時取到最值.2、C【解析】
根據表中數據,即可容易求得中位數.【詳解】由圖表可知,種子發芽天數的中位數為,故選:C.【點睛】本題考查中位數的計算,屬基礎題.3、B【解析】
直接利用集合的基本運算求解即可.【詳解】解:全集,集合,,則,故選:.【點睛】本題考查集合的基本運算,屬于基礎題.4、A【解析】過圓外一點,引圓的兩條切線,則經過兩切點的直線方程為,故選.5、D【解析】
求的展開式中的常數項,可轉化為求展開式中的常數項和項,再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數項為,中項為,所以的展開式中的常數項為:.故選:D【點睛】本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式,考查學生計算能力,屬于基礎題.6、D【解析】
根據異面直線的判定定理、定義和性質,結合線面垂直的關系,對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據異面直線的性質知,過只有唯一平面與平行,故正確.C.根據過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據異面直線的性質知,過不一定能作一平面與垂直,故錯誤.故選:D【點睛】本題主要考查異面直線的定義,性質以及線面關系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.7、A【解析】
由題意畫出圖形,求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑,再求出外接球球心到D的距離,利用勾股定理求得過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑,則答案可求.【詳解】如圖,設三角形ABC外接圓的圓心為G,則外接圓半徑AG=,設三棱錐S-ABC的外接球的球心為O,則外接球的半徑R=取SA中點E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,所以OD=.則過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點D的平面截球O所得截面的最小面積為故選:A【點睛】本題考查三棱錐的外接球問題,還考查了求截面的最小面積,屬于較難題.8、A【解析】
設圓的標準方程,利用待定系數法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設圓的標準方程為,由題意得圓心為,的中點,根據中點坐標公式可得,,又,所以圓的標準方程為:,化簡整理得,所以本題答案為A.【點睛】本題考查待定系數法求圓的方程,解題的關鍵是假設圓的標準方程,建立方程組,屬于基礎題.9、D【解析】
解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運算可得選項.【詳解】因為集合,故選:D.【點睛】本題考查集合的交集運算,屬于基礎題.10、D【解析】
令,求,利用導數判斷函數為單調遞增,從而可得,設,利用導數證出為單調遞減函數,從而證出,即可得到答案.【詳解】時,令,求導,,故單調遞增:∴,當,設,,又,,即,故.故選:D【點睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構造函數法,利用導數判斷式子的大小,屬于中檔題.11、D【解析】
判斷,利用函數的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】∵,∴.故選:【點睛】本題考查了利用函數的奇偶性求值,意在考查學生對于函數性質的靈活運用.12、C【解析】
根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】記小球落入袋中的概率,則,又小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落,小球將落入袋,所以有,則.故本題應填.14、【解析】
由偶函數的性質直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數的奇偶性,對數函數的運算,考查運算求解能力15、【解析】
把已知等式變形,再由復數代數形式的乘除運算化簡,求出得答案.【詳解】,,則,的共軛復數在復平面內對應點的坐標為,故答案為【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算,考查復數的代數表示法及其幾何意義準確計算是關鍵,是基礎題.16、【解析】
求出向量的坐標,然后利用向量數量積的坐標運算可計算出結果.【詳解】,,,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查平面向量數量積的坐標運算,考查計算能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)是定值,.【解析】
(1)設出M的坐標為,采用直接法求曲線的方程;(2)設AB的方程為,,,,求出AT方程,聯立直線方程得D點的坐標,同理可得E點的坐標,最后利用向量數量積算即可.【詳解】(1)設動點M的坐標為,由知∥,又在直線上,所以P點坐標為,又,點為的中點,所以,,,由得,即;(2)設直線AB的方程為,代入得,設,,則,,設,則,所以AT的直線方程為即,令,則,所以D點的坐標為,同理E點的坐標為,于是,,所以,從而,所以是定值.【點睛】本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關系中的定值問題,在處理此類問題一般要涉及根與系數的關系,本題思路簡單,但計算量比較大,是一道有一定難度的題.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)可證面,從而可得.(2)可證點為線段的三等分點,再過作于,過作,垂足為,則為二面角的平面角,利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標系,利用兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值,最后利用同角三角函數的基本關系式可求.【詳解】證明:(1)因為為中點,所以.因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,而平面,故,又因為,所以,則,又,故面,又面,所以.(2)由(1)可得:面在面內的射影為,則為直線與平面所成的角,即.因為,所以,所以,所以,即點為線段的三等分點.解法一:過作于,則平面,所以,過作,垂足為,則為二面角的平面角,因為,,,則在中,有,所以二面角的平面角的正切值為.解法二:以點為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,設點,由得:,即,,,點,平面的一個法向量,又,,設平面的一個法向量為,則,令,則平面的一個法向量為.設二面角的平面角為,則,即,所以二面角的正切值為.【點睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到,也可以由兩條線所成的角為得到,而線面垂直又可以由面面垂直得到,解題中注意三種垂直關系的轉化.空間中的角的計算,可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結為向量的夾角的計算,也可以構建空間角,把角的計算歸結平面圖形中的角的計算.19、(Ⅰ)函數在區間上有兩個零點.見解析(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)根據題意,,利用導函數研究函數的單調性,分類討論在區間的單調區間和極值,進而研究零點個數問題;(Ⅱ)求導,,由于在區間上的極值點從小到大分別為,,求出,利用導數結合單調性和極值點,即可證明出.【詳解】解:(Ⅰ),,當時,,,在區間上單調遞減,,在區間上無零點;當時,,在區間上單調遞增,,在區間上唯一零點;當時,,,在區間上單調遞減,,;在區間上唯一零點;綜上可知,函數在區間上有兩個零點.(Ⅱ),,由(Ⅰ)知在無極值點;在有極小值點,即為;在有極大值點,即為,由,即,,2…,,,,,,以及的單調性,,,,,由函數在單調遞增,得,,由在單調遞減,得,即,故.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性和極值,通過導數解決函數零點個數問題和證明不等式,考查轉化思想和計算能力.20、(1)證明見解析,;(2)11202.【解析】
(1)由n,,成等差數列,可得,,兩式相減,由等比數列的定義可得是等比數列,可求數列的通項公式;(2)由(1)中的可求出,根據和求出數列,中的公共項,分組求和,結合等比數列和等差數列的求和公式,可得答案.【詳解】(1)證明:因為n,,成等差數列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又當時,,所以,所以,故數列是首項為2,公比為2的等比數列,所以,即.(2)根據(1)求解知,,,所以,所以數列是以1為首項,2為公差的等差數列.又因為,,,,,,,,,,,所以.【點睛】本題考查等比數列的定義,考查分組求和,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】分析:(1)先求導,再令在上恒成立,得到上恒成立,利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到,再求得,再構造函數再利用導數求其最小值.詳解:(1)由函數有意義,則由且不存在單調遞減區間,則在上恒成立,上恒成立
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