2025屆河北省保定市曲陽一中數(shù)學(xué)高三上期末考試模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆河北省保定市曲陽一中數(shù)學(xué)高三上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列滿足,且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為,則的最小值為()A. B. C. D.2.對于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計(jì)表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A.2 B.3 C.3.5 D.43.已知全集,集合,,則()A. B. C. D.4.過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程是().A. B. C. D.5.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.-60 B.240 C.-80 D.1806.如圖,平面與平面相交于,,,點(diǎn),點(diǎn),則下列敘述錯(cuò)誤的是()A.直線與異面B.過只有唯一平面與平行C.過點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D.過一定能作一平面與垂直7.三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在求的表面上,且是等邊三角形,底面,,,若點(diǎn)在線段上,且,則過點(diǎn)的平面截球所得截面的最小面積為()A. B. C. D.8.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.9.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},則A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}10.已知,,,,則()A. B. C. D.11.已知為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.12.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障礙物時(shí),向左、右兩邊下落的概率都是,則小球落入袋中的概率為__________.14.已知為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則__________.15.若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.16.已知,,求____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是直線上的動點(diǎn),為定點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),動點(diǎn)滿足,且,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點(diǎn)的直線交曲線于,兩點(diǎn),為曲線上異于,的任意一點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn).問是否為定值?若是,求的值;若不是,請說明理由.18.(12分)三棱柱中,平面平面,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)為線段上的動點(diǎn).(1)求證:;(2)若直線與平面所成角為,求二面角的正切值.19.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并證明;(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為,,證明:20.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且n、、成等差數(shù)列,.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列,求的值.21.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,,求的最小值.22.(10分)已知,且滿足,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng),進(jìn)而求得,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)或時(shí),取到最小值.【詳解】根據(jù)題意,可知為等差數(shù)列,公差,由成等比數(shù)列,可得,∴,解得.∴.根據(jù)單調(diào)性,可知當(dāng)或時(shí),取到最小值,最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意當(dāng)或時(shí)同時(shí)取到最值.2、C【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】

直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】解:全集,集合,,則,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】過圓外一點(diǎn),引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程為,故選.5、D【解析】

求的展開式中的常數(shù)項(xiàng),可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng),再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數(shù)項(xiàng)為,中項(xiàng)為,所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,考查學(xué)生計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì),結(jié)合線面垂直的關(guān)系,對選項(xiàng)中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過只有唯一平面與平行,故正確.C.根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過不一定能作一平面與垂直,故錯(cuò)誤.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義,性質(zhì)以及線面關(guān)系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.7、A【解析】

由題意畫出圖形,求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑,再求出外接球球心到D的距離,利用勾股定理求得過點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑,則答案可求.【詳解】如圖,設(shè)三角形ABC外接圓的圓心為G,則外接圓半徑AG=,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為O,則外接球的半徑R=取SA中點(diǎn)E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,所以O(shè)D=.則過點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點(diǎn)D的平面截球O所得截面的最小面積為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問題,還考查了求截面的最小面積,屬于較難題.8、A【解析】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意得圓心為,的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,,又,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,化簡整理得,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,建立方程組,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧希蔬x:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.11、D【解析】

判斷,利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【詳解】∵,∴.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.12、C【解析】

根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】記小球落入袋中的概率,則,又小球每次遇到黑色障礙物時(shí)一直向左或者一直向右下落,小球?qū)⒙淙氪杂校瑒t.故本題應(yīng)填.14、【解析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力15、【解析】

把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,求出得答案.【詳解】,,則,的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,故答案為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.16、【解析】

求出向量的坐標(biāo),然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】,,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)是定值,.【解析】

(1)設(shè)出M的坐標(biāo)為,采用直接法求曲線的方程;(2)設(shè)AB的方程為,,,,求出AT方程,聯(lián)立直線方程得D點(diǎn)的坐標(biāo),同理可得E點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用向量數(shù)量積算即可.【詳解】(1)設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由知∥,又在直線上,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為,又,點(diǎn)為的中點(diǎn),所以,,,由得,即;(2)設(shè)直線AB的方程為,代入得,設(shè),,則,,設(shè),則,所以AT的直線方程為即,令,則,所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為,同理E點(diǎn)的坐標(biāo)為,于是,,所以,從而,所以是定值.【點(diǎn)睛】本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關(guān)系中的定值問題,在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系,本題思路簡單,但計(jì)算量比較大,是一道有一定難度的題.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)可證面,從而可得.(2)可證點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn),再過作于,過作,垂足為,則為二面角的平面角,利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用兩個(gè)平面的法向量來計(jì)算二面角的平面角的余弦值,最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.【詳解】證明:(1)因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫矫妫剩忠驗(yàn)椋裕瑒t,又,故面,又面,所以.(2)由(1)可得:面在面內(nèi)的射影為,則為直線與平面所成的角,即.因?yàn)椋裕裕裕袋c(diǎn)為線段的三等分點(diǎn).解法一:過作于,則平面,所以,過作,垂足為,則為二面角的平面角,因?yàn)椋瑒t在中,有,所以二面角的平面角的正切值為.解法二:以點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)點(diǎn),由得:,即,,,點(diǎn),平面的一個(gè)法向量,又,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的平面角為,則,即,所以二面角的正切值為.【點(diǎn)睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到,也可以由兩條線所成的角為得到,而線面垂直又可以由面面垂直得到,解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.空間中的角的計(jì)算,可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算,也可以構(gòu)建空間角,把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.19、(Ⅰ)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).見解析(Ⅱ)見解析【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值,進(jìn)而研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題;(Ⅱ)求導(dǎo),,由于在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為,,求出,利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點(diǎn),即可證明出.【詳解】解:(Ⅰ),,當(dāng)時(shí),,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,在區(qū)間上無零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,在區(qū)間上唯一零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,;在區(qū)間上唯一零點(diǎn);綜上可知,函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).(Ⅱ),,由(Ⅰ)知在無極值點(diǎn);在有極小值點(diǎn),即為;在有極大值點(diǎn),即為,由,即,,2…,,,,,,以及的單調(diào)性,,,,,由函數(shù)在單調(diào)遞增,得,,由在單調(diào)遞減,得,即,故.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,通過導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題和證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.20、(1)證明見解析,;(2)11202.【解析】

(1)由n,,成等差數(shù)列,可得,,兩式相減,由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列,可求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)中的可求出,根據(jù)和求出數(shù)列,中的公共項(xiàng),分組求和,結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式,可得答案.【詳解】(1)證明:因?yàn)閚,,成等差數(shù)列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又當(dāng)時(shí),,所以,所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,即.(2)根據(jù)(1)求解知,,,所以,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.又因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義,考查分組求和,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】分析:(1)先求導(dǎo),再令在上恒成立,得到上恒成立,利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到,再求得,再構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解:(1)由函數(shù)有意義,則由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間,則在上恒成立,上恒成立

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