PAGE18PAGE19福建省泉州科技中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）1.某同學(xué)從3本不同的哲學(xué)圖書、4本不同的自然科學(xué)圖書、2本不同的社會(huì)科學(xué)圖書中任選1本閱讀，則不同的選法共有A.24種 B.12種 C.9種 D.3種2.已知，則A.0 B. C. D.13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

A. B.

C.， D.4.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

則

A. B. C.17 D.305.函數(shù)的圖象大致為A.

B.

C. D.6.函數(shù)在內(nèi)存在極值點(diǎn)，則

A. B.

C.或 D.或7.定義在R上的函數(shù)，若，，，則比較a，b，c的大小關(guān)系為A. B. C. D.A.函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)B.在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間遞減

C.函數(shù)的極值點(diǎn)是D.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）9.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題是

A.是函數(shù)的極值點(diǎn)B.是函數(shù)的最小值點(diǎn)

C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在處切線的斜率小于零10.若函數(shù)與圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a可能取值為

A.2B.0 C.1 D.11.已知對(duì)于函數(shù)其中，，選取的一組值計(jì)算和，所得出的結(jié)果可能是

A.3和1B.2和4 C.3和4 D.4和612．已知不等式ex≥x＋1對(duì)?x∈R恒成立．以下命題中真命題是()A．對(duì)?x∈R，不等式e－x>1－x恒成立B．對(duì)?x∈(0，＋∞)，不等式ln(x＋1)<x恒成立C．對(duì)?x∈(0，＋∞)，且x≠1，不等式lnx<x－1恒成立D．對(duì)?x∈(0，＋∞)，且x≠1，不等式eq\f(lnx,x＋1)＋eq\f(1,x)>eq\f(lnx,x－1)恒成立三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）13.從甲、乙、丙、丁4幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，則不同的掛法種數(shù)是__________用數(shù)字作答14.如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則涂色方法共有___________種．15.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

．16.定義在R上的函數(shù)滿意：，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為

．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.（本小題10分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：Ⅰ；Ⅱ．18.（本小題12分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在處，取得極值．求：

函數(shù)的解析式；

的單調(diào)遞增區(qū)間．19.（本小題12分）已知函數(shù)若時(shí)，求在上的最大值和最小值；

（本小題12分）已知函數(shù)，當(dāng)________，從中選出一個(gè)作為條件時(shí)，必有______從中選出一個(gè)作為結(jié)論，寫出命題并加以證明

不等式的解集．

21.（本小題12分）

已知函數(shù)，R．探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若對(duì)恒成立，求a的取值范圍．22.（本小題12分）

已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

若．

探討的單調(diào)性；

若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明：．

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查簡(jiǎn)潔計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

利用分類加法計(jì)數(shù)原理干脆求出答案即可．

【解答】

解：由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為．

故選C．

2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查函數(shù)求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題．

先求得，再求出即可．

【解答】解：由題意，得，則，故選D．

3.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，即可得到答案．

【解答】

解：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：

．

由，得，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，

故選D．

4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題．

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．

【解答】

解：由曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

則，，

所以，

故選A．

5.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)圖象的選擇，屬于中檔題．

從函數(shù)的奇偶性單調(diào)性入手，結(jié)合解除法選擇選項(xiàng)是關(guān)鍵．

【解答】

解：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以可以解除B選項(xiàng)，

又因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為：

，

若

若，，

所以當(dāng)時(shí)，，即在y軸右側(cè)單調(diào)遞增，故解除C，D選項(xiàng)．

故選A．

6.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)極值方面的應(yīng)用，屬于中檔題，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)等于零在內(nèi)有解是關(guān)鍵．

【解答】

解：，函數(shù)在內(nèi)存在極值點(diǎn)，

即在內(nèi)有解，內(nèi)有解，

因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，所以，

即．

故選A．

7.【答案】C

【解析】解：依據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，

即函數(shù)為增函數(shù)，

又由，

則有，

故選：C．

依據(jù)題意，由函數(shù)的解析式對(duì)其求導(dǎo)，分析可得函數(shù)為增函數(shù)，進(jìn)而由對(duì)數(shù)的運(yùn)算分析可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得答案．

本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判定以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用函數(shù)的導(dǎo)8.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．

依據(jù)相關(guān)學(xué)問(wèn)即可確定各選項(xiàng)的正誤．

【解答】

解：選項(xiàng)A：由得：，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)0，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由解得：，且所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：函數(shù)的極值點(diǎn)指的是函數(shù)的自變量的取值，不是一個(gè)點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：函數(shù)在單調(diào)遞增，所以因?yàn)椋裕矗蔇正確．

故選D．

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值的應(yīng)用．

依據(jù)的導(dǎo)函數(shù)圖像即可求解．

【解答】

解：是函數(shù)的極值點(diǎn)，故A正確，

B.不是函數(shù)的最小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤

C.在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確，

D.在處切線的斜率大于零，故D錯(cuò)誤．

故選AC．

10.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題．

結(jié)合圖象，由函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)剛好滿意，當(dāng)只須要直線是的切線，且切點(diǎn)為，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．

【解答】

解：與恒過(guò)定點(diǎn)，

如圖：

，

當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

則為的切線，且切點(diǎn)為，

由，所以，

綜上所述，實(shí)數(shù)a可能取值為0，1，．

故選BCD．

11.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性，考查推理實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

利用為偶數(shù)即可求解．

【解答】

解：設(shè)，因?yàn)?/p>

所以為奇函數(shù)則，

，

，

．

，

為偶數(shù)．

故選ABD．12.答案BCD解析由ex>x＋1對(duì)?x∈R恒成立，結(jié)合對(duì)稱性可知，對(duì)?x∈R，不等式e－x>1－x恒成立，故A不正確；由ex≥x＋1，且x∈(0，＋∞)，兩邊取對(duì)數(shù)，得x>ln(x＋1)，即ln(x＋1)<x，故B正確；令f(x)＝lnx－x＋1，則f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)max＝f(1)＝0，則lnx－x＋1<0，即lnx<x－1，故C正確；當(dāng)x∈(0，＋∞)，且x≠1時(shí)，不等式eq\f(lnx,x＋1)＋eq\f(1,x)>eq\f(lnx,x－1)等價(jià)于eq\f(2lnx,x2－1)－eq\f(1,x)<0，即eq\f(1,x)>eq\f(2lnx,x2－1)，若x∈(0,1)，則eq\f(x2－1,2x)<lnx，令g(x)＝eq\f(x2－1,2x)－lnx，g′(x)＝eq\f(4x2－2x2＋2,4x2)－eq\f(1,x)＝eq\f(x－12,2x2)>0，∴g(x)在(0,1)上為增函數(shù)，則g(x)<g(1)＝0，即eq\f(x2－1,2x)<lnx.若x∈(1，＋∞)，則eq\f(x2－1,2x)>lnx，令g(x)＝eq\f(x2－1,2x)－lnx，g′(x)＝eq\f(4x2－2x2＋2,4x2)－eq\f(1,x)＝eq\f(x－12,2x2)>0，∴g(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，則g(x)>g(1)＝0，即eq\f(x2－1,2x)>lnx.∴不等式eq\f(lnx,x＋1)＋eq\f(1,x)>eq\f(lnx,x－1)恒成立．D正確．故選ABCD.

13.【答案】12

【解析】【分析】

本題主要考查分步乘法原理及其應(yīng)用，考查學(xué)生推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

首先第一步先從4幅畫中選2幅，其次步，在將選出的2幅畫放在左、右兩邊墻上，利用分步乘法原理得到答案．

【解答】

解：第一步先從4幅畫中選2幅共有中選法

其次步，在將選出的2幅畫放在左、右兩邊墻上有2種方法；

所以依據(jù)分步乘法原理不同的掛法為．

故答案為：12．

14.【答案】3

【解析】解：，

，

當(dāng)時(shí)，有極大值3，

，，

，，

，，

．

故答案為：3．

求導(dǎo)函數(shù)，利用當(dāng)時(shí)，有極大值3，求出a，b的值，即可得出結(jié)論．

本題考查導(dǎo)數(shù)學(xué)問(wèn)的應(yīng)用，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．

15.【答案】480

【解析】【分析】

本題考查了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

依據(jù)題意分狀況探討，再相加即可．

【解答】

解：用四種顏色涂A，B，C，D種數(shù)有；

用三種顏色涂AD，B，C種數(shù)有，

則共有種．

故答案為480．

16.【答案】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，涉及利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是構(gòu)造，并分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了分析和轉(zhuǎn)化實(shí)力，屬于中檔題．

依據(jù)題意，令，分析可得為奇函數(shù)且在R上為減函數(shù)，然后將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解．

解：依據(jù)題意，令，

若，變形有，

即，

故為奇函數(shù)，

由，則，

又當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，恒成立，

即在上為減函數(shù)，

又由為奇函數(shù)，則在上也為減函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

則，

綜上所述為R上的減函數(shù)，

則不等式，即，

所以，即，

則有，解得，

故不等式的解集為．

故答案為．17.【答案】解：Ⅰ依據(jù)題意，，

則，

Ⅱ依據(jù)題意，，則．

【解析】依據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．

本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，關(guān)鍵駕馭導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：由的圖象過(guò)點(diǎn)得，

，

又，

由得，

．

，

由得或，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，．

【解析】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算實(shí)力，屬于較易題目．

由的圖象過(guò)點(diǎn)得，結(jié)合，求解即可．

通過(guò)，求解的單調(diào)遞增區(qū)間即可．

19.【答案】解：時(shí)，，

，

令，則或，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

在上的最大值為，最小值為

在時(shí)，，

可得在上恒成立，

只要求在的最小值即可，

而恒成立，

在上為增函數(shù)，

，

．

【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值，屬于中檔題目．

將代入，求出的導(dǎo)數(shù)，得出的單調(diào)性，求出的最值即可；

由題意可得在上恒成立，分類參數(shù)a，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出在上的最小值即可．

20.【答案】解：若選，

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?/p>

，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以的最小值為，所以；

若選，

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?/p>

，

則恒成立，所以單調(diào)遞減，

所以不等式得，

所以，解得，

即不等式的解集為．

【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，分選和兩種狀況，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性即可得證．21.【答案】解：，

當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

設(shè)

，即對(duì)恒成立，

，

令，對(duì)恒成立，在上單調(diào)遞增，

，

當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

，，

又，，

當(dāng)，即時(shí)，則存在唯一的使，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，

故，解得，，

又，而在上單調(diào)遞增，，

解得．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

22.【答案】解：，

，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減；

當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，

函數(shù)在遞減，在遞增；

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

由知，若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不行能有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故；

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

故要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需，即，