第21講尺規作圖（精講）學會作一條線段等于已知線段學會作一個角等于已知角學會作已知角的角平分線學會過一點作已知線段的垂線作已知線段的垂直平分線TOC\o"1-2"\h\u第21講尺規作圖（精講） 1考點1：作等線段 3考點2：作等角 8考點3：作角平分線 16考點4：過直線外一點作已知直線的垂線 26考點5：作垂直平分線 30考點6：綜合運用 36課堂總結：思維導圖 66分層訓練：課堂知識鞏固 67考點1：作等線段作一條線段等于已知線段已知：線段，作一條線段，？作法：①用直尺畫射線②用圓規在射線上截取∴線段AB即為所求在給出的圖形中，完成以下作圖（尺規作圖，保留作圖痕跡）①作的平分線，交于點；②延長到，使，連接．如圖，在中，．（1）用尺規作的平分線，交于點；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若，求的度數．用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡，已知：如圖，線段，．求作：線段，使．如圖，已知線段，射線．按要求完成作圖：（1）用圓規在射線上截取，連接；（2）以為一邊，以為頂點，在射線上方，用三角尺作；延長，交于點；（3）比較線段與的大小，與的大小，并直接寫出結論．如圖，已知直線和直線外三點，，，請按下列要求畫圖：（1）畫線段；（2）畫射線；（3）延長到，使得；（4）在直線上找一點，使得最小，并說明你的作圖依據：兩點之間線段最短．考點2：作等角作一個角等于已知角已知：求作：作法：①以O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA與點D，交OB于點E；②作射線③以為圓心,OD長為半徑畫弧,交于點④以為圓心,ED長為半徑畫弧，交上一步所畫的弧與⑤過作射線,為所求已知，如圖，作的外接圓，在上方作弦使，連接，并求證：．（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）已知：線段，，垂足為點．求作：四邊形，使得點，分別在射線，上，且，，．（2021?福建）如圖，已知線段，，垂足為．（1）求作四邊形，使得點，分別在射線，上，且，，；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設，分別為（1）中四邊形的邊，的中點，求證：直線，，相交于同一點．（2020?福建）如圖，為線段外一點．（1）求作四邊形，使得，且；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形中，，相交于點，，的中點分別為，，求證：，，三點在同一條直線上．（2020?陜西）如圖，已知，，．請用尺規作圖法，在邊上求作一點，使．（保留作圖痕跡，不寫作法，答案不唯一）（2017?泰州）如圖，中，．（1）用直尺和圓規在的內部作射線，使（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若（1）中的射線交于點，，，求的長．（2017?青島）已知：四邊形．求作：點，使，且點到邊和的距離相等．考點3：作角平分線作已知角的角平分線作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD=OE。②分別以D、E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交于點C③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線如圖所示，要把殘破的輪片復制完整，已知弧上的三點，，．用尺規作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）在勞動植樹節活動中，兩個班的學生分別在，兩處參加植樹勞動，現要在道路的，交叉區域內設一個茶水供應點，使到兩條道路的距離相等，且使，請同學們用圓規、直尺在圖中畫出供應點的位置，保留畫圖痕跡，不要證明．如圖，在中，．（1）作的垂直平分線，交于點，交于點（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）當，時，求的周長．如圖所示，要把殘破的輪片復制完整，已知弧上的三點，，．用尺規作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）如圖，已知．①請用尺規作圖法作出邊的垂直平分線，交于點；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）②在（1）的條件下，連接，若，，求的周長．如圖，在中，（1）尺規作圖：作的平分線，交于點（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）是底邊的延長線上一點，是的中點，連接，，若，求證：．如圖，已知，用直尺和圓規按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）作的角平分線；（2）在邊上找一點，使得．如圖，在中，點為邊上一點，連接，用尺規在邊上找一點，使得與的面積相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）如圖，在中，（1）用直尺和圓規分別作的平分線、線段的中垂線、它們的交點（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標注點；（2）過點作，，垂足分別為點、．求證：．（2017?福建）如圖，中，，，垂足為．求作的平分線，分別交，于，兩點；并證明．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2017?陜西）如圖，在鈍角中，過鈍角頂點作交于點．請用尺規作圖法在邊上求作一點，使得點到的距離等于的長．（保留作圖痕跡，不寫作法）考點4：過直線外一點作已知直線的垂線過一點作已知線段的垂線求作：AB的垂線，使它經過點C作法：①以點C為圓心，大于到線段距離為半徑作弧，交AB與點D、E。②分別以點D、E為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點F。③作直線CF，CF即為所求的直線如圖，在中，．（1）尺規作圖：在線段上找一點，以為圓心作圓，使經過、兩點；（2）在（1）中所作圖中，求證：與的相切．如圖在中，，，請利用尺規作圖法作使得與相切于點，同時與相切（保留作圖痕跡，不寫作法）．作圖與計算：如圖正方形．（1）用帶刻度的直尺和圓規，分別作正方形的外接圓和內切圓．（2）若正方形的邊長是，求它的內切圓和外接圓組成的圓環的面積（答案保留．考點5：作垂直平分線作已知線段的垂直平分線作法：①以A為圓心大于長為半徑作弧，以B為圓心大于長為半徑作弧,兩弧交于C、D兩點②連接CD，即為所求如圖，在四邊形中，，請利用尺規作圖法在邊上求作一點，連接、，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2021?阿壩州）如圖，在中，，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，連接，則的大小為A． B． C． D．（2019?無錫）如圖，為半圓的直徑，為半圓上一點，．（1）請用直尺（不含刻度）與圓規在上作一點，使得直線平分的周長；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，求的面積．（2019?棗莊）如圖，是菱形的對角線，，（1）請用尺規作圖法，作的垂直平分線，垂足為，交于；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接，求的度數．（2018?河池）如圖，在中，，（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）①作的垂直平分線，垂足為；②以為圓心，長為半徑作圓，交于異于，連接；（2）探究與的位置關系，并證明你的結論．考點6：綜合運用如圖，在中，，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交的兩側于點、，連接，交于點，連接，則的度數為A． B． C． D．尺規作圖：作角等于已知角．示意圖如圖所示，則說明的依據是A． B． C． D．如圖①，已知，用直尺和圓規作的平分線．如圖②，步驟如下：第一步，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點．第二步，分別以點，為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點．第三步，畫射線．射線即為所求．下列說法正確的是A． B． C． D．在中，，，，用無刻度的直尺和圓規在邊上找一點，使，下列作法正確的是A．B．C． D．如圖，的面積是，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交、于點、，再分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，過點作于點，連接，則的面積是A． B． C． D．（2021?青島）請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：及其一邊上的兩點，．求作：，使，且點在內部，．（2021?湖北）已知和都為正三角形，點，，在同一直線上，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖1，當時，作的中線；（2）如圖2，當時，作的中線．（2021?南京）如圖，已知是外一點．用兩種不同的方法過點作的一條切線．要求：（1）用直尺和圓規作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．（2021?嘉峪關）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數學家阿基米德提出的有關圓的一個引理．如圖，已知，是弦上一點，請你根據以下步驟完成這個引理的作圖過程．（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；①作線段的垂直平分線，分別交于點，于點，連接，；②以點為圓心，長為半徑作弧，交于點，兩點不重合），連接，，．（2）直接寫出引理的結論：線段，的數量關系．（2021?重慶）如圖，在中，．（1）用尺規完成以下基本作圖：在上截取，使；作的平分線交于點．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接交于點，猜想按角分類的類型，并證明你的結論．（2020?昆明）如圖，點是的直徑延長線上的一點，點是線段的中點．（1）尺規作圖：在直徑上方的圓上作一點，使得，連接，（保留清晰作圖痕跡，不要求寫作法）；并證明是的切線；（2）在（1）的條件下，若，，求的長．（2020?咸寧）如圖，在中，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，在上截取．連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）請用無刻度的直尺在內找一點，使．（標出點的位置，保留作圖痕跡，不寫作法）（2020?嘉峪關）如圖，在中，是邊上一點，且．（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）①作的角平分線交于點；②作線段的垂直平分線交于點．（2）連接，直接寫出線段和的數量關系及位置關系．（2019?陜西）如圖，已知，點在邊上．請用尺規作圖法求作，使與邊相切．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2019?廣州）如圖，的直徑，弦，連接．（1）尺規作圖：作弦，使（點不與重合），連接；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求四邊形的周長．（2019?江西）在中，，點在以為直徑的半圓內．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．（1）在圖1中作弦，使；（2）在圖2中以為邊作一個的圓周角．（2019?金昌）已知：在中，．（1）求作：的外接圓．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若的外接圓的圓心到邊的距離為4，，則．（2019?達州）如圖，在中，，，．（1）尺規作圖：不寫作法，保留作圖痕跡．①作的平分線，交斜邊于點；②過點作的垂線，垂足為點．（2）在（1）作出的圖形中，求的長．（2019?德州）如圖，，點、分別在射線、上，，．（1）用尺規在圖中作一段劣弧，使得它在、兩點分別與射線和相切．要求：寫出作法，并保留作圖痕跡；（2）根據（1）的作法，結合已有條件，請寫出已知和求證，并證明；（3）求所得的劣弧與線段、圍成的封閉圖形的面積．（2018?江西）如圖，在四邊形中，，，為的中點，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．（1）在圖1中，畫出的邊上的中線；（2）在圖2中，若，畫出的邊上的高．如圖，點、、在上，．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求作圖．（1）在圖（1）中，作一個度數為的圓周角；（2）在圖（2）中，作一個度數為的圓周角．（1）如圖1，已知，是的角平分線，請你僅用無刻度的直尺作出的平分線；（2）如圖2，已知，且，分別平分與，與相交于，請你僅用無刻度的直尺作出的平分線．如圖，一組等距的平行線上有一個半圓，點為圓心，為直徑，點，，，是半圓弧與平行線的交點．只用無刻度的直尺作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中作出邊上的中線．（2）在圖2中作的角平分線．（2021?阿壩州）如圖，在中，，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，連接，則的大小為A． B． C． D．（2021?興安盟）如圖，中，、交于點，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點，作直線，交于點，交于點，連接，若，的周長為14，則的長為A． B．6 C．8 D．10（2021?百色）如圖，在中，尺規作圖的部分作法如下：（1）分別以弦的端點、為圓心，適當等長為半徑畫弧，使兩弧相交于點；（2）作直線交于點．若，，則等于A． B． C． D．（2021?鄂爾多斯）已知：的頂點，點在軸的正半軸上，按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點，交于點．②分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內相交于點．③畫射線，交于點，則點的坐標為A．， B．， C．， D．，（2021?黃石）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以為圓心，任意長為半徑作弧，分別交、于、兩點；②分別以、為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；③作射線，交邊于點．若，，則線段的長為A．3 B． C． D．（2021?貴陽）如圖，已知線段，利用尺規作的垂直平分線，步驟如下：①分別以點，為圓心，以的長為半徑作弧，兩弧相交于點和．②作直線．直線就是線段的垂直平分線．則的長可能是A．1 B．2 C．3 D．4（2021?廣元）觀察下列作圖痕跡，所作線段為的角平分線的是A． B． C． D．（2021?杭州）已知線段，按如下步驟作圖：①作射線，使；②作的平分線；③以點為圓心，長為半徑作弧，交于點；④過點作于點，則A． B． C． D．課堂總結：思維導圖分層訓練：課堂知識鞏固1．（2022秋?泰山區期末）如圖，在中，根據尺規作圖痕跡，下列說法不一定正確的是A． B． C． D．2．（2022秋?館陶縣期末）數學課上，老師提出一個問題：經過已知角一邊上的點，做一個角等于已知角．如圖，用尺規過的邊上一點（圖①作（圖②．我們可以通過以下步驟作圖：①作射線；②以點為圓心，小于的長為半徑作弧，分別交于點，；③以點為圓心，的長為半徑作弧，交上一段弧于點；④以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點．下列排序正確的是A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①3．（2022?鄂州）如圖，直線，點、分別在、上，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接．若，則的度數為A． B． C． D．4．（2021?鄂爾多斯）已知：的頂點，點在軸的正半軸上，按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點，交于點．②分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內相交于點．③畫射線，交于點，則點的坐標為A．， B．， C．， D．，5．（2022?通遼）如圖，依據尺規作圖的痕跡，求的度數．6．（2022?貴港）尺規作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）如圖，已知線段，．求作，使，，．7．（2022?青島）已知：，．求作：點，使點在內部．且，．8．（2022?陜西）如圖，已知，，是的一個外角．請用尺規作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）9．（2022秋?丹東期末）如圖，已知平面上四個點，，，，請按要求完成下列問題：（1）畫直線，射線，連接；（2）在線段上求作點，使得；（保留作圖痕跡）（3）請在直線上確定一點，使點到點與點的距離之和最短，并寫出畫圖的依據．1．（2022春?滑縣期末）如圖，是一張平行四邊形紙片，要求利用所學知識將它變成一個菱形，甲、乙兩位同學的作法分別如下．甲：分別作與的平分線、，分別交于點，交于點，則四邊形是菱形；乙：分別以點、為圓心，以的長為半徑畫弧，分別交于點，交于點，則四邊形是菱形．對于甲、乙兩人的作法，判斷正確的是A．甲、乙均正確 B．甲，乙均錯誤 C．甲正確，乙錯誤 D．甲錯誤，乙正確2．（2022?邯鄲三模）古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中記載了用尺規作某種六邊形的方法，其步驟是：①在上任取一點，連接并延長交于點；②以點為圓心，為半徑作圓弧分別交于，兩點；③連接，并延長分別交于點，；④順次連接，，，，，，得到六邊形．連接，，交于點，則下列結論錯誤的是A．的內心與外心都是點 B． C．點是線段的三等分點 D．3．（2020秋?五華區期末）如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，則下列說法中正確的個數是①是的平分線；②；③點在的垂直平分線上；④若，則點到的距離是；⑤．A．2 B．3 C．4 D．54．（2021秋?興隆臺區校級期末）如圖，點在的邊上，用尺規作出了．以下是排亂的作圖過程：則正確的作圖順序是①以為圓心，長為半徑畫，交于點．②作射線，則．③以為圓心，長為半徑畫弧，交于點．④以為圓心，任意長為半徑畫，分別交，于點，．A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①②5．（2021?陽新縣校級模擬）如圖，在中，，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線，交于點；分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點、，作直線，交于點；連接、．則的度數為A． B． C． D．6．（2023?小店區校級一模）如圖，已知，點為上一點．（1）畫，垂足為；（2）畫的平分線，交于；（3）過點畫，交于點．（注：不需要寫出作法，只需保留作圖痕跡）7．（2022秋?灌南縣期中）小明同學用圓規和直尺按下面方法作的平分線：作法：①如圖，以為圓心，以任意長為半徑畫弧與，交于點，；②再以任意長為半徑畫弧與，交于點，；③連接，交于點，連接，則平分．老帥說：小明同學這種作角平分線的方法是正確的，并且小明已證出，從而得到了，下面請你幫助小明同學完成后面平分的證明．8．（2022?豐澤區校級模擬）如圖，矩形中，，，是邊上的一點，點在邊上，且滿足．（1）請用不帶刻度的直尺和圓規，在所給的圖中作出符合條件的點（不要求寫作法，但保留作圖痕跡）；（2）若，試確定的長．9．（2021秋?霍邱縣期末）如圖，以直線上一點為端點作射線，使，將一個直角三角板的直角頂點放在點處．（注；（1）如圖①，若直角三角板的一邊放在射線上，則；（2）如圖②，將直角三角板繞點轉動，如果在的內部，且，求的度數；（3）將直角三角板繞點轉動，如果在的外部，且，請在備用圖中畫出三角板的位置，并求出的度數．10．（2022?治多縣模擬）如圖，在中，，（1）按下列要求完成尺規作圖：作線段的垂直平分線，交于點；連接并延長至，使得；連接、（保留作圖痕跡，請標明字母）；（2）判斷四邊形的形狀，并說明理由．11．（2021秋?海安市校級月考）作圖題，不要求寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖，鐵路和公路都經過地，曲線是一條河流，現欲在河上建一個貨運碼頭，使其到鐵路和公路的距離相等，請用直尺和圓規通過畫圖找到碼頭的位置．（2）已知如圖線段、線段，求作等腰三角形，使底邊，底邊上的高等于．1．（2021秋?船山區校級期末）如圖，求作一點，使，并且點到兩邊的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）．2．（2015?江陰市校級一模）提出問題：如圖，在“兒童節”前夕，小明和小華分別獲得一塊分布均勻且形狀為等腰梯形和直角梯形的蛋糕，在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將自己的這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量都一樣）．背景介紹：這條分割直線既平分了梯形的面積，又平分了梯形的周長，我們稱這條線為梯形的“等分積周線”．嘗試解決：（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規作圖作出．請你幫小明在圖1中作出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．（2）小華覺得小明的方法很好，所以模仿著在自己的蛋糕（圖中畫了一條直線分別交、于點、．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．若圖2中，，，，，．請你找出梯形的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．第21講尺規作圖（精講）學會作一條線段等于已知線段學會作一個角等于已知角學會作已知角的角平分線學會過一點作已知線段的垂線作已知線段的垂直平分線TOC\o"1-2"\h\u第21講尺規作圖（精講） 1考點1：作等線段 3考點2：作等角 8考點3：作角平分線 16考點4：過直線外一點作已知直線的垂線 26考點5：作垂直平分線 30考點6：綜合運用 36課堂總結：思維導圖 66分層訓練：課堂知識鞏固 67考點1：作等線段作一條線段等于已知線段已知：線段，作一條線段，？作法：①用直尺畫射線②用圓規在射線上截取∴線段AB即為所求在給出的圖形中，完成以下作圖（尺規作圖，保留作圖痕跡）①作的平分線，交于點；②延長到，使，連接．【分析】根據角平分線的定義利用直尺和圓規作出即可．【解答】解：如圖所示：射線和線段即為所求．．【點評】本題考查了作圖基本作圖，角平分線的定義，正確理解角平分線的定義是關鍵．如圖，在中，．（1）用尺規作的平分線，交于點；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若，求的度數．【分析】（1）利用基本作圖作的平分線即可；（2）由平分得到，由得到，然后根據三角形內角和計算的度數．【解答】解：（1）如圖，為所作；（2）平分，，，，，，，即，．【點評】本題考查了作圖基本作圖，熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）是解決問題的關鍵．也考查了等腰三角形的性質．用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡，已知：如圖，線段，．求作：線段，使．【分析】作射線，在射線上截取，在線段上截取，則線段即為所求．【解答】解：如圖，線段即為所求．【點評】本題考查作圖復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．如圖，已知線段，射線．按要求完成作圖：（1）用圓規在射線上截取，連接；（2）以為一邊，以為頂點，在射線上方，用三角尺作；延長，交于點；（3）比較線段與的大小，與的大小，并直接寫出結論．【分析】（1）根據要求作出圖形即可；（2）根據要求作出圖形即可；（3）利用測量法解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求；（2）如圖，射線即為所求；（3）利用測量法可知，，．【點評】本題考查作圖復雜作圖，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．如圖，已知直線和直線外三點，，，請按下列要求畫圖：（1）畫線段；（2）畫射線；（3）延長到，使得；（4）在直線上找一點，使得最小，并說明你的作圖依據：兩點之間線段最短．【分析】根據線段，直線，射線的定義，兩點之間線段最短畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求；（2）如圖，射線即為所求；（3）如圖，線段即為所求；（4）如圖，點即為所求．理由是：兩點之間線段最短．故答案為：兩點之間線段最短．【點評】本題考查作圖復雜作圖，直線，射線，線段的定義，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是理解直線，射線，線段的定義，屬于中考常考題型．考點2：作等角作一個角等于已知角已知：求作：作法：①以O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA與點D，交OB于點E；②作射線③以為圓心,OD長為半徑畫弧,交于點④以為圓心,ED長為半徑畫弧，交上一步所畫的弧與⑤過作射線,為所求已知，如圖，作的外接圓，在上方作弦使，連接，并求證：．（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作線段，的垂直平分線交于點，連接，以為圓心，為半徑作，以為圓心，為半徑作弧，在的上方交于點，連接即可．【解答】解：如圖，，線段即為所求．【點評】本題考查作圖復雜作圖，三角形的外接圓等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．已知：線段，，垂足為點．求作：四邊形，使得點，分別在射線，上，且，，．【分析】以為圓心，為半徑作弧交于點，分別以，為圓心，為半徑作弧，兩弧交于點，連接，作于，四邊形即為所求．【解答】解：如圖，四邊形即為所求．【點評】本題考查作圖復雜作圖，平行線的性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（2021?福建）如圖，已知線段，，垂足為．（1）求作四邊形，使得點，分別在射線，上，且，，；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設，分別為（1）中四邊形的邊，的中點，求證：直線，，相交于同一點．【分析】（1）先截取，再分別以、為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點，然后過點作的垂線得到；（2）證明：設交于，交于，利用平行線分線段成比例定理得到，，則，于是可判斷點與點重合．【解答】（1）解：如圖，四邊形為所作；（2）證明：設交于，交于，，，，，，分別為邊，的中點，，，，，點與點重合，直線，，相交于同一點．【點評】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線分線段成比例定理．（2020?福建）如圖，為線段外一點．（1）求作四邊形，使得，且；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形中，，相交于點，，的中點分別為，，求證：，，三點在同一條直線上．【分析】（1）利用尺規作圖作，且，即可作出四邊形；（2）在（1）的四邊形中，根據相似三角形的判定與性質即可證明，，三點在同一條直線上．【解答】解：（1）如圖，四邊形即為所求；（2）證明：如圖，，，，，，，的中點分別為，，，，，連接，，，，，點在上，，，，，三點在同一條直線上．【點評】本題考查了作圖復雜作圖、相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質．（2020?陜西）如圖，已知，，．請用尺規作圖法，在邊上求作一點，使．（保留作圖痕跡，不寫作法，答案不唯一）【分析】根據尺規作圖法，作一個角等于已知角，在邊上求作一點，使即可，或作的垂直平分線交于點【解答】解：如圖，點即為所求．【點評】本題考查了作圖基本作圖，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．（2017?泰州）如圖，中，．（1）用直尺和圓規在的內部作射線，使（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若（1）中的射線交于點，，，求的長．【分析】（1）根據尺規作圖的方法，以為一邊，在的內部作即可；（2）根據與相似，運用相似三角形的對應邊成比例進行計算即可．【解答】解：（1）如圖所示，射線即為所求；（2），，，，即，．【點評】本題主要考查了基本作圖以及相似三角形的判定與性質的運用，解題時注意：兩角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應邊成比例．（2017?青島）已知：四邊形．求作：點，使，且點到邊和的距離相等．【分析】根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知：到邊和的距離相等的點在的平分線上，所以第一步作的平分線，要想滿足，則作，得到點，再作兩角相等得點．【解答】解：作法：①作的平分線，②過作，交于點，③以為角的頂點作，則點和就是所求作的點；【點評】本題是作圖題，考查了角平分線的性質、平行線的性質，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊距離相等是關鍵．考點3：作角平分線作已知角的角平分線作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD=OE。②分別以D、E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交于點C③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線如圖所示，要把殘破的輪片復制完整，已知弧上的三點，，．用尺規作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作兩弦的垂直平分線，其交點即為圓心；【解答】解：分別作和的垂直平分線，設交點為，則為所求圓的圓心；【點評】本題綜合考查作圖，垂徑定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．在勞動植樹節活動中，兩個班的學生分別在，兩處參加植樹勞動，現要在道路的，交叉區域內設一個茶水供應點，使到兩條道路的距離相等，且使，請同學們用圓規、直尺在圖中畫出供應點的位置，保留畫圖痕跡，不要證明．【分析】因為到兩條道路的距離相等，且使，所以應是的平分線和的垂直平分線的交點．【解答】解：如圖，理由是：因為是的平分線和的垂直平分線的交點，所以到的兩邊和的距離相等，到、的距離相等，所以就是所求．【點評】此題考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質和角平分線的性質，需仔細分析題意，結合圖形，利用線段的垂直平分線和角的平分線的性質是解答此題的關鍵．如圖，在中，．（1）作的垂直平分線，交于點，交于點（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）當，時，求的周長．【分析】（1）利用基本作圖作垂直平分；（2）根據線段垂直平分線的性質得到，然后利用等線段代換得到的周長．【解答】解：（1）如圖，為所作；（2）垂直平分，，的周長．【點評】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了線段垂直平分線的性質．如圖所示，要把殘破的輪片復制完整，已知弧上的三點，，．用尺規作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作兩弦的垂直平分線，其交點即為圓心；【解答】解：分別作和的垂直平分線，設交點為，則為所求圓的圓心；【點評】本題綜合考查作圖，垂徑定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．如圖，已知．①請用尺規作圖法作出邊的垂直平分線，交于點；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）②在（1）的條件下，連接，若，，求的周長．【分析】①利用基本作圖作的垂直平分線即可；②利用線段垂直平分線的性質得到，然后利用等線段代換得到的周長．【解答】解：（1）①如圖，點為所作；②點為的垂直平分線與的交點，，的周長．【點評】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．如圖，在中，（1）尺規作圖：作的平分線，交于點（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）是底邊的延長線上一點，是的中點，連接，，若，求證：．【分析】（1）以點為圓心，適當的長為半徑作弧，交于兩點，分別以這兩點為圓心，適當的長為半徑畫弧，交于一點，最后過該點與點作射線，交于點即可；（2）先根據角平分線的定義以及三角形外角性質，求得，進而得出，再根據是的中點即可得出結論．【解答】解：（1）如圖所示，射線即為所求；（2）證明：，，平分，，，，是的外角，，，，又是的中點，．【點評】本題主要考查了基本作圖的運用以及等腰三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質．如圖，已知，用直尺和圓規按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）作的角平分線；（2）在邊上找一點，使得．【分析】（1）利用尺規作的角平分線交于點，線段即為所求；（2）作線段的垂直平分線交于點，連接，點即為所求．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求；（2）如圖，點即為所求．【點評】本題考查作圖復雜作圖，角平分線，線段的垂直平分線等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．如圖，在中，點為邊上一點，連接，用尺規在邊上找一點，使得與的面積相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】利用尺規作交于點，連接，即為所求．【解答】解：如圖，即為所求．【點評】本題考查作圖復雜作圖，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用等高模型解決面積線段問題，是中考常考題型．如圖，在中，（1）用直尺和圓規分別作的平分線、線段的中垂線、它們的交點（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標注點；（2）過點作，，垂足分別為點、．求證：．【分析】（1）利用尺規作出的角平分線，線段的中垂線即可；（2）證明，可得．【解答】（1）解：如圖，點即為所求；（2）證明：如圖，連接，，點在的垂直平分線上，，平分，，，，，在和中，，，．【點評】本題考查作圖復雜作圖，角平分線的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．（2017?福建）如圖，中，，，垂足為．求作的平分線，分別交，于，兩點；并證明．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】根據角平分線的性質作出即可．先根據垂直的定義得出，故．再根據余角的定義得出，根據角平分線的性質得出，再由可知，據此可得出結論．【解答】解：就是所求的的平分線，、就是所求作的點．證明：，，．，．，．，，．【點評】本題考查的是作圖基本作圖，熟知角平分線的作法和性質是解答此題的關鍵．（2017?陜西）如圖，在鈍角中，過鈍角頂點作交于點．請用尺規作圖法在邊上求作一點，使得點到的距離等于的長．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】根據題意可知，作的平分線交于點即可．【解答】解：如圖，點即為所求．【點評】本題考查的是作圖基本作圖，熟知角平分線的作法和性質是解答此題的關鍵．考點4：過直線外一點作已知直線的垂線過一點作已知線段的垂線求作：AB的垂線，使它經過點C作法：①以點C為圓心，大于到線段距離為半徑作弧，交AB與點D、E。②分別以點D、E為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點F。③作直線CF，CF即為所求的直線如圖，在中，．（1）尺規作圖：在線段上找一點，以為圓心作圓，使經過、兩點；（2）在（1）中所作圖中，求證：與的相切．【分析】（1）作線段的垂直平分線，交于點，以為圓心，為半徑作即可．（2）欲證明是的切線，只要證明即可．【解答】解：（1）如圖，即為所作．（2）證明：連接中，由（1）可知，是的相切．【點評】本題考查作圖復雜作圖，等腰三角形的性質，切線的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．如圖在中，，，請利用尺規作圖法作使得與相切于點，同時與相切（保留作圖痕跡，不寫作法）．【分析】作的平分線，與交于點，以點為圓心，長為半徑作．即為所求．【解答】解：如圖，即為所求．【點評】本題考查作圖復雜作圖，角平分線的性質定理，切線的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．作圖與計算：如圖正方形．（1）用帶刻度的直尺和圓規，分別作正方形的外接圓和內切圓．（2）若正方形的邊長是，求它的內切圓和外接圓組成的圓環的面積（答案保留．【分析】（1）連接，交于點，分別為圓心，，的一半為半徑作圓即可；（2）判斷出利用圓的半徑，可得結論．【解答】解：（1）正方形的外接圓和內切圓如圖所示；（2）由題意，，，它的內切圓和外接圓組成的圓環的面積．【點評】本題考查作圖復雜作圖，正方形的性質，圓的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．考點5：作垂直平分線作已知線段的垂直平分線作法：①以A為圓心大于長為半徑作弧，以B為圓心大于長為半徑作弧,兩弧交于C、D兩點②連接CD，即為所求如圖，在四邊形中，，請利用尺規作圖法在邊上求作一點，連接、，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作線段的垂直平分線交于點，點即為所求．【解答】解：如圖，點即為所求．【點評】本題考查組復雜作圖，線段的垂直平分線等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．（2021?阿壩州）如圖，在中，，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，連接，則的大小為A． B． C． D．【分析】根據線段垂直平分線的性質得出，進而求出的度數．【解答】解：由作圖可知，直線是線段的垂直平分線，，．，．故選：．【點評】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．（2019?無錫）如圖，為半圓的直徑，為半圓上一點，．（1）請用直尺（不含刻度）與圓規在上作一點，使得直線平分的周長；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，求的面積．【分析】（1）延長，在延長線上截取，作的中垂線，垂足為，作直線即可得；（2）由作圖知是中位線，據此知，繼而由為等腰直角三角形得出，利用勾股定理求出的長，進一步計算得出答案．【解答】解：（1）如圖所示，直線即為所求；（2）如圖，為的中位線，，是的直徑，，，是等腰直角三角形，，由勾股定理可得，則的面積為．【點評】本題主要考查作圖復雜作圖，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質、線段中垂線的尺規作圖、中位線定理等知識點．（2019?棗莊）如圖，是菱形的對角線，，（1）請用尺規作圖法，作的垂直平分線，垂足為，交于；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接，求的度數．【分析】（1）分別以、為圓心，大于長為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線即可；（2）根據計算即可；【解答】解：（1）如圖所示，直線即為所求；（2）四邊形是菱形，，，．，，，垂直平分線段，，，．【點評】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質，菱形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于常考題型．（2018?河池）如圖，在中，，（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）①作的垂直平分線，垂足為；②以為圓心，長為半徑作圓，交于異于，連接；（2）探究與的位置關系，并證明你的結論．【分析】（1）根據線段中垂線的尺規作圖及圓的概念作圖可得；（2）連接，由（1）知，據此得，，結合知，相加即可得出答案．【解答】解：（1）如圖所示，直線和即為所求．（2），連接，由（1）知，則，設，則，，，，．【點評】本題主要考查作圖復雜作圖，解題的關鍵是掌握線段中垂線的尺規作圖和圓的概念、性質及等腰三角形的性質．考點6：綜合運用如圖，在中，，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交的兩側于點、，連接，交于點，連接，則的度數為A． B． C． D．【分析】分別求出，的大小，可得結論．【解答】解：，，，由作圖可知垂直平分線段，，，，故選：．【點評】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．尺規作圖：作角等于已知角．示意圖如圖所示，則說明的依據是A． B． C． D．【分析】根據證明三角形全等，可得結論．【解答】解：在和△中，，△，，故選：．【點評】本題考查作圖基本作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．如圖①，已知，用直尺和圓規作的平分線．如圖②，步驟如下：第一步，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點．第二步，分別以點，為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點．第三步，畫射線．射線即為所求．下列說法正確的是A． B． C． D．【分析】根據基本作圖（作一個角的平分線）進行判斷．【解答】解：第二步，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點．故選：．【點評】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．在中，，，，用無刻度的直尺和圓規在邊上找一點，使，下列作法正確的是A．B．C． D．【分析】根據“要在邊上找一點，使”知點應該是線段垂直平分線與的交點，據此求解即可．【解答】解：若要在邊上找一點，使，則點應該是線段垂直平分線與的交點，故選：．【點評】本題主要考查作圖—基本作圖，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的尺規作圖和性質．如圖，的面積是，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交、于點、，再分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，過點作于點，連接，則的面積是A． B． C． D．【分析】如圖，延長交于點．想辦法證明，可得結論．【解答】解：如圖，延長交于點．由作圖可知，平分，，，，，，，，，．故選：．【點評】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質，三角形中線的性質等知識，解題的關鍵是證明．（2021?青島）請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：及其一邊上的兩點，．求作：，使，且點在內部，．【分析】先在的內部作，再過點作的垂線，垂足為點．【解答】解：如圖，為所作．【點評】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（2021?湖北）已知和都為正三角形，點，，在同一直線上，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖1，當時，作的中線；（2）如圖2，當時，作的中線．【分析】（1）連接交于點，線段即為所求．（2）延長交的延長線于，連接，交于點，連接交于，線段即為所求．【解答】解：（1）如圖1中，線段即為所求．（2）如圖2中，線段即為所求．【點評】本題考查作圖復雜作圖，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是能結合題目條件，靈活運用所學知識解決問題．（2021?南京）如圖，已知是外一點．用兩種不同的方法過點作的一條切線．要求：（1）用直尺和圓規作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．【分析】方法一：直接以為直徑作圓，利用直徑所對的圓周角是直角，可得，可證直線是切線．方法二：利用三角形中位線定理解決問題即可．【解答】解：方法一：如圖1中，連接，以為直徑作圓交于，作直線，直線即為所求．方法二：作點關于點的對稱點，以為半徑作圓，連接，設原來的圓半徑為，以（即的長度為半徑，為圓心畫圓，交弧于點，連接，交于原來的圓于點，點即為切點（中位線能證明是半徑且垂直．【點評】本題考查專題復雜作圖，切線的判定，線段的垂直平分線的性質，三角形的外接圓等知識，解題的關鍵是學會利用圓周角定理構造直角，屬于中考常考題型．（2021?嘉峪關）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數學家阿基米德提出的有關圓的一個引理．如圖，已知，是弦上一點，請你根據以下步驟完成這個引理的作圖過程．（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；①作線段的垂直平分線，分別交于點，于點，連接，；②以點為圓心，長為半徑作弧，交于點，兩點不重合），連接，，．（2）直接寫出引理的結論：線段，的數量關系．【分析】（1）①根據要求作出圖形即可．②根據要求作出圖形即可．（2）證明可得結論．【解答】解：（1）①如圖，直線，線段，線段即為所求．②如圖，點，線段，，即為所求作．（2）結論：．理由：垂直平分線段，，，，，，，．，，在和中，，，．【點評】本題考查作圖復雜作圖，線段的垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，正確尋找全等三角形解決問題．（2021?重慶）如圖，在中，．（1）用尺規完成以下基本作圖：在上截取，使；作的平分線交于點．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接交于點，猜想按角分類的類型，并證明你的結論．【分析】（1）利用基本作圖畫出對應的幾何圖形；（2）根據平行四邊形的性質得到，，則，，再證明，，從而得到，于是可判斷為直角三角形．【解答】解：（1）如圖，、為所作；（2）為直角三角形．證明：四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，平分，，，，為直角三角形．【點評】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的性質．（2020?昆明）如圖，點是的直徑延長線上的一點，點是線段的中點．（1）尺規作圖：在直徑上方的圓上作一點，使得，連接，（保留清晰作圖痕跡，不要求寫作法）；并證明是的切線；（2）在（1）的條件下，若，，求的長．【分析】（1）利用尺規作圖：以點為圓心，長為半徑畫弧，在直徑上方的圓上交一點，再根據已知條件可得，根據三角形內角和可得，進而證明是的切線；（2）在（1）的條件下，根據，，可得的長，進而可得半徑，再根據勾股定理即可求的長．【解答】解：（1）如圖，點即為所求；證明：連接，點是線段的中點，，，，，，，，，且是的半徑，是的切線；（2），，，，，在中，根據勾股定理，得．則的長為8．【點評】本題考查了作圖復雜作圖、線段垂直平分線的性質、切線的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握切線的判定與性質．（2020?咸寧）如圖，在中，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，在上截取．連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）請用無刻度的直尺在內找一點，使．（標出點的位置，保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】（1）根據平行四邊形的性質和判定，菱形的判定即可證明；（2）連接，，根據菱形的性質可得和的交點即為點．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）如圖所示：點即為所求：【點評】本題考查菱形的判定和性質、平行四邊形的性質、作圖基本作圖等知識，解題的關鍵是作出圖形，屬于中考常考題型．（2020?嘉峪關）如圖，在中，是邊上一點，且．（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）①作的角平分線交于點；②作線段的垂直平分線交于點．（2）連接，直接寫出線段和的數量關系及位置關系．【分析】（1）根據尺規作基本圖形的方法：①作的角平分線交于點即可；②作線段的垂直平分線交于點即可．（2）連接，根據等腰三角形的性質和三角形中位線定理，即可寫出線段和的數量關系及位置關系．【解答】解：（1）如圖，①即為所求；②如圖，線段的垂直平分線交于點．（2），平分，點是的中點，點是的中點，是的中位線，線段和的數量關系為：，位置關系為：．【點評】本題考查了作圖復雜作圖、線段垂直平分線的性質，解決本題的關鍵是掌握線段垂直平分線的性質．（2019?陜西）如圖，已知，點在邊上．請用尺規作圖法求作，使與邊相切．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】過點作的垂線交于，然后以點為圓心，為半徑作圓即可．【解答】解：如圖，即為所求．【點評】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（2019?廣州）如圖，的直徑，弦，連接．（1）尺規作圖：作弦，使（點不與重合），連接；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求四邊形的周長．【分析】（1）以為圓心，為半徑畫弧，交于，線段即為所求．（2）連接，交于點，設，構建方程求出即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求．（2）連接，交于點，設．是直徑，，，，，于．，，，解得，，，，四邊形的周長．【點評】本題考查作圖復雜作圖，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用參數，構建方程解決問題．（2019?江西）在中，，點在以為直徑的半圓內．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．（1）在圖1中作弦，使；（2）在圖2中以為邊作一個的圓周角．【分析】（1）分別延長、交半圓于、，利用圓周角定理和等腰三角形的性質可得到，則可判斷；（2）在（1）基礎上分別延長、，它們相交于，則連接交半圓于，然后證明，從而根據圓周角定理可判斷．【解答】解：（1）如圖1，為所作；（2）如圖2，為所作．【點評】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理．（2019?金昌）已知：在中，．（1）求作：的外接圓．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若的外接圓的圓心到邊的距離為4，，則．【分析】（1）作線段，的垂直平分線，兩線交于點，以為圓心，為半徑作，即為所求．（2）在中，利用勾股定理求出即可解決問題．【解答】解：（1）如圖即為所求．（2）設線段的垂直平分線交于點．由題意，，在中，，．故答案為．【點評】本題考查作圖復雜作圖，等腰三角形的性質，三角形的外接圓與外心等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．（2019?達州）如圖，在中，，，．（1）尺規作圖：不寫作法，保留作圖痕跡．①作的平分線，交斜邊于點；②過點作的垂線，垂足為點．（2）在（1）作出的圖形中，求的長．【分析】（1）利用基本作圖，先畫出平分，然后作于；（2）利用平分得到，再判斷為等腰直角三角形，所以，然后證明，從而利用相似比計算出．【解答】解：（1）如圖，為所作；（2）平分，，，為等腰直角三角形，，，，，即，．【點評】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（2019?德州）如圖，，點、分別在射線、上，，．（1）用尺規在圖中作一段劣弧，使得它在、兩點分別與射線和相切．要求：寫出作法，并保留作圖痕跡；（2）根據（1）的作法，結合已有條件，請寫出已知和求證，并證明；（3）求所得的劣弧與線段、圍成的封閉圖形的面積．【分析】（1）過、分別作、的垂線，它們相交于，然后以為半徑作即可；（2）寫出已知、求證，然后進行證明；連接，先證明，然后根據切線的判定方法判斷、為的切線；（3）先證明為等邊三角形得到，，再計算出，然后根據扇形的面積公式，利用劣弧與線段、圍成的封閉圖形的面積進行計算．【解答】解：（1）作法：①過、分別作、的垂線，它們相交于，②以點為圓心，為半徑作，則為所作；（2）已知：如圖，，點、分別在射線、上，，，過、分別作、的垂線，它們相交于，以為半徑作，，求證：、為的切線；證明：，，，，連接，，，，，，、為的切線；（3），為等邊三角形，，，平分，，，劣弧與線段、圍成的封閉圖形的面積．【點評】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理和扇形面積公式．（2018?江西）如圖，在四邊形中，，，為的中點，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．（1）在圖1中，畫出的邊上的中線；（2）在圖2中，若，畫出的邊上的高．【分析】（1）連接，利用平行四邊形的判定和性質解答即可；（2）連接，，，利用三角形重心的性質解答即可．【解答】解：（1）如圖1所示，即為所求：（2）如圖2所示，即為所求．【點評】本題考查作圖復雜作圖，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于基礎題，中考常考題型．如圖，點、、在上，．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求作圖．（1）在圖（1）中，作一個度數為的圓周角；（2）在圖（2）中，作一個度數為的圓周角．【分析】（1）在優弧上任意取點，根據圓內接四邊形的性質可判斷滿足條件；（2）先作直徑，連接，則利用內接四邊形的性質可得到，在根據圓周角定理得到，于是可判斷滿足條件．【解答】解：（1）如圖（1），為所作；（2）如圖（2），為所作．【點評】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理．（1）如圖1，已知，是的角平分線，請你僅用無刻度的直尺作出的平分線；（2）如圖2，已知，且，分別平分與，與相交于，請你僅用無刻度的直尺作出的平分線．【分析】（1）連接點和與的交點，并延長交于，則滿足條件；（2）、的延長線相交于點，可證明和都為等腰三角形，同時可判斷點為的角平分線的交點，則延長交于，所以滿足條件．【解答】解：（1）如圖1，為所作；（2）如圖2，為所作．【點評】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖．也考查了三角形三條角平分線相交于點．如圖，一組等距的平行線上有一個半圓，點為圓心，為直徑，點，，，是半圓弧與平行線的交點．只用無刻度的直尺作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中作出邊上的中線．（2）在圖2中作的角平分線．【分析】（1）利用網格特征作出的中點，連接即可；（2）連接交于點，連接即可．【解答】解：（1）如圖1中，線段即為所求；（2）如圖2中，線段即為所求．【點評】本題考查作圖復雜作圖，平行線的性質，三角形的中線，垂徑定理，圓周角定理等知識，解題的關鍵是掌握網格特征，靈活運用所學知識解決問題．（2021?阿壩州）如圖，在中，，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，連接，則的大小為A． B． C． D．【分析】根據線段垂直平分線的性質得出，進而求出的度數．【解答】解：由作圖可知，直線是線段的垂直平分線，，．，．故選：．【點評】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．（2021?興安盟）如圖，中，、交于點，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點，作直線，交于點，交于點，連接，若，的周長為14，則的長為A． B．6 C．8 D．10【分析】根據平行四邊形的性質可知，，再由垂直平分線的性質得出，據此可得出結論．【解答】解：由作圖可知，是線段的垂直平分線，，四邊形是平行四邊形，，，，的周長為14，，則．故選：．【點評】本題考查的是作圖基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關鍵．（2021?百色）如圖，在中，尺規作圖的部分作法如下：（1）分別以弦的端點、為圓心，適當等長為半徑畫弧，使兩弧相交于點；（2）作直線交于點．若，，則等于A． B． C． D．【分析】根據作圖過程和圓的性質可得是的垂直平分線，先根據勾股定理可得的長，進而可得的值．【解答】解：如圖，連接，，根據作圖過程可知：是的垂直平分線，，在中，，，根據勾股定理，得，．故選：．【點評】本題考查了作圖基本作圖，垂徑定理、解直角三角形，解決本題的關鍵是根據作圖過程可得．（2021?鄂爾多斯）已知：的頂點，點在軸的正半軸上，按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點，交于點．②分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內相交于點．③畫射線，交于點，則點的坐標為A．， B．， C．， D．，【分析】利用基本作圖得到，再根據平行四邊形的性質得到，接著證明得到，設交軸于，如圖，設，則，，利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到點坐標．【解答】解：由作法得平分，則，四邊形為平行四邊形，，，，，設交軸于，如圖，，，，設，，，在中，，解得，，．故選：．【點評】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）；也考查了平行四邊形的性質．利用方程的思想求出是解決問題的關鍵．（2021?黃石）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以為圓心，任意長為半徑作弧，分別交、于、兩點；②分別以、為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；③作射線，交邊于點．若，，則線段的長為A．3 B． C． D．【分析】利用基本作圖得平分，過點作于，如圖，根據角平分線的性質得到則，再利用勾股定理計算出，然后利用面積法得到，最后解方程即可．【解答】解：由作法得平分，過點作于，如圖，則，在中，，，，即，．故選：．【點評】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）．也考查了角平分線的性質．（2021?貴陽）如圖，已知線段，利用尺規作的垂直平分線，步驟如下：①分別以點，為圓心，以的長為半徑作弧，兩弧相交于點和．②作直線．直線就是線段的垂直平分線．則的長可能是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用基本作圖得到，從而可對各選項進行判斷．【解答】解：根據題意得，即，故選：．【點評】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．（2021?廣元）觀察下列作圖痕跡，所作線段為的角平分線的是A． B． C． D．【分析】根據基本作圖的方法對各選項進行判斷．【解答】解：根據基本作圖，、選項中為過點作的垂線，選項作的垂直平分線得到邊上的中線，選項作平分．故選：．【點評】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了三角形的角平分線、中線和高．（2021?杭州）已知線段，按如下步驟作圖：①作射線，使；②作的平分線；③以點為圓心，長為半徑作弧，交于點；④過點作于點，則A． B． C． D．【分析】直接利用基本作圖方法得出，再結合等腰直角三角形的性質表示出，的長，即可得出答案．【解答】解：，，平分，，，，，，設，故，．故選：．【點評】此題主要考查了基本作圖以及等腰直角三角形的性質，正確掌握基本作圖方法得出線段之間關系是解題關鍵．課堂總結：思維導圖分層訓練：課堂知識鞏固1．（2022秋?泰山區期末）如圖，在中，根據尺規作圖痕跡，下列說法不一定正確的是A． B． C． D．【解答】解：由作圖可知垂直平分線段，平分，，，故選項，正確，，，，，故選項正確．故選：．2．（2022秋?館陶縣期末）數學課上，老師提出一個問題：經過已知角一邊上的點，做一個角等于已知角．如圖，用尺規過的邊上一點（圖①作（圖②．我們可以通過以下步驟作圖：①作射線；②以點為圓心，小于的長為半徑作弧，分別交于點，；③以點為圓心，的長為半徑作弧，交上一段弧于點；④以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點．下列排序正確的是A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①【解答】解：正確的排序是：②以為圓心，以任意定長為半徑作弧，分別交、于、；④以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點．③以點為圓心，的長為半徑作弧，交上一段弧于點；①作射線；故選：．3．（2022?鄂州）如圖，直線，點、分別在、上，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接．若，則的度數為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，，，，，．故選：．4．（2021?鄂爾多斯）已知：的頂點，點在軸的正半軸上，按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點，交于點．②分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內相交于點．③畫射線，交于點，則點的坐標為A．， B．， C．， D．，【解答】解：由作法得平分，則，四邊形為平行四邊形，，，，，設交軸于，如圖，，，，設，，，在中，，解得，，．故選：．二．填空題（共1小題）5．（2022?通遼）如圖，依據尺規作圖的痕跡，求的度數60．【解答】解：，四邊形是矩形，，．由作法可知，是的平分線，．由作法可知，是線段的垂直平分線，，，．故答案為：60．三．解答題（共4小題）6．（2022?貴港）尺規作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）如圖，已知線段，．求作，使，，．【解答】解：如圖，為所作．7．（2022?青島）已知：，．求作：點，使點在內部．且，．【解答】解：①先作出線段的垂直平分線；②再作出的角平分線，與的交點為；則即為所求作的點．8．（2022?陜西）如圖，已知，，是的一個外角．請用尺規作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）【解答】解：如圖，射線即為所求．9．（2022秋?丹東期末）如圖，已知平面上四個點，，，，請按要求完成下列問題：（1）畫直線，射線，連接；（2）在線段上求作點，使得；（保留作圖痕跡）（3）請在直線上確定一點，使點到點與點的距離之和最短，并寫出畫圖的依據．【解答】解：（1）如圖，直線，射線，線段即為所求；（2）如圖，點即為所求；（3）如圖，點即為所求．1．（2022春?滑縣期末）如圖，是一張平行四邊形紙片，要求利用所學知識將它變成一個菱形，甲、乙兩位同學的作法分別如下．甲：分別作與的平分線、，分別交于點，交于點，則四邊形是菱形；乙：分別以點、為圓心，以的長為半徑畫弧，分別交于點，交于點，則四邊形是菱形．對于甲、乙兩人的作法，判斷正確的是A．甲、乙均正確 B．甲，乙均錯誤 C．甲正確，乙錯誤 D．甲錯誤，乙正確【解答】解：甲的作法正確，理由：如圖1所示，平分，，，，，，同理可得，，又，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；乙的作法正確，