專題16特殊的平行四邊形一、填空題1．（2021·北京·中考真題）如圖，在矩形中，點分別在上，．只需添加一個條件即可證明四邊形是菱形，這個條件可以是______________（寫出一個即可）．2．（2019·北京·中考真題）把圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為______．3．（2019·北京·中考真題）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合），對于任意矩形ABCD，下面四個結論中，①存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數個四邊形MNPQ是矩形；③存在無數個四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形．所有正確結論的序號是______．4．（2018·北京·中考真題）如圖，在矩形中，是邊的中點，連接交對角線于點，若，，則的長為________．二、解答題5．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數量關系，并證明．6．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，交于點，點在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若求證：四邊形是菱形．7．（2021·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，，點在上，，垂足為．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求和的長．8．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設，求EF的長（用含的式子表示）；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數量關系，并證明．9．（2020·北京·中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．10．（2018·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明．11．（2018·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，AB//DC，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長．一、填空題1．（2022·北京·東直門中學模擬預測）如圖，正方形ABCD中，將線段BC繞點C順時針旋轉60°得到線段CE，連接BE、DE，若正方形邊長為2，則圖中陰影部分的面積是_____．2．（2022·北京師大附中模擬預測）下面是六個推斷：①因為平角的兩條邊在一條直線上，所以直線是一個平角．②因為周角的兩條邊在一條射線上，所以射線是一個周角．③因為扇形是圓的一部分，所以圓周的一部分是扇形．④因為平行的線段沒有交點，所以不相交的兩條線段平行．⑤因為正方形的邊長都相等，所以邊長相等的四邊形是正方形．⑥因為等腰三角形有兩個內角相等，所以有兩個內角相等的三角形是等腰三角形．其中正確的結論有_____個，其序號是_____．3．（2022·北京豐臺·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，連接EF，只需添加一個條件即可證明四邊形EFCB是菱形，這個條件可以是____________（寫出一個即可）．4．（2022·北京順義·一模）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，將矩形ABCD繞頂點C順時針旋轉90°，得到矩形EFCG，連接AE，取AE的中點H，連接DH，則_______．5．（2022·北京·北理工附中模擬預測）如圖，正方形，是上一點，，于，則的長為______．6．（2022·北京·東直門中學一模）如圖將一張矩形紙片ABCD沿對角線BD翻折，點C的對應點為C′，AD與BC′交于點E，若∠ABE＝30°，BC＝3，則DE的長度為_____．7．（2022·北京·中國人民大學附屬中學朝陽學校一模）對于題目：“如圖1，平面上，正方形內有一長為12、寬為6的矩形，它可以在正方形的內部及邊界通過移轉（即平移或旋轉）的方式，自由地從橫放移轉到豎放，求正方形邊長的最小整數．”甲、乙、丙作了自認為邊長最小的正方形，先求出該邊長，再取最小整數．甲：如圖2，思路是當為矩形對角線長時就可移轉過去；結果取n=14．乙：如圖3，思路是當為矩形外接圓直徑長時就可移轉過去；結果取n=14．丙：如圖4，思路是當為矩形的長與寬之和的倍時就可移轉過去；結果取n=13．甲、乙、丙的思路和結果均正確的是___________．8．（2022·北京·中國人民大學附屬中學朝陽學校一模）如圖1，將矩形和正方形分別沿對角線和剪開，拼成如圖2所示的平行四邊形，中間空白部分的四邊形是正方形．如果正方形和正方形的面積分別是16和1，則矩形的面積為_______．9．（2022·北京市廣渠門中學模擬預測）如圖，正方形是由四個全等的直角三角形圍成的，若，，則的長為___．二、解答題10．（2022·北京房山·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD交CD的延長線于點E，過點C作CFEB交AB的延長線于點F．(1)求證：四邊形BFCE是矩形；(2)連接AC，若AB=BE=2，，求AC的長11．（2022·北京四中模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于點O，點E是DB延長線上一點，OE＝OD，BF⊥AE于點F．(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的長．12．（2022·北京·清華附中一模）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AD，E是邊BC上的一動點，連結DE交AC于點F，連結BF.

(1)求證：FB=FD；(2)如圖2，連結CD，點H在線段BE上（不含端點），且BH=CE，連結AH交BF于點N.①判斷AH與BF的位置關系，并證明你的結論；②連接CN．若AB=2，請直接寫出線段CN長度的最小值.13．（2022·北京一七一中一模）如圖，在中，AE⊥BC于點E，過點D作DF∥AE，交BC的延長線于點F，連接AF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AD＝8，tanB，CF，求AF的長．14．（2022·北京房山·二模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，且AO＝BO．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠ADB的角平分線DE交AB于點E，當AD＝3，tan∠CAB＝時，求AE的長．15．（2022·北京·模擬預測）已如，如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，過點A作BC的平行線，過點B作AD的平行線，兩線交于點E，連接DE交AB于點O．（1）求證：四邊形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=，求四邊形AEBC的面積．16．（2022·北京·中國人民大學附屬中學朝陽學校一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥AD于點E，延長DA至點F，使得EF＝DA，連接BF，CF．（1）求證：四邊形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的長．17．（2022·北京市師達中學模擬預測）四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點C逆時針旋轉2α（0°＜α＜45°），得到線段CE，連接DE，過點B作BF⊥DE交DE的延長線于F，連接BE．（1）依題意補全圖1；（2）直接寫出∠FBE的度數；（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數量關系，并證明．18．（2022·北京朝陽·模擬預測）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，分別過點C、作CEBD，DEAC，CE和DE交于點E(1)求證：四邊形ODEC是矩形；(2)當∠ADB＝60°，AD＝10時，求CE和AE的長．19．（2022·北京·模擬預測）如圖，?ABCD的兩條對角線相交于O點，過O點作OE⊥AB，垂足為E，已知∠DBA=∠DBC，AB=5．(1)求證：四邊形ABCD為菱形；(2)若sin∠ADB=，求線段OE的長．20．（2022·北京海淀·一模）如圖，在中，，D是BC的中點，點E，F在射線AD上，且．(1)求證：四邊形BECF是菱形；(2)若，，求菱形BECF的面積．21．（2022·北京西城·一模）如圖，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于點D，點E在線段BD上，點F在BD的延長線上，且DE=DF，連接AE，CE，AF，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的長．22．（2022·北京市師達中學模擬預測）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F，且BE=DF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接EF并延長，交AD的延長線于點G，若∠CEG=30°，AE=2，求EG的長．23．（2022·北京石景山·一模）如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分別為AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得EF=DE，連接CD，CF，BF．(1)求證：四邊形BFCD是菱形；(2)若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面積．24．（2022·北京東城·一模）如圖，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點（），連接BE，DE．(1)求證：；(2)過點E作交BC于點F，延長BC至點G，使得，連接DG．①依題意補全圖形；②用等式表示BE與DG的數量關系，并證明．25．（2022·北京房山·二模）如圖，點P是正方形內一動點，滿足且，過點D作交的延長線于點E．(1)依題意補全圖形；(2)用等式表示線段之間的數量關系，并證明；(3)連接，若，請直接寫出線段長度的最小值．26．（2022·北京昌平·模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長為1．對角線AC、BD相交于點O，P是BC延長線上的一點，AP交BD于點E，交CD于點H，OP交CD于點F，且EF與AC平行．（1）求證：EF⊥BD．（2）求證：四邊形ACPD為平行四邊形．（3）求OF的長度．27．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，將線段BA繞點B旋轉（），得到線段BE，連接EA，EC．(1)如圖1，當點E在正方形ABCD的內部時，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=______°，四邊形ABCE的面積為______；(2)當點E在正方形ABCD的外部時，①在圖2中依題意補全圖形，并求∠AEC的度數；②作∠EBC的平分線BF交EC于點G，交EA的延長線于點F，連接CF．用等式表示線段AE，FB，FC之間的數量關系，并證明．專題16特殊的平行四邊形一、填空題1．（2021·北京·中考真題）如圖，在矩形中，點分別在上，．只需添加一個條件即可證明四邊形是菱形，這個條件可以是______________（寫出一個即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，若要添加一個條件使其為菱形，則可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故答案為（答案不唯一）．2．（2019·北京·中考真題）把圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為______．【答案】12【解析】解：如圖1所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，設OA=x，OB=y，由題意得：，解得：，∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，∴菱形ABCD的面積=；故答案為12．3．（2019·北京·中考真題）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合），對于任意矩形ABCD，下面四個結論中，①存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數個四邊形MNPQ是矩形；③存在無數個四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形．所有正確結論的序號是______．【答案】①②③【解析】解：①如圖，∵四邊形ABCD是矩形，連接AC，BD交于O，∴OA=OB=OC=OD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠OBM=∠ODP，∠OAQ=∠OCN，過點O的直線MP和QN，分別交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，∴∠BOM=∠DOP，∠AOQ=∠CON，所以△BOM≌△DOP（ASA），△AOQ≌△CON（ASA），所以OM=OP，OQ=ON，則四邊形MNPQ是平行四邊形，故存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；故正確；②如圖，當PM=QN時，四邊形MNPQ是矩形，故存在無數個四邊形MNPQ是矩形；故正確；③如圖，當PM⊥QN時，存在無數個四邊形MNPQ是菱形；故正確；④當四邊形MNPQ是正方形時，MQ=PQ，則△AMQ≌△DQP，∴AM=QD，AQ=PD，∵PD=BM，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形，當四邊形ABCD為正方形時，四邊形MNPQ是正方形，故錯誤；故正確結論的序號是①②③．故答案為：①②③．4．（2018·北京·中考真題）如圖，在矩形中，是邊的中點，連接交對角線于點，若，，則的長為________．【答案】【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，//，，在中，，∴，∵是中點，∴，∵//，∴，∴．故答案為：．二、解答題5．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)；證明見解析【解析】(1)證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．(2)解：補全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．6．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，交于點，點在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．(2)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴，∴四邊形ABCD為菱形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．7．（2021·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，，點在上，，垂足為．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求和的長．【答案】（1）見詳解；（2），【解析】（1）證明：∵，∴AD∥CE，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）可得四邊形是平行四邊形，∴，∵，平分，，∴，∴EF=CE=AD，∵，∴，∴，∴．8．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設，求EF的長（用含的式子表示）；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數量關系，并證明．【答案】（1）；（2）圖見解析，，證明見解析．【解析】（1）∵D是AB的中點，E是線段AC的中點∴DE為的中位線，且∴，∵∴∵∴∴四邊形DECF為矩形∴∴則在中，；（2）過點B作AC的平行線交ED的延長線于點G，連接FG∵∴，∵D是AB的中點∴在和中，∴∴，又∵∴DF是線段EG的垂直平分線∴∵，∴在中，由勾股定理得：∴．9．（2020·北京·中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．【答案】(1)見解析；(2)OE=5，BG=2.【解析】解：(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形，∴點O為BD的中點，∵點E為AD中點，∴OE為△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形∵EF⊥AB，∴平行四邊形OEFG為矩形．(2)∵點E為AD的中點，AD=10，∴AE=∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，．∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5，∵四邊形OEFG為矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案為：OE=5，BG=2．10．（2018·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）BH=AE，理由見解析【解析】（1）證明：連接．∵，關于對稱．∴．．在和中，∴，∴．∵四邊形是正方形，∴．，∴，∴，∴，∵，，∴．在和中．∴≌，∴．（2）．證明：在上取點使得，連接．∵四這形是正方形．∴，．∵≌，∴．同理：，∴∵，∴，∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴．在和中，∴≌，∴，在中，，．∴，∴．11．（2018·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，AB//DC，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）OE=2．【解析】（1）證明：∵AB//CD，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵∥，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴是菱形．（2）解：∵四邊形是菱形，對角線、交于點，∴，，，∴，在Rt△AOB中，，∴，∵，∴，在Rt△AEC中，，為中點，∴．一、填空題1．（2022·北京·東直門中學模擬預測）如圖，正方形ABCD中，將線段BC繞點C順時針旋轉60°得到線段CE，連接BE、DE，若正方形邊長為2，則圖中陰影部分的面積是_____．【答案】【解析】解：由題意知，∵∴∴到邊上的高；到邊上的高∴故答案為：

．2．（2022·北京師大附中模擬預測）下面是六個推斷：①因為平角的兩條邊在一條直線上，所以直線是一個平角．②因為周角的兩條邊在一條射線上，所以射線是一個周角．③因為扇形是圓的一部分，所以圓周的一部分是扇形．④因為平行的線段沒有交點，所以不相交的兩條線段平行．⑤因為正方形的邊長都相等，所以邊長相等的四邊形是正方形．⑥因為等腰三角形有兩個內角相等，所以有兩個內角相等的三角形是等腰三角形．其中正確的結論有_____個，其序號是_____．【答案】

1

⑥【解析】解：①因為直線沒有端點，所以直線不是平角，故此小題錯誤；②因為射線是一條線，所以射線不是角，故此小題錯誤；③因為一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形，所以圓周的一部分不是扇形，故此小題錯誤；④因為線段有兩個端點，所以不相交的兩條線段不一定平行，故此小題錯誤；⑤因為邊長相等的四邊形有可能是菱形，所以此小題錯誤；⑥符合等腰三角形的性質及判定定理，故此小題正確．故正確的結論有1個，其序號是⑥．故答案為：1，⑥．3．（2022·北京豐臺·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，連接EF，只需添加一個條件即可證明四邊形EFCB是菱形，這個條件可以是____________（寫出一個即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】解：四邊形是平行四邊形，，分別是的中點，，四邊形是平行四邊形，要使四邊形是菱形，添加的這個條件可以是，故答案為：（答案不唯一）．4．（2022·北京順義·一模）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，將矩形ABCD繞頂點C順時針旋轉90°，得到矩形EFCG，連接AE，取AE的中點H，連接DH，則_______．【答案】【解析】如圖，延長DH交EF于點k，∵H是的中點又則故答案為：5．（2022·北京·北理工附中模擬預測）如圖，正方形，是上一點，，于，則的長為______．【答案】【解析】∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為．6．（2022·北京·東直門中學一模）如圖將一張矩形紙片ABCD沿對角線BD翻折，點C的對應點為C′，AD與BC′交于點E，若∠ABE＝30°，BC＝3，則DE的長度為_____．【答案】2．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3，AD∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，由折疊的性質得：∠CBD＝∠C'BD，∵∠ABE＝30°，∴BE＝2AE，∠CBD＝∠C'BD＝∠EDB＝30°，∴DE＝BE＝2AE，∵AD＝AE+DE＝3，∴AE+2AE＝3，∴AE＝1，∴DE＝2；故答案為：2．7．（2022·北京·中國人民大學附屬中學朝陽學校一模）對于題目：“如圖1，平面上，正方形內有一長為12、寬為6的矩形，它可以在正方形的內部及邊界通過移轉（即平移或旋轉）的方式，自由地從橫放移轉到豎放，求正方形邊長的最小整數．”甲、乙、丙作了自認為邊長最小的正方形，先求出該邊長，再取最小整數．甲：如圖2，思路是當為矩形對角線長時就可移轉過去；結果取n=14．乙：如圖3，思路是當為矩形外接圓直徑長時就可移轉過去；結果取n=14．丙：如圖4，思路是當為矩形的長與寬之和的倍時就可移轉過去；結果取n=13．甲、乙、丙的思路和結果均正確的是___________．【答案】甲、乙【解析】∵矩形長為12寬為6，∴矩形的對角線長為：，∵矩形在該正方形的內部及邊界通過平移或旋轉的方式，自由地從橫放變換到豎放，∴該正方形的邊長不小于，∵，∴該正方形邊長的最小整數n為14．故甲的思路正確，長方形對角線最長，只要對角線能通過就可以，結果也正確；乙的思路正確，長方形對角線就是圓的直徑最長，只要圓能通過就可以，結果也正確；丙的思路錯誤，長方形對角線最長，只要對角線能通過才可以，故丙的思路與結果都錯誤；故答案為：甲、乙．8．（2022·北京·中國人民大學附屬中學朝陽學校一模）如圖1，將矩形和正方形分別沿對角線和剪開，拼成如圖2所示的平行四邊形，中間空白部分的四邊形是正方形．如果正方形和正方形的面積分別是16和1，則矩形的面積為_______．【答案】15【解析】解：∵正方形EFCH和正方形KRST的面積分別是16和1，∴正方形EFCH和正方形KRST的邊長分別是4和1，則矩形ABCD的面積為（4+1）×（4-1）=15．故答案為：15．9．（2022·北京市廣渠門中學模擬預測）如圖，正方形是由四個全等的直角三角形圍成的，若，，則的長為___．【答案】【解析】解：∵正方形ABCD是由四個全等的三角形圍成的，∴AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE∴EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE＋∠BAE＝90°，∴四邊形EGFH是菱形，且∠AEB＝90°∴四邊形EGFH是正方形∴EF＝EG＝故答案為：二、解答題10．（2022·北京房山·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD交CD的延長線于點E，過點C作CFEB交AB的延長線于點F．(1)求證：四邊形BFCE是矩形；(2)連接AC，若AB=BE=2，，求AC的長【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形∵∴∴四邊形是矩形．(2)解：∵四邊形是矩形∴，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，．11．（2022·北京四中模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于點O，點E是DB延長線上一點，OE＝OD，BF⊥AE于點F．(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的長．【答案】(1)見解析(2)EF和AD的長分別為4和10【解析】(1)證明：∵，∴，在和中，，∴（HL），∴AO=CO，又∵OE=OD，∴四邊形AECD為菱形．(2)解：∵AB平分，∴BF=BO=3，在中，由勾股定理可得，，在和中，，∴（HL），∴AO=AF，設AO=AF=x，AE=4+x，在中，由勾股定理可得，，得，解得，∴AE=4+6=10，即AD=10，∴EF和AD的長分別為4和10．12．（2022·北京·清華附中一模）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AD，E是邊BC上的一動點，連結DE交AC于點F，連結BF.

(1)求證：FB=FD；(2)如圖2，連結CD，點H在線段BE上（不含端點），且BH=CE，連結AH交BF于點N.①判斷AH與BF的位置關系，并證明你的結論；②連接CN．若AB=2，請直接寫出線段CN長度的最小值.【答案】（1）見解析；（2）①AH⊥BF，見解析；②.【解析】（1）證明：如圖1中，∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AD，∴∠BAD=90°，BA=AD，∴∠FAD=∠FAB=45°，∵AF=AF，∴△FAD≌△FAB（SAS），∴BF=DF．（2）①解：結論：AH⊥BF．理由：如圖2中，連接CD．∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥BC，∵AD=AB=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形，∵BA=CD，∠ABH=∠DCE，BH=CE，∴△ABH≌△DCE（SAS），∴∠BAH=∠CDE，∵∠FCD=∠FCB=45°，CF=CF，CD=CB，∴△CFD≌△CFB（SAS），∴∠CDF=∠CBF，∴∠BAH=∠CBF，∵∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAH+∠ABF=90°，∴∠ANB=90°，∴AH⊥BF．②如圖3中，取AB的中點O，連接ON，OC．∵∠ANB=90°，AO=OB，∴ON=AB=1，在Rt△OBC中，OC=，∵CN≥OC-ON，∴CN≥-1，∴CN的最小值為-1．13．（2022·北京一七一中一模）如圖，在中，AE⊥BC于點E，過點D作DF∥AE，交BC的延長線于點F，連接AF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AD＝8，tanB，CF，求AF的長．【答案】（1）見解析；（2）10【解析】（1）在中，∴四邊形AEFD是平行四邊形于點E四邊形AEFD是矩形；（2）在中，在中，，即∵四邊形AEFD是矩形在中，.14．（2022·北京房山·二模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，且AO＝BO．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠ADB的角平分線DE交AB于點E，當AD＝3，tan∠CAB＝時，求AE的長．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝2AO，BD＝2BO．∵AO＝BO，∴AC＝BD．∴平行四邊形ABCD為矩形．(2)過點E作EG⊥BD于點G，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴EA⊥AD，∵DE為∠ADB的角平分線，∴EG＝EA．∵AO＝BO，∴∠CAB＝∠ABD．∵AD＝3，tan∠CAB＝，∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝．∴AB＝4．∴BD＝，sin∠CAB＝sin∠ABD＝．設AE＝EG＝x，則BE＝4﹣x，在△BEG中，∠BGE＝90°，∴sin∠ABD＝．解得：x＝，∴AE＝．故答案為：.15．（2022·北京·模擬預測）已如，如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，過點A作BC的平行線，過點B作AD的平行線，兩線交于點E，連接DE交AB于點O．（1）求證：四邊形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=，求四邊形AEBC的面積．【答案】（1）見解析；（2）18【解析】（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四邊形ADBE是平行四邊形．

∵AB=AC，AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC．即∠ADB=90°．∴四邊形ADBE為矩形．（2）∵在矩形ADBE中，AO=，∴DE=AB=5．∵D是BC的中點，∴AE=DB=4，∴根據勾股定理，∴．16．（2022·北京·中國人民大學附屬中學朝陽學校一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥AD于點E，延長DA至點F，使得EF＝DA，連接BF，CF．（1）求證：四邊形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）EF=．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∵EF=DA，∴EF=BC，EF∥BC，∴四邊形BCEF是平行四邊形，又∵CE⊥AD，∴∠CEF=90°，∴平行四邊形BCEF是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=3，∵CF=4，DF=5，∴CD2+CF2=DF2，∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，∴△CDF的面積=DF×CE=CF×CD，∴CE=，由（1）得：EF=BC，四邊形BCEF是矩形，∴∠FBC=90°，BF=CE=，∴BC=，∴EF=．17．（2022·北京市師達中學模擬預測）四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點C逆時針旋轉2α（0°＜α＜45°），得到線段CE，連接DE，過點B作BF⊥DE交DE的延長線于F，連接BE．（1）依題意補全圖1；（2）直接寫出∠FBE的度數；（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數量關系，并證明．【答案】（1）補圖見解析；（2）；（3）DE＝，證明見解析．【解析】解：（1）補全圖形，如圖所示：（2）∠FBE＝45°．理由如下：設DF與AB交于點G，如圖所示：由題意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠EDC＝90°﹣α，∠BCE＝90°﹣2α，∴∠CBE＝45°+α，∠ADF＝α，∴∠ABE＝45°﹣α．∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°．∵∠AGD＝∠FGB，∴∠FBG＝α（3）DE＝．證明：如圖，作AH⊥AF，交BF的延長線于點H，由（2）得：∠FBE＝∠FEB＝45°．∴FB＝FE．∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，∴∠HAB＝∠FAD，∵∠BFG＝∠DAG＝90°，∠BGF＝∠DGA，∴∠FBG＝∠ADG，即∠ABH＝∠ADF，∴△HAB≌△FAD（ASA），∴HB＝FD，AH＝AF，∴HF＝DE，∠H＝45°．∴HF＝AF．∴DE＝AF．18．（2022·北京朝陽·模擬預測）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，分別過點C、作CEBD，DEAC，CE和DE交于點E(1)求證：四邊形ODEC是矩形；(2)當∠ADB＝60°，AD＝10時，求CE和AE的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵DEAC，CEBD，∴四邊形ODEC是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，∴平行四邊形ODEC是矩形；(2)解：∵在Rt△AOD中，∠ADO＝60°，∴∠OAD＝30°，∵AD＝10，∴，∴AO，∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵四邊形ODEC是矩形，∴∠ACE＝90°，CE＝OD＝5，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝．19．（2022·北京·模擬預測）如圖，?ABCD的兩條對角線相交于O點，過O點作OE⊥AB，垂足為E，已知∠DBA=∠DBC，AB=5．(1)求證：四邊形ABCD為菱形；(2)若sin∠ADB=，求線段OE的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DBA=∠DBC，∴∠ADB=∠DBA，∴AD=AB，∴四邊形ABCD為菱形；(2)解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AD=AB=5，OB=OD，∵sin∠ADB=，∴OA=4，∴OB=OD==3，∵OE⊥AB，△OAB的面積=AB×OE=OA×OB，∴OE=．20．（2022·北京海淀·一模）如圖，在中，，D是BC的中點，點E，F在射線AD上，且．(1)求證：四邊形BECF是菱形；(2)若，，求菱形BECF的面積．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)，D是BC的中點，，，四邊形BECF是菱形；(2)設，，，，，，，，在中，，即，解得，，菱形BECF的面積．21．（2022·北京西城·一模）如圖，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于點D，點E在線段BD上，點F在BD的延長線上，且DE=DF，連接AE，CE，AF，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)BA=BC，BD平分∠ABCDE=DF四邊形AECF是菱形；(2)，BA⊥AF，BA=BCAD=4在中，四邊形AECF是菱形22．（2022·北京市師達中學模擬預測）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F，且BE=DF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接EF并延長，交AD的延長線于點G，若∠CEG=30°，AE=2，求EG的長．【答案】(1)見解析(2)4【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵BE=DF，∴≌，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形；(2)如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CEG=∠G，∠AEB=∠EAG，∵∠CEG=30°，AE⊥BC，∴∠G=30°，∠EAG=90°，又∵AE=2，∴EG=2AE=4．23．（2022·北京石景山·一模）如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分別為AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得EF=DE，連接CD，CF，BF．(1)求證：四邊形BFCD是菱形；(2)若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面積．【答案】(1)見解析(2)菱形BFCD的面積為120．【解析】(1)證明：∵點E為BC的中點，∴CE=BE，又∵EF=DE，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∵D是邊AB的中點，∠ACB=90°，∴CD=AB=BD，∴平行四邊形BFCD是菱形；(2)解：∵D，E分別為AB，BC的中點，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∵cosA=，∴cos∠BDE==，∵DE=5，∴BD=13，∴BE=12，∴DF=2DE=10，BC=2BE=24，∴菱形BFCD的面積=×10×24=120．24．（