福建省寧德寧市-同心順-六校聯盟2025屆數學高二上期末監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．已知平面的一個法向量為，且，則點A到平面的距離為（）A. B.C. D.13．過雙曲線（，）的左焦點作圓：的兩條切線，切點分別為，，雙曲線的左頂點為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．在等差數列中，已知，則數列的前6項之和為（）A.12 B.32C.36 D.375．已知數列滿足：且，則此數列的前20項的和為（）A.621 B.622C.1133 D.11346．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子研究數，他們根據沙粒和石子所排列的形狀把數分成許多類，若：三角形數、、、、，正方形數、、、、等等.如圖所示為正五邊形數，將五邊形數按從小到大的順序排列成數列，則此數列的第4項為（）A. B.C. D.7．直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是A.1 B.C. D.9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.54 B.45C.27 D.8110．若函數的導函數為偶函數，則的解析式可能是（）A. B.C. D.11．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數量積最大的是（）A. B.C. D.12．設等比數列的前項和為，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若過點存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________14．設函數，，對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是______15．2021年7月，某市發生德爾塔新冠肺炎疫情，市衛健委決定在全市設置多個核酸檢測點對全市人員進行核酸檢測.已知組建一個小型核酸檢測點需要男醫生1名，女醫生3名，每小時可做200人次的核酸檢測，組建一個大型核酸檢測點需要男醫生3名，女醫生3名.每小時可做300人次的核酸檢測.某三甲醫院決定派出男醫生10名、女醫生18名去做核酸檢測工作，則這28名醫生需要組建________個小型核酸檢測點和________個大型核酸檢測點，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.16．已知正方體的棱長為2，E為線段中點，F為線段BC上動點，則（1）的最小值為______；（2）點F到直線DE距離的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，是圓上一點，過A作直線l交圓C于另一點B，交x軸正半軸于點D，且A為的中點.（1）求圓C在點A處的切線方程；（2）求直線l的方程.18．（12分）已知等差數列的前項和為，滿足，.（1）求數列的通項公式與前項和；（2）求的值.19．（12分）已知函數（1）證明；（2）設，證明：若一定有零點，并判斷零點的個數20．（12分）從甲、乙兩名學生中選拔一人參加射擊比賽，現對他們的射擊水平進行測試，兩人在相同條件下各射靶10次，每次命中的環數如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，（1）求，，，（2）你認為應該選哪名學生參加比賽？為什么？21．（12分）已知函數（Ⅰ）討論函數的極值點的個數（Ⅱ）若，，求的取值范圍22．（10分）已知橢圓的左焦點與拋物線的焦點重合，橢圓的離心率為，過點作斜率不為0的直線，交橢圓于兩點，點，且為定值（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B2、B【解析】直接由點面距離的向量公式就可求出【詳解】∵，∴，又平面的一個法向量為，∴點A到平面的距離為故選：B3、C【解析】根據，，可以得到，從而得到與的關系式，再由，，的關系，進而可求雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由，，則是圓的切線，，，，所以，因為雙曲線的漸近線方程為，即為故選：C4、C【解析】直接按照等差數列項數性質求解即可.【詳解】數列的前6項之和為.故選：C.5、C【解析】這個數列的奇數項是公差為2的等差數列，偶數項是公比為2的等比數列，只要分開來計算即可.【詳解】由于，所以當n為奇數時，是等差數列，即：共10項，和為；，共10項，其和為；∴該數列前20項的和；故選：C.6、D【解析】根據前三個五邊形數可推斷出第四個五邊形數.【詳解】第一個五邊形數為，第二個五邊形數為，第三個五邊形數為，故第四個五邊形數為.故選：D.7、A【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】∵直線的斜率,，設直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.8、D【解析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【詳解】由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|當AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計算能力，屬于中檔題9、B【解析】由三視圖可得該幾何體是由平行六面體切割掉一個三棱錐而成，直觀圖如圖所示，所以該幾何體的體積為故選B點睛：本題考查了組合體的體積，由三視圖還原出幾何體，由四棱柱的體積減去三棱錐的體積.10、C【解析】根據題意，求出每個函數的導函數，進而判斷答案.【詳解】對A，，為奇函數；對B，，為奇函數；對C，，為偶函數；對D，，既不是奇函數也不是偶函數.故選：C.11、B【解析】設，根據線面垂直的性質得，，，，根據向量數量積的定義逐一計算，比較可得答案.【詳解】解：設，因為平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，，所以數量積最大的是，故選：B.12、C【解析】利用等比數列前項和的性質，，，，成等比數列求解.【詳解】解：因為數列為等比數列，則，，成等比數列，設，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設過M的切線切點為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點，根據導數研究g(x)的圖像即可求出m的范圍【詳解】，設過點的直線與曲線相切于點，則，化簡得，，令，則過點存在三條直線與曲線相切等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點∵，故當x<0或x>1時，，g(x)單調遞增；當0<x<1時，，g(x)單調遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即故答案為：﹒14、【解析】首先求得函數在區間上的最大值，然后分離參數，利用導函數求最值即可確定實數的取值范圍.【詳解】∵在上恒成立，∴當時，取最大值1，∵對任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上為減函數，∵當時，，故當時，取最大值1，故，故答案為【點睛】本題考查的知識點是函數恒成立問題，利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值，難度中檔15、①.4②.2【解析】根據題意建立不等式組，進而作出可行域，最后通過數形結合求得答案.【詳解】設需要組建個小型核酸檢測點和個大型核酸檢測點，則每小時做核酸檢測的最高人次，作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可見當直線過點A時，z取得最大值，由得恰為整數點，所以組建4個小型核酸檢測點和2個大型核酸檢測點，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.故答案為：4；2.16、①.；②..【解析】建立空間直角坐標系.空一：利用空間兩點間距離公式，結合平面兩點間距離公式進行求解即可；空二：根據空間向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則有.空一：，代數式表示橫軸上一點到點和點的距離之和，如下圖所示：設關于橫軸的對稱點為，當線段與橫軸的交點為點時，有最小值，最小值為；空二：設，為垂足，則有，，，因為，所以，因此，化簡得：，當時，即時，此時，有最小值，即最小值為，故答案為：；【點睛】關鍵點睛：利用空間向量垂直的性質進行求解是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）以直線方程的點斜式去求圓C在點A處的切線方程；（2）以A為的中點為突破口，設點法去求直線l的方程簡單快捷.【小問1詳解】圓可化為，圓心因為直線的斜率為，所以圓C在A點處切線斜率為2，所以切線方程為即.【小問2詳解】由題意設因為是中點，所以將B代入圓C方程得解得或當時，，此時l方程為當時，，此時l方程為所以l方程為或18、（1），；（2）.【解析】(1)設出等差數列的公差，借助前項和公式列式計算作答.(2)由(1)的結論借助裂項相消去求解作答.【小問1詳解】設等差數列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數列的通項公式為，前項和.【小問2詳解】由(1)知，，所以.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析，1個零點.【解析】(1)求導同分化簡，構造新函數判斷導數正負即可；(2)令g(x)＝0，化簡方程，將問題轉化為討論方程解的個數問題.【小問1詳解】,設，則，時，遞減，時，遞增，而，所以時，，所以；小問2詳解】有零點，則有解，即有解，又，則只要，因為，方程可以化為，現在證明有解，令，則，可知在遞減，在遞增，所以，因為，所以，在內恒有，而在遞增，當x＝時，h()＝，故根據零點存在性定理知在存在唯一零點.所以有且只有一個零點，所以有零點，有一個零點【點睛】本題關鍵是是將方程零點問題轉化為方程解的問題，通過討論單調性和最值（極值）的正負即可判斷零點的有無和個數.20、（1）；；；；（2）選乙參加比賽，理由見解析.【解析】（1）利用平均數和方程公式求解；（2）利用（1）的結果作出判斷.【詳解】（1）由數據得：；；（2）由（1）可知，甲乙兩人平均成績一樣，乙的方差小于甲的方差，說明乙的成績更穩定；應該選乙參加比賽.21、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求得，分，和三種情況討論，求得函數的單調性，結合極值的概念，即可求解；（Ⅱ）由不等式，轉化為當時，不等式恒成立，設，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，函數的定義域為，且，當時，令，解得，令，解得或，故在上單調遞減，在，上單調遞增，所以有一個極值點；當時，令，解得或，令，得，故在，上單調遞減，在上單調遞增，所以有一個極值點；當時，上單調遞增，在上單調遞減，所以沒有極值點綜上所述，當時，有個極值點；當時，沒有極值點.（Ⅱ）由，即，可得，即當時，不等式恒成立，設，則設，則因為，所以，所以在上單調遞增，所以，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以所以的取值范圍是.【點睛】對于利用導數研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題3、根據恒成求解參數的取值時，一般涉及分類參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，通常要設出導數的零點，難度較大.22、(1)（2）【解析】（1）由拋物線焦點可得c，再根據離心率可得a，即得b；（2）先設直線方程x=ty+m，根據向量數量積表示，將直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理代入化簡可得為定值的條件，解出m；根據點到直線距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據面積公式可得關于t的函數，最后根據基本不等式求最值【詳解】試題解析：解：