河南省駐馬店市經濟開發區2025屆數學高二上期末學業質量監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線與互相垂直，則實數a的值為（）A.-3 B.C. D.32．甲、乙同時參加某次數學檢測，成績為優秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優秀的概率為（）A. B.C. D.3．設函數，若的整數有且僅有兩個，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．等差數列中，是的前項和，，則（）A.40 B.45C.50 D.555．已知橢圓C：的左右焦點為F1,F2離心率為，過F2的直線l交C與A,B兩點，若△AF1B的周長為，則C的方程為A. B.C. D.6．定義在區間上的函數滿足：對恒成立，其中為的導函數，則A.B.C.D.7．如圖，在四面體中，，分別是，的中點，則（）A. B.C. D.8．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．點A是曲線上任意一點，則點A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.10．若曲線表示圓，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知向量，，若與共線，則實數值為（）A. B.C.1 D.212．已知集合，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線經過點，則__________.14．已知函數若存在，使得成立，則實數的取值范圍是_______________15．在中.若成公比為的等比數列，則____________16．等差數列前項之和為，若，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍.18．（12分）已知橢圓：過點，且離心率（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設的左、右焦點分別為，，過點作直線與橢圓交于，兩點，，求的面積19．（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點，使得，分別過點、作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點，點在棱上，且，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求平面與平面的距離.21．（12分）設函數過點（1）求函數的單調區間和極值（要列表）；（2）求函數在上的最大值和最小值.22．（10分）已知數列和中，，且，.（1）寫出，，，，猜想數列和的通項公式并證明；（2）若對于任意都有，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據給定條件利用兩條直線互相垂直的關系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數a的值為.故選：C2、D【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式直接求解.【詳解】甲、乙同時參加某次數學檢測，成績為優秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優秀的概率為.故選：D3、D【解析】等價于，令，，利用導數研究函數的單調性，作出的簡圖，數形結合只需滿足即可.【詳解】，即，又，則.令，，，當時，，時，，時，，在單調遞減，在單調遞增，且，且，，作出函數圖象如圖所示，若的整數有且僅有兩個，即只需滿足，即，解得：故選：D4、B【解析】應用等差數列的性質“若，則”即可求解【詳解】故選：B5、A【解析】若△AF1B的周長為4,由橢圓的定義可知,,,,，所以方程為，故選A.考點：橢圓方程及性質6、D【解析】分別構造函數，，，，利用導數研究其單調性即可得出【詳解】令，，，，恒成立，，，，函數在上單調遞增，，令，，，，恒成立，，函數在上單調遞減，，．綜上可得：，故選：D【點睛】函數的性質是高考的重點內容,本題考查的是利用函數的單調性比較大小的問題,通過題目中給定的不等式,分別構造兩個不同的函數求導判出單調性從而比較函數值得大小關系．在討論函數的性質時，必須堅持定義域優先的原則．對于函數實際應用問題，注意挖掘隱含在實際中的條件，避免忽略實際意義對定義域的影響7、A【解析】利用向量的加法法則直接求解.【詳解】在四面體中，，分別是，的中點，故選：A8、A【解析】根據充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過來，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.9、A【解析】動點在曲線，則找出曲線上某點的斜率與直線的斜率相等的點為距離最小的點，利用導數的幾何意義即可【詳解】不妨設，定義域為：對求導可得：令解得：（其中舍去）當時，，則此時該點到直線的距離為最小根據點到直線的距離公式可得：解得：故選：A10、C【解析】按照圓的一般方程滿足的條件求解即可.【詳解】或.故選：C.11、D【解析】根據空間向量共線有，，結合向量的坐標即可求的值.【詳解】由題設，有，，則，可得.故選：D12、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運算求即可.【詳解】由題設，，∴.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】將點代入拋物線方程即可得出答案.【詳解】解：因為拋物線經過點，所以，即.故答案為：2.14、【解析】分離參數法得到能成立,構造函數，求出的最小值，即可求出實數a的取值范圍.【詳解】由得.設，則存在,使得成立，即能成立，所以能成立,所以.又令,由對勾函數的性質可得：在上，t(x)單調遞增,所以當x=2時,t有最小值，所以實數a的取值范圍是.故答案為：【點睛】導數的應用主要有：（1）利用導函數幾何意義求切線方程；（2）利用導數研究原函數的單調性，求極值（最值）；（3）利用導數求參數的取值范圍.15、【解析】由條件可得，即，由余弦定理可得答案.【詳解】由成公比為的等比數列，即由正弦定理可知所以故答案為：16、【解析】直接利用等差數列前項和公式和等差數列的性質求解即可.【詳解】由已知條件得,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】分析：（1）由和可由點斜式得切線方程；（2）由函數在上是減函數，可得在上恒成立，，由二次函數的性質可得解.詳解：（1）當時，所以，所以曲線在點處的切線方程為.（2）因為函數在上是減函數，所以在上恒成立.做法一：令,有，得故.實數的取值范圍為做法二：即在上恒成立，則在上恒成立，令，顯然在上單調遞減，則，得實數的取值范圍為點睛：導數問題經常會遇見恒成立的問題：（1）根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題；（2）若就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉化為（需在同一處取得最值）.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根據已知點，離心率以及列方程組，解方程組可得的值即可求解；（Ⅱ）設，，直線的方程為，聯立直線與橢圓方程消去，可得，，利用向量數量積的坐標表示列方程可得的值，計算，利用面積公式計算即可求解.【詳解】（Ⅰ）將代入橢圓方程可得，即①因為離心率，即，②由①②解得，，故橢圓的標準方程為（Ⅱ）由題意可得，，設直線的方程為將直線的方程代入中，得，設，，則，所以，，所以，由，解得，所以，，因此19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、切線的性質可得、，再根據線面垂直的判定即可證結論.（2）若，構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示及其對應的余弦值求R，最后由圓錐的體積公式求體積.【小問1詳解】由題設，底面圓，又是切線與圓的切點，∴底面圓，則，且，而，∴平面.【小問2詳解】由題設，若，可構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一個法向量，則，令，則，又面的一個法向量為，∴，可得，∴該圓錐的體積20、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）利用勾股定理證得，證明平面，根據線面垂直的性質證得，再根據線面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點，連接，可得為的中點，證明，四邊形是平行四邊形，可得，再根據面面平行的判定定理即可得證；（3）設，由（1）（2）可得即為平面與平面的距離，求出的長度，即可得解.【小問1詳解】證明：在直三棱柱中，為的中點，，，故，因為，所以，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；【小問2詳解】證明：取的中點，連接，則為的中點，因為，，分別為，，的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因為，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；【小問3詳解】設，因為平面，平面平面，所以平面，所以即為平面與平面的距離，因平面，所以，，所以，即平面與平面的距離為.21、（1）增區間，，減區間，極大值，極小值（2）最大值，最小值【解析】（1）將點代入函數解析式即可求得a，對函數求導，分析導函數的正負，確定單調區間及極值；（2）分析函數在此區間上的單調性，由極值、端點值確定最值.【小問1詳解】∵點在函數的圖象上，∴，解得，∴，∴，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值∴當時，有極大值，且極大值為，當時，有極小值，且極小值為，所以的單調遞增區間為和，單調遞減區間為，極大值為，極小值為；【小問2詳解】由（1）可得:函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增.∴,又,,∴22、（1），，，證明見解析（2）【解析】（1）已知兩式相加化簡可