PAGEPAGE4課時過關檢測(三十八)空間幾何體的結構特征、表面積與體積A級——基礎達標1．(2024·天津模擬)已知一個圓錐的母線長為4，且其側面積是其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為()A．π B．eq\f(3π,2)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,2)解析：A不妨設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，依據題意，則4×eq\f(1,2)×2rh＝πrl，所以h＝eq\f(π,4)l＝eq\f(π,4)×4＝π．2．如圖所示，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積為()A．eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\r(2) D．2＋eq\r(2)解析：D由題意，依據斜二測畫法的規則，可得該平面圖形是上底長為1，下底長為1＋eq\r(2)，高為2的直角梯形OABC，如圖所示，所以計算得面積為S＝eq\f(1,2)(1＋1＋eq\r(2))×2＝2＋eq\r(2)．故選D．3．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．eq\f(64,3)π D．eq\f(256,3)π解析：B設這個球的半徑為R，則4πR2＝16π，得R＝2，所以這個球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π．故選B．4．(2024·青島質檢)如圖，一個直三棱柱形態的容器中盛有水，側棱AA1＝4，若側面AA1B1B水平放置時，水面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，當底面A．2 B．eq\f(5,2)C．3 D．eq\f(7,2)解析：C當側面AA1B1B水平放置時，水的形態為四棱柱，底面是梯形，面積為S，此時水的體積V＝S·AA1＝4S，當底面ABC水平放置時，水的形態為三棱柱，設水面高為h，此時水的體積V＝S△ABC·h，又S＝eq\f(3,4)S△ABC，∴h＝eq\f(4S,S△ABC)＝3，故選C．5．(多選)下列說法正確的是()A．棱柱的側棱長都相等B．棱柱的兩個相互平行的面肯定是棱柱的底面C．棱臺的側面是等腰梯形D．用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面解析：ADA正確；B不正確，例如六棱柱的相對側面也相互平行；C不正確，棱臺的側棱長可能不相等；D正確，用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面．故選A、D．6．(多選)如圖所示的圓錐的底面半徑為3，高為4，則()A．該圓錐的母線長為5B．該圓錐的體積為12πC．該圓錐的表面積為15πD．三棱錐S-ABC體積的最大值為12解析：ABD該圓錐的母線長為eq\r(32＋42)＝5，A正確；該圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×32×4＝12π，B正確；該圓錐的表面積為π×3×(3＋5)＝24π，C錯誤；當OB⊥AC時，△ABC的面積最大，此時S△ABC＝eq\f(1,2)×6×3＝9，三棱錐S-ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9×4＝12，D正確．故選A、B、D．7．(2024·珠海模擬)一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．解析：設六棱錐的高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×6h＝2eq\r(3)，解得h＝1．設六棱錐的斜高為h′，則h2＋(eq\r(3))2＝h′2，故h′＝2．所以該六棱錐的側面積為eq\f(1,2)×2×2×6＝12．答案：128．(2024·武漢月考)已知圓臺的上、下底面半徑分別是r，R，且側面積等于兩底面積之和，則圓臺的母線長為________．解析：設圓臺的母線長為l，則圓臺的側面積為S側＝π(r＋R)l，圓臺的兩底面積之和為S＝π(r2＋R2)，由已知得π(r＋R)l＝π(r2＋R2)，所以l＝eq\f(r2＋R2,r＋R)．答案：eq\f(r2＋R2,r＋R)9．(2024·江蘇高考)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半徑為0．5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3．解析：正六棱柱的體積為6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)(cm3)，圓柱的體積為π×0．52×2＝eq\f(π,2)(cm3)，則該六角螺帽毛坯的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3．答案：12eq\r(3)－eq\f(π,2)B級——綜合應用10．若正三棱臺上、下底面邊長分別是a和2a，棱臺的高為eq\f(\r(33),6)a，則此正三棱臺的側面積為()A．a2 B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(9,2)a2 D．eq\f(3,2)a2解析：C如圖，設O1，O分別為上、下底面的中心，D，D1分別是AC，A1C1的中點，過D1作D1E⊥OD于點E．在直角梯形ODD1O1中，OD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×2a＝eq\f(\r(3),3)a，O1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×a＝eq\f(\r(3),6)a，∴DE＝OD－O1D1＝eq\f(\r(3),6)a．在Rt△DED1中，D1E＝eq\f(\r(33),6)a，則D1D＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(33),6)a))2)＝eq\r(\f(3,36)a2＋\f(33,36)a2)＝a．∴S側＝3×eq\f(1,2)(a＋2a)a＝eq\f(9,2)a2．11．如圖，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，圖中陰影部分繞AB所在直線旋轉一周所形成的幾何體的體積為________．解析：由題意知，所求旋轉體是一個圓臺，從上面挖去一個半球，圓臺的上底面面積S1＝4π，下底面面積S2＝16π，∴圓臺的體積為V1＝eq\f(1,3)×(4π＋eq\r(4π×16π)＋16π)×3＝28π，又半球的體積為V2＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×π×23＝eq\f(16π,3)，故旋轉體的體積為V1－V2＝28π－eq\f(16π,3)＝eq\f(68π,3)．答案：eq\f(68π,3)12．沙漏是一種古代的計時裝置，它由兩個形態完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，起先時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所須要的時間稱為該沙漏的一個沙時，如圖，某沙漏由上、下兩個相同的圓錐組成，圓錐的高為1，若上面的圓錐中裝有高度為eq\f(2,3)的液體，且液體能流入下面的圓錐，則液體流下去后的液面高度為________．解析：由題意可得，eq\f(V液,V圓錐)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，所以eq\f(V圓錐－V液,V圓錐)＝1－eq\f(8,27)＝eq\f(19,27)，又上下兩圓錐是對頂的相同圓錐，所以液體流下去后的液面與下圓錐底面形成一個圓臺，其體積等于液體未流前小圓錐體積，