第五章平面對量第一講平面對量的概念及線性運算、平面對量基本定理及坐標運算1.[2024惠州市模擬]正方形ABCD中,點E,F分別是DC,BC的中點,那么EF=()A.12ABC.12AB2.[2024山東新高考模擬]已知兩個力F1=(1,2),F2=(-2,3)作用于平面內某靜止物體的同一點上,為使該物體仍保持靜止,還需給該物體同一點上再加一個力F3,則F3=()A.(1,-5) B.(-1,5)C.(5,-1) D.(-5,1)3.[2024廣西模擬]已知向量a=(k,1)與b=(4,k),則“k=±2”是“a·b共線且方向相反”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.[2024哈爾濱六中模擬]如圖5-1-1,平行四邊形ABCD的對角線相交于點O,過點O的直線與AB,AD所在直線分別交于點M,N,若AB=mAM,AN=nAD(m>0,n>0),則1m+n的最小值為()A.22 B.1 C.22 D.25.[2024洛陽市統考]假如向量a=(k,1)與b=(6,k+1)方向相同,那么實數k的值為.

6.[2024唐山市模擬]已知|a|=5,b=(2,1),且a∥b,則向量a的坐標是.

7.[2024南昌市三模]如圖5-1-2,在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB,BC的中點,連接CE,DF,交于點G.若CG=λCD+μCB(λ,μ∈R),則λμ=圖5-1-28.已知圓心為O,半徑為1的圓上有不同的三個點A,B,C,其中OA·OB=0,存在實數λ,μ滿意OC+λOA+μOB=0,則實數λ,μ的關系為()A.λ2+μ2=1 B.1λC.λμ=1 D.λ+μ=19.[角度創新]在平行四邊形ABCD中,E是AB的中點,F是線段DE上的點,且FC=78AB+A.FD=2EF B.EF=2FDC.FD=3EF D.EF=3FD10.[2024河北六校第一次聯考]已知點O是△ABC內一點,且滿意OA+2OB+mOC=0,S△AOBS△ABC=4A.-4 B.-2 C.2 D.411.[2024哈爾濱三中二模]已知△ABC中,長為2的線段AQ為BC邊上的高,滿意ABsinB+ACsinC=AQ,H為AC上一點且AH=12AC,則BH=A.477 B.47 C.412.[2024山東部分重點中學第一次綜合測試]如圖5-1-3,在△ABC中,∠BAC=π3,AD=2DB,P為CD上一點,且滿意AP=mAC+12AB,若△ABC的面積為23,則|APA.2 B.3 C.3 D.4圖5-1-313.[2024百校聯考]如圖5-1-4所示的平面直角坐標系中,網格中小正方形的邊長為1,若向量a,b,c滿意c=xa+yb,且(ka-b)·c=0,則x+yk圖5-1-4答案第五章平面對量第一講平面對量的概念及線性運算、平面對量基本定理及坐標運算1.C解法一因為點E是DC的中點,所以EC=12DC=12AB.因為點F是BC的中點,所以圖D5-1-3解法二如圖D5-1-3,連接BD,因為點E,F分別是DC,BC的中點,所以EF=12DB=12.A由題意可知F1+F2+F3=0?F3=-(F1+F2)=(1,-5).3.B由a=(k,1),b=(4,k),且a,b共線,得k2-4=0,解得k=±2.當k=2時,a=(2,1),b=(4,2),a,b共線且方向相同;當k=-2時,a=(-2,1),b=(4,-2)=-2(-2,1)=-2a,a,b共線且方向相反.∴“k=±2”是“a,b共線且方向相反”的必要不充分條件.故選B.4.D由題意知AO=12AB+12因為M,O,N三點共線,所以12m+1則1m+n=(12m+12n)(1m+n)=12×(1+1+mn+當且僅當m=n=1時取“=”,故選D.5.2解法一因為向量a與b方向相同,所以(k,1)=λ(6,k+1)(λ>0),所以k=6λ,1=解法二由題意知a∥b,所以k(k+1)-1×6=0,解得k=2或k=-3,但當k=-3時,a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,兩個向量方向相反,所以k=2.6.(25,5)或(-25,-5)因為b=(2,1),所以|b|=5,又|a|=5,a∥b,所以a=5b或a=-5b,所以向量a的坐標為(25,5)或(-25,-7.12由題圖可設CG=xCE(0<x<1),則CG=x(CB+BE)=x(CB+12CD)=x2CD+xCB.因為CG=λCD+μCB,CD與CB不共線,所以λ8.A解法一取特別點,取C為優弧AB的中點,此時由平面對量基本定理易得λ=μ=22,只有選項A符合.故選A解法二依題意得|OA|=|OB|=|OC|=1,-OC=λOA+μOB,兩邊同時平方,得1=λ2+μ2.故選A9.D解法一設FD=λED.易知ED=AD-AE=AD-12AB,則FC=FD+DC=λED+AB=λ(AD-12AB)+AB=(1解法二FD=FC+CD=解法三如圖D5-1-4,取CD的中點G,連接BG,設H為BG上一點,且BH=DF,易證得AH=FC,則AH=FC=78AB+14AD.過點H作HM∥AB,交AD于點M,交DE于點Q,作HN∥AD,交AB于點N,則AH=AN+AM,所以AM=圖D5-1-410.D由OA+2OB=-mOC得,13OA+23OB=-m3OC,如圖D5-1-5,設-m3OC=OD,則13OA+23OB=OD,∴A圖D5-1-511.D分別在AB,AC上取E,F,使得AE=AF=AQ=2,連接QE,QF,BF,如圖D5-1-6所示.因為線段AQ為BC邊上的高,所以ABsin∠ABC=ACsinC=AQ,所以ABsin∠ABC=AE,ACsinC=AF,所以AE+由平面對量加法的平行四邊形法則可得AE∥QF,AF∥QE,所以四邊形AEQF為菱形,所以AQ平分∠BAC,∠BAF=120°,所以AB=AC,Q為BC的中點,E,F分別為AB,AC的中點.所以AB=2AF=2AQ=4,又AH=12AC,所以點H為AC的中點,即點在△BAF中,BF2=AB2+AF2-2AB·AFcos∠BAF=16+4+8=28.所以BH2=28,BH=27,故選D.圖D5-1-6【解后反思】由條件ABsinB+ACsinC=AQ引發的兩點聯想:一是由“形”聯想平面對量加法的平行四邊形法則;二是由“數”聯想所畫圖形中的數量關系ABsinB=ACsinC=AQ(線段AQ為BC邊上的高).二者結合,才能奇妙得解.解此類題時,要將題目中給出的信息挖掘透徹.12.B設|AB|=3a,|AC|=b,則△ABC的面積為12×3absinπ3=23,解得ab=83.由AP=mAC+12AB=mAC+34AD,且C,P,D三點共線,可知m+34=1,得m=14,故AP=14AC+34AD.以A為坐標原點,AB所在直線為x軸,過A作AB的垂線為y軸,建立如圖D5-1-7所示的平面直角坐標系,則A(0,0),D(2a,0),B(3a,0),C(12b,32b),則AC=(12b,32b),A