專題33概率【專題目錄】技巧1：概率應用的四種求法技巧2：利用概率判斷游戲規則的公平性【題型】一、判斷事件發生可能性的大小【題型】二、簡單概率計算【題型】三、用列舉法求概率【題型】四、判斷游戲公平性【題型】五、用頻率估計概率【考綱要求】1.了解事件的有關概念及分類．2.理解概率的概念，并會用列表、畫樹狀圖法求簡單事件發生的概率．3.學會用頻率估計概率，并會用概率解決實際問題.【考點總結】一、事件的有關概念1．必然事件：在現實生活中一定會發生的事件稱為必然事件．2．不可能事件：在現實生活中一定不會發生的事件稱為不可能事件．3．不確定事件：在現實生活中，有可能發生，也有可能不發生的事件稱為不確定事件．4．分類：事件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(確定事件\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(必然事件,不可能事件)),不確定事件))【考點總結】二、用列舉法求概率1．在不確定事件中，一件事發生的可能性大小叫做這個事件的概率．2．適用條件：(1)可能出現的結果為有限多個；(2)各種結果發生的可能性相等．3．求法：(1)利用列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有機會均等的結果；(2)弄清我們關注的是哪個或哪些結果；(3)求出關注的結果數與所有等可能出現的結果數的比值，即關注事件的概率．【考點總結】三、利用頻率估計概率1．適用條件：當試驗的結果不是有限個或各種結果發生的可能性不相等．2．方法：進行大量重復試驗，當事件發生的頻率越來越靠近一個常數時，該常數就可認為是這個事件發生的概率．【考點總結】四、概率的應用概率是和實際結合非常緊密的數學知識，可以對生活中的某些現象作出評判，如解釋摸獎，配紫色，評判游戲活動的公平性，數學競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件作出決策．【技巧歸納】技巧1：概率應用的四種求法【類型】一：用公式法求概率1．一個不透明的袋中裝有5個黃球，13個黑球和22個紅球，它們除顏色外都相同．(1)求從袋中摸出一個球是黃球的概率；(2)現從袋中取出若干個黑球，并放入相同數量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個球是黃球的概率不小于eq\f(1,3)，問至少取出了多少個黑球？【類型】二：用列表法求概率2．某校為了解九年級學生近兩個月“推薦書目”的閱讀情況，隨機抽取了該年級的部分學生，調查了他們每人“推薦書目”的閱讀本數．設每名學生的閱讀本數為n，并按以下規定分為四檔：當n＜3時，為“偏少”；當3≤n＜5時，為“一般”；當5≤n＜8時，為“良好”；當n≥8時，為“優秀”．將調查結果統計后繪制成如下不完整的統計圖表：閱讀本數n/本123456789人數/人126712x7y1請根據以上信息回答下列問題：(第2題)(1)分別求出統計表中的x，y的值；(2)估計該校九年級400名學生中為“優秀”檔次的人數；(3)從被調查的“優秀”檔次的學生中隨機抽取2名學生介紹讀書體會，請用列表或畫樹形圖的方法求抽取的2名學生中有1名閱讀本數為9的概率．【類型】三：用畫樹形圖法求概率3．體育課上，小明、小強、小華三人在踢足球，足球從一人傳到另一人就記為踢一次．(1)如果從小強開始踢，經過兩次踢球后，足球踢到了小華處的概率是多少？(2)如果踢三次后，球踢到了小明處的可能性最小，應從誰開始踢？請說明理由．【類型】四：用頻率估算法求概率4．一只不透明的袋子中裝有4個球，分別標有數字2，3，4，x，這些球除數字外都相同．甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機摸出1個球，并計算摸出的這兩個球上數字之和．記錄后都將球放回袋中攪勻，進行重復試驗．試驗數據如下表：摸球總次數1020306090120180240330450“和為7”出現的頻數19142426375882109150“和為7”出現的頻率0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33解答下列問題：(1)如果試驗繼續進行下去，根據上表數據，出現“和為7”的頻率將穩定在它的概率附近，試估計出現“和為7”的概率；(2)根據(1)，若x是不等于2，3，4的自然數，試求x的值．技巧2：利用概率判斷游戲規則的公平性【類型】一：利用概率判斷摸球游戲的公平性1．在一個不透明的口袋里裝有分別標有數字1，2，3，4的四個球，除數字不同外，球沒有任何區別，每次試驗前先攪拌均勻．(1)若從中任取一球，球上的數字為偶數的概率為多少？(2)若從中任取一球(不放回)，再從中任取一球，請用畫樹形圖或列表格的方法求出兩個球上的數字之和為偶數的概率．(3)若設計一種游戲方案：從中任取兩球，兩個球上的數字之差的絕對值為1時甲勝，否則乙勝，請問這種游戲方案對甲、乙雙方公平嗎？請說明理由．【類型】二：利用概率判斷轉盤游戲的公平性2．如圖是一個轉盤，轉盤被平均分成4等份，即被分成4個大小相等的扇形，4個扇形分別標有數字1，2，3，4，指針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止，每次指針落在每一扇形的機會均等(若指針恰好落在分界線上則重轉)．【導學號：89274041】(1)圖中標有“1”的扇形至少繞圓心旋轉________度能與標有“4”的扇形的起始位置重合；(2)現有一本故事書，姐妹倆商定通過轉盤游戲定輸贏(贏的一方先看)，游戲規則是：姐妹倆各轉動一次轉盤，兩次轉動后，若指針所指扇形上的數字之積為偶數，則姐姐贏；若指針所指扇形上的數字之積為奇數，則妹妹贏．這個游戲規則對雙方公平嗎？請利用樹形圖或列表法說明理由．(第2題)【類型】三：利用概率判斷統計事件的公平性3．近年來，我國持續的大面積的霧霾天氣讓環境和健康問題成為焦點，為了調查學生對霧霾天氣知識的了解程度，某校在學生中作了一次抽樣調查，調查結果共分為四個等級；A.非常了解；B.比較了解；C.基本了解；D.不了解．根據調查統計結果，繪制了如圖所示的不完整的三種統計圖表．(第3題)對霧霾天氣了解程度的統計表：對霧霾天氣的了解程度百分比A.非常了解5%B.比較了解15%C.基本了解45%D.不了解n請結合統計圖表，回答下列問題：(1)本次參與調查的學生共有________人，n＝________；(2)扇形統計圖中D部分扇形所對應的圓心角是________度；(3)請補全條形統計圖；(4)根據調查結果，學校準備開展關于霧霾的知識競賽，某班要從“非常了解”程度的小明和小剛中選一人參加，現設計了如下游戲來確定，具體規則是：把四個完全相同的乒乓球標上數字1，2，3，4，然后放到一個不透明的袋中，一個人先從袋中隨機摸出一個球，另一個人再從剩下的三個球中隨機摸出一個球．若摸出的兩個球上的數字和為奇數，則小明去，否則小剛去．請用樹形圖或列表法說明這個游戲規則是否公平．【題型講解】【題型】一、判斷事件發生可能性的大小例1、下列事件是必然事件的是（）A．任意一個五邊形的外角和為540°B．拋擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數為50次C．13個人參加一個集會，他們中至少有兩個人的出生月份是相同的D．太陽從西方升起例2、下列事件中是不可能事件的是()A．守株待兔 B．甕中捉鱉 C．水中撈月 D．百步穿楊【題型】二、簡單概率計算例3、一個不透明的口袋中有4個紅球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出1個球，則摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．例4、四張背面完全相同的卡片，正面分別印有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形，現在把它們的正面向下，隨機的擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽到的卡片正面是中心對稱圖形的概率是（）A． B． C． D．1例5、已知電流在一定時間段內正常通過電子元件“”的概率是0.5；則在一定時間段內，由該元件組成的圖示電路A、B之間，電流能夠正常通過的概率是（）A．0.75 B．0.625 C．0.5 D．0.25例6、現有4條線段，長度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．【題型】三、用列舉法求概率例7、不透明的袋子中裝有兩個小球，上面分別寫著“1”，“2”，除數字外兩個小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，那么兩次記錄的數字之和為3的概率是（）A． B． C． D．例8、將一個籃球和一個足球隨機放入三個不同的籃子中，則恰有一個籃子為空的概率為（）A． B． C． D．例9、現有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同，從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是（）A． B． C． D．【題型】四、判斷游戲公平性例10、小偉和小梅兩位同學玩擲骰子的游戲，兩人各擲一次均勻的骰子，以擲出的點數之差的絕對值判斷輸贏．若所得數值等于，，，則小偉勝：若所得數值等于，，，則小梅勝（1）請利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率（2）判斷上述游戲是否公平．如果公平，請說明理由；如果不公平，請利用上表修改游戲規則，以確保游戲的公平性【題型】五、用頻率估計概率例11、為慶祝建黨99周年，某校八年級（3）班團支部為了讓同學們進一步了解中國科技的發展，給班上同學布置了一項課外作業，從選出的以下五個內容中任選部分內容進行手抄報的制作：、“北斗衛星”：、“時代”；、“智軌快運系統”；、“東風快遞”；、“高鐵”．統計同學們所選內容的頻數，繪制如圖所示的折線統計圖，則選擇“時代”的頻率是（）A．0.25 B．0.3 C．25 D．30例12、為了解某地區九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區1000名九年級男生的身高數據，統計結果如下．身高人數60260550130根據以上統計結果，隨機抽取該地區一名九年級男生，估計他的身高不低于的概率是（）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87例13、如圖①所示，平整的地面上有一個不規則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為，寬為的長方形，將不規則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區域扔小球，并記錄小球落在不規則圖案上的次數（球扔在界線上或長方形區域外不計實驗結果），他將若干次有效實驗的結果繪制成了②所示的折線統計圖，由此他估計不規則圖案的面積大約為（）A． B． C． D．概率（達標訓練）一、單選題1．下列所給的事件中，是必然事件的是（

）A．某校的300名學生中，至少有2名學生的生日是同一天．B．正方形的對角線互相垂直C．某抽獎活動的中獎概率是，那么連續抽10次，必然會中獎．D．2023年的元旦順德會下雪．2．縣氣象站天氣預報稱，明天千島湖鎮的降水概率為，下列理解正確的是（）A．明天千島湖鎮下雨的可能性較大B．明天千島湖鎮有的地方會下雨C．明天千島湖鎮全天有的時間會下雨D．明天千島湖鎮一定會下雨3．下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．守株待兔 B．水中撈月 C．水滴石穿 D．百發百中4．如圖，電路圖上有4個開關A、B、C、D和1個小燈泡，同時閉合開關A、B或同時閉合開關C、D都可以使小燈泡發光，下列操作中，“小燈泡發光”這個事件是隨機事件的是（）A．只閉合4個開關 B．只閉合3個開關 C．只閉合2個開關 D．閉合1個開關5．袋子中裝有個紅球、個綠球，從袋子中隨機摸出一個球，是綠球的概率為（

）A． B． C． D．6．如圖，一個可以自由轉動的轉盤被等分成個扇形區域，并涂上了相應的顏色，轉動轉盤，轉盤停止后，指針指向紅色區域的概率是（）A． B． C． D．7．某校舉行春季運動會，需要在初一年級選取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有名同學報名參加．現從這名同學中隨機選取一名志愿者，則被選中的這名同學恰好是初一（3）班同學的概率是（

）A． B． C． D．8．宋代程顥的《秋月》有四句古詩如下：①空水澄鮮一色秋；②白云紅葉兩悠悠；③清溪流過碧山頭；④隔斷紅塵三十里這四句古詩的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩調整為正確位置，則她第一次就調整正確的可能性是（）A． B． C． D．9．下列事件是隨機事件的是（）A．打開電視，正在播放《中國機長》B．白發三千丈，緣愁似個長C．離離原上草，一歲一枯榮D．鈍角三角形的內角和大于二、填空題10．某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數20801002004008001000射中九環以上次數186882166330664832射中九環以上的頻率0.900.850.820.830.8250.830.832根據頻率的穩定性，估計這名運動員射擊一次時“中九環以上”的概率約是_______.（精確到0.01）11．如圖，若隨機閉合開關，，中的兩個，則能讓兩燈泡同時發光的概率為______三、解答題12．某校為了解九年級男同學的體育考試準備情況，隨機抽取部分男同學進行了米跑步測試．按照成績分為優秀、良好、合格與不合格四個等級，學校繪制了如圖不完整的統計圖．(1)根據給出的信息，補全兩幅統計圖；(2)該校九年級有名男生，請估計成績達到良好及以上等級的有多少名？(3)某班甲、乙兩位成績優秀的同學被選中參加即將舉行的學校運動會米比賽．預賽分別為三組進行，選手由抽簽確定分組．甲、乙兩人恰好分在同一組的概率是多少？13．某學校準備組織學生參加唱歌、舞蹈、書法、朗誦活動，為了解學生的參與情況，該校隨機抽取了部分學生進行“你愿意參加哪一項活動”（必選且只選一種）的問卷調查．根據調查結果繪制了兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息，解答下列問題：(1)本次抽樣調查的總人數為______，扇形統計圖中“舞蹈”對應的圓心角的度數為______．(2)若該校有1400名學生，估計選擇參加“書法”的有多少人？(3)學校準備從推薦的4位同學（兩男兩女）中隨機選取兩人當正式活動的主持人，利用畫樹狀圖法或列表法求選取的兩人恰為一男一女的概率．概率（提升測評）一、單選題1．將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區域的概率為(

)A． B． C． D．2．活動課上，小林、小軍、小強3位同學和其他6位同學一起進行3人制籃球賽，他們將9人隨機抽簽分成三組，則小林、小軍、小強三人恰好分在3個不同組的概率是（

）A． B． C． D．3．如圖，點D在的邊上，連接，點P的位置如圖所示，在圖中隨機選擇一個三角形，則點P在選擇的三角形內部的概率是（

）A． B． C． D．14．現有3包同一品牌的餅干，其中2包已過期，隨機抽取2包，2包都過期的概率是（

）A． B． C． D．5．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，若隨意拋出一粒石子在這個圓面上，則石子落在正方形ABCD內概率是（

）A． B． C． D．6．孔明給弟弟買了一些糖果，放到一個不透明的袋子里，這些糖果除了口味和外包裝的顏色外其余都相同，袋子里各種口味糖果的數量統計如圖所示，他讓弟弟從袋子里隨機摸出一顆糖果．則弟弟恰好摸到蘋果味糖果的概率是（

）．A． B． C． D．7．在一個不透明的口袋中裝有個紅球和若干個白球，他們除顏色外其他完全相同．通過多次摸球實驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在附近，則口袋中白球可能有（）A．1個 B．1個 C．1個 D．1個8．4件外觀相同的產品中只有1件不合格，現從中一次抽取2件進行檢測，抽到的兩件產品中有一件產品合格而另一件產品不合格的概率是(

)A． B． C． D．9．如圖，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關，，中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發光的概率為（

）A． B． C． D．10．有兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成如圖所示的幾個扇形，游戲者同時轉動兩個轉盤，如果一個轉盤轉出了紅色，另一個轉盤轉出了藍色，游戲者就配成了紫色，下列說法正確的是（

）A．兩個轉盤轉出藍色的概率一樣大B．如果A轉盤轉出了藍色，那么B轉盤轉出藍色的可能性變小了C．先轉動A轉盤再轉動B轉盤和同時轉動兩個轉盤，游戲者配成紫色的概率不同D．游戲者配成紫色的概率為二、填空題11．現有張正面分別標有數字，，，的不透明卡片，它們除了數字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機抽取一張，將該卡片上的數字記為，放回后再洗勻并隨機抽取一張，將該卡片上的數字記為，則滿足方程的解是負數的概率為________．12．如圖，A、B是正方形網格中的兩個格點，在格點上任意放置點C，恰好能使的面積為1的概率是______．三、解答題13．為增強學生愛國意識，激發愛國情懷，某校9月開展了“喜迎二十大、永遠跟黨走、奮進新征程”主題教育活動，活動方式有：A.主題征文，B.書法繪畫，C.紅歌傳唱，D.經典誦讀．為了解最受學生喜愛的活動方式，現隨機抽取若干名學生進行調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖．根據以上信息，解答下列問題：(1)參與此次抽樣調查的學生人數是_______，扇形統計圖中A部分圓心角的度數是_______；(2)學校從1班，2班，3班，4班中隨機選取兩個班參加“紅歌傳唱”的活動，求恰好選中2班和3班的概率．14．某校為落實“雙減”工作，增強課后服務的吸引力，充分用好課后服務時間，為學有余力的學生拓展學習空間，成立了5個活動小組（每位學生只能參加一個活動小組）：．音樂；．體育；．美術；．閱讀；．人工智能．為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計，并根據統計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．根據圖中信息，解答下列問題：(1)①此次調查一共隨機抽取了______名學生；②補全條形統計圖（要求在條形圖上方注明人數）；③扇形統計圖中圓心角______度；(2)若該校有2800名學生，估計該校參加組（閱讀）的學生人數；(3)學校計劃從組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學生中隨機抽取兩人參加市青少年機器人競賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．專題33概率【專題目錄】技巧1：概率應用的四種求法技巧2：利用概率判斷游戲規則的公平性【題型】一、判斷事件發生可能性的大小【題型】二、簡單概率計算【題型】三、用列舉法求概率【題型】四、判斷游戲公平性【題型】五、用頻率估計概率【考綱要求】1.了解事件的有關概念及分類．2.理解概率的概念，并會用列表、畫樹狀圖法求簡單事件發生的概率．3.學會用頻率估計概率，并會用概率解決實際問題.【考點總結】一、事件的有關概念1．必然事件：在現實生活中一定會發生的事件稱為必然事件．2．不可能事件：在現實生活中一定不會發生的事件稱為不可能事件．3．不確定事件：在現實生活中，有可能發生，也有可能不發生的事件稱為不確定事件．4．分類：事件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(確定事件\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(必然事件,不可能事件)),不確定事件))【考點總結】二、用列舉法求概率1．在不確定事件中，一件事發生的可能性大小叫做這個事件的概率．2．適用條件：(1)可能出現的結果為有限多個；(2)各種結果發生的可能性相等．3．求法：(1)利用列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有機會均等的結果；(2)弄清我們關注的是哪個或哪些結果；(3)求出關注的結果數與所有等可能出現的結果數的比值，即關注事件的概率．【考點總結】三、利用頻率估計概率1．適用條件：當試驗的結果不是有限個或各種結果發生的可能性不相等．2．方法：進行大量重復試驗，當事件發生的頻率越來越靠近一個常數時，該常數就可認為是這個事件發生的概率．【考點總結】四、概率的應用概率是和實際結合非常緊密的數學知識，可以對生活中的某些現象作出評判，如解釋摸獎，配紫色，評判游戲活動的公平性，數學競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件作出決策．【技巧歸納】技巧1：概率應用的四種求法【類型】一：用公式法求概率1．一個不透明的袋中裝有5個黃球，13個黑球和22個紅球，它們除顏色外都相同．(1)求從袋中摸出一個球是黃球的概率；(2)現從袋中取出若干個黑球，并放入相同數量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個球是黃球的概率不小于eq\f(1,3)，問至少取出了多少個黑球？【類型】二：用列表法求概率2．某校為了解九年級學生近兩個月“推薦書目”的閱讀情況，隨機抽取了該年級的部分學生，調查了他們每人“推薦書目”的閱讀本數．設每名學生的閱讀本數為n，并按以下規定分為四檔：當n＜3時，為“偏少”；當3≤n＜5時，為“一般”；當5≤n＜8時，為“良好”；當n≥8時，為“優秀”．將調查結果統計后繪制成如下不完整的統計圖表：閱讀本數n/本123456789人數/人126712x7y1請根據以上信息回答下列問題：(第2題)(1)分別求出統計表中的x，y的值；(2)估計該校九年級400名學生中為“優秀”檔次的人數；(3)從被調查的“優秀”檔次的學生中隨機抽取2名學生介紹讀書體會，請用列表或畫樹形圖的方法求抽取的2名學生中有1名閱讀本數為9的概率．【類型】三：用畫樹形圖法求概率3．體育課上，小明、小強、小華三人在踢足球，足球從一人傳到另一人就記為踢一次．(1)如果從小強開始踢，經過兩次踢球后，足球踢到了小華處的概率是多少？(2)如果踢三次后，球踢到了小明處的可能性最小，應從誰開始踢？請說明理由．【類型】四：用頻率估算法求概率4．一只不透明的袋子中裝有4個球，分別標有數字2，3，4，x，這些球除數字外都相同．甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機摸出1個球，并計算摸出的這兩個球上數字之和．記錄后都將球放回袋中攪勻，進行重復試驗．試驗數據如下表：摸球總次數1020306090120180240330450“和為7”出現的頻數19142426375882109150“和為7”出現的頻率0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33解答下列問題：(1)如果試驗繼續進行下去，根據上表數據，出現“和為7”的頻率將穩定在它的概率附近，試估計出現“和為7”的概率；(2)根據(1)，若x是不等于2，3，4的自然數，試求x的值．答案1．解：(1)P(摸出一個球是黃球)＝eq\f(5,5＋13＋22)＝eq\f(1,8).(2)設取出了x個黑球，則放入了x個黃球，由題意得eq\f(5＋x,5＋13＋22)≥eq\f(1,3)，解得x≥eq\f(25,3).∵x為正整數，∴x最小取9.則至少取出了9個黑球．2．解：(1)由題中圖表可知被調查學生中“一般”檔次的有13人，所占比例是26%，所以共調查的學生數是13÷26%＝50(人)，則調查學生中“良好”檔次的人數為50×60%＝30(人)，所以x＝30－(12＋7)＝11，y＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3.(2)由樣本數據可知“優秀”檔次所占的比例是eq\f(3＋1,50)＝0.08＝8%.所以，估計該校九年級400名學生中為“優秀”檔次的人數為400×8%＝32(人)．(3)用A，B，C表示閱讀本數是8的學生，用D表示閱讀本數是9的學生，列表如下：ABCDA(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)由列表可知，共有12種等可能的情況，其中所抽取的2名學生中有1名閱讀本數為9的有6種．所以，抽取的2名學生中有1名閱讀本數為9的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).3．解：(1)畫樹形圖如圖：[第3(1)題]∴P(足球踢到小華處)＝eq\f(1,4).(2)應從小明開始踢．理由如下，畫樹形圖如圖：[第3(2)題]若從小明開始踢，P(踢到小明處)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，同理，若從小強開始踢，P(踢到小明處)＝eq\f(3,8)，若從小華開始踢，P(踢到小明處)＝eq\f(3,8).故應從小明開始踢．4．解：(1)出現“和為7”的概率約為0.33；(2)列表如下：甲和乙234x2/562＋x35/73＋x467/4＋xxx＋2x＋3x＋4/由表格可知，一共有12種等可能的結果，由(1)可知，出現“和為7”的概率約為0.33，∴“和為7”出現的次數約為0.33×12＝3.96≈4.若2＋x＝7，則x＝5，符合題意，若3＋x＝7，則x＝4，不合題意．若4＋x＝7，則x＝3，不合題意．∴x＝5.技巧2：利用概率判斷游戲規則的公平性【類型】一：利用概率判斷摸球游戲的公平性1．在一個不透明的口袋里裝有分別標有數字1，2，3，4的四個球，除數字不同外，球沒有任何區別，每次試驗前先攪拌均勻．(1)若從中任取一球，球上的數字為偶數的概率為多少？(2)若從中任取一球(不放回)，再從中任取一球，請用畫樹形圖或列表格的方法求出兩個球上的數字之和為偶數的概率．(3)若設計一種游戲方案：從中任取兩球，兩個球上的數字之差的絕對值為1時甲勝，否則乙勝，請問這種游戲方案對甲、乙雙方公平嗎？請說明理由．【類型】二：利用概率判斷轉盤游戲的公平性2．如圖是一個轉盤，轉盤被平均分成4等份，即被分成4個大小相等的扇形，4個扇形分別標有數字1，2，3，4，指針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止，每次指針落在每一扇形的機會均等(若指針恰好落在分界線上則重轉)．【導學號：89274041】(1)圖中標有“1”的扇形至少繞圓心旋轉________度能與標有“4”的扇形的起始位置重合；(2)現有一本故事書，姐妹倆商定通過轉盤游戲定輸贏(贏的一方先看)，游戲規則是：姐妹倆各轉動一次轉盤，兩次轉動后，若指針所指扇形上的數字之積為偶數，則姐姐贏；若指針所指扇形上的數字之積為奇數，則妹妹贏．這個游戲規則對雙方公平嗎？請利用樹形圖或列表法說明理由．(第2題)【類型】三：利用概率判斷統計事件的公平性3．近年來，我國持續的大面積的霧霾天氣讓環境和健康問題成為焦點，為了調查學生對霧霾天氣知識的了解程度，某校在學生中作了一次抽樣調查，調查結果共分為四個等級；A.非常了解；B.比較了解；C.基本了解；D.不了解．根據調查統計結果，繪制了如圖所示的不完整的三種統計圖表．(第3題)對霧霾天氣了解程度的統計表：對霧霾天氣的了解程度百分比A.非常了解5%B.比較了解15%C.基本了解45%D.不了解n請結合統計圖表，回答下列問題：(1)本次參與調查的學生共有________人，n＝________；(2)扇形統計圖中D部分扇形所對應的圓心角是________度；(3)請補全條形統計圖；(4)根據調查結果，學校準備開展關于霧霾的知識競賽，某班要從“非常了解”程度的小明和小剛中選一人參加，現設計了如下游戲來確定，具體規則是：把四個完全相同的乒乓球標上數字1，2，3，4，然后放到一個不透明的袋中，一個人先從袋中隨機摸出一個球，另一個人再從剩下的三個球中隨機摸出一個球．若摸出的兩個球上的數字和為奇數，則小明去，否則小剛去．請用樹形圖或列表法說明這個游戲規則是否公平．答案1．解：(1)∵不透明的口袋里裝有分別標有數字1，2，3，4的四個球，球上的數字為偶數的是2與4，∴從中任取一球，球上的數字為偶數的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).(2)畫樹形圖如圖：(第1題)∵共有12種等可能的結果，兩個球上的數字之和為偶數的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4種情況，∴兩個球上的數字之和為偶數的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).(3)∵兩個球上的數字之差的絕對值為1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6種情況，∴P(甲勝)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，P(乙勝)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).∴P(甲勝)＝P(乙勝)，∴這種游戲方案對甲、乙雙方公平．2．解：(1)90(2)列表如下：12341(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)由表可知共有16種等可能的結果，且指針所指扇形上的數字之積為偶數的有12種，奇數的有4種，則指針所指扇形上的數字之積為偶數的概率是eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)，指針所指扇形上的數字之積為奇數的概率是eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)，則游戲不公平．3．解：(1)400；35%(2)126(3)調查的結果為D等級的人數為：400×35%＝140，故補全的條形統計圖如圖所示，[第3(3)題](4)由題意可得，畫樹形圖如圖所示，[第3(4)題]∴P(數字和為奇數)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，P(數字和為偶數)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).故游戲規則不公平．【題型講解】【題型】一、判斷事件發生可能性的大小例1、下列事件是必然事件的是（）A．任意一個五邊形的外角和為540°B．拋擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數為50次C．13個人參加一個集會，他們中至少有兩個人的出生月份是相同的D．太陽從西方升起【答案】C【提示】事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可能事件．【詳解】解：A．任意一個五邊形的外角和等于540，屬于不可能事件，不合題意；B．投擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數為50次是隨機事件，不合題意；C.13個人參加一個集會，他們中至少有兩個人的出生月份是相同的，屬于必然事件，符合題意；D．太陽從西方升起，屬于不可能事件，不合題意；故選：C．例2、下列事件中是不可能事件的是()A．守株待兔 B．甕中捉鱉 C．水中撈月 D．百步穿楊【答案】C【提示】不可能事件是一定不會發生的事件，依據定義即可判斷．【詳解】解：A、守株待兔，不一定就能達到，是隨機事件，故選項不符合；B、甕中捉鱉是必然事件，故選項不符合；C、水中撈月，一定不能達到，是不可能事件，選項不符合；D、百步穿楊，未必達到，是隨機事件，故選項不符合；故選C.【題型】二、簡單概率計算例3、一個不透明的口袋中有4個紅球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出1個球，則摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【提示】隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數．【詳解】解：摸到紅球的概率為：．

故選D．例4、四張背面完全相同的卡片，正面分別印有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形，現在把它們的正面向下，隨機的擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽到的卡片正面是中心對稱圖形的概率是（）A． B． C． D．1【答案】C【提示】由四張質地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形四個圖案．中心對稱圖形的是圓、平行四邊形，正六邊形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：∵四張質地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形四個圖案．中心對稱圖形的是圓、平行四邊形，正六邊形，

∴從中任意抽出一張，則抽出的卡片正面圖案是中心對稱圖形的概率為：．

故選：C．例5、已知電流在一定時間段內正常通過電子元件“”的概率是0.5；則在一定時間段內，由該元件組成的圖示電路A、B之間，電流能夠正常通過的概率是（）A．0.75 B．0.625 C．0.5 D．0.25【答案】A【提示】根據題意，某一個電子元件不正常工作的概率為0.5，可得兩個元件同時不正常工作的概率為0.25，進而由概率的意義可得一定時間段內AB之間電流能夠正常通過的概率．【詳解】解：根據題意，電流在一定時間段內正常通過電子元件的概率是0.5，

即某一個電子元件不正常工作的概率為0.5，則兩個元件同時不正常工作的概率為0.25；故在一定時間段內AB之間電流能夠正常通過的概率為=0.75，故選A.例6、現有4條線段，長度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【提示】從四條線段中任意選取三條，找出所有的可能，以及能構成三角形的情況數，即可求出所求的概率．【詳解】解：從長度分別為2、4、6、7的四條線段中任選三條有如下4種情況：2、4、6；2、4、7；

2、6、7；4、6、7；其中能構成三角形的有2、6、7；4、6、7這兩種情況，

所以能構成三角形的概率是，

故選：B．【題型】三、用列舉法求概率例7、不透明的袋子中裝有兩個小球，上面分別寫著“1”，“2”，除數字外兩個小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，那么兩次記錄的數字之和為3的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【提示】先根據題意畫出樹狀圖，再利用概率公式計算即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：所以共4種情況：其中滿足題意的有兩種，所以兩次記錄的數字之和為3的概率是故選C．例8、將一個籃球和一個足球隨機放入三個不同的籃子中，則恰有一個籃子為空的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數，找出恰有一個籃子為空的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．【詳解】解：三個不同的籃子分別用A、B、C表示，根據題意畫圖如下：共有9種等可能的情況數，其中恰有一個籃子為空的有6種，則恰有一個籃子為空的概率為．故選：A．例9、現有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同，從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【提示】列表得出所有等可能結果，從中找到兩個球顏色相同的結果數，利用概率公式計算可得．【詳解】解：列表如下：黃紅紅紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）白（黃，白）（紅，白）（紅，白）由表知，共有9種等可能結果，其中摸出的兩個球顏色相同的有4種結果，所以摸出的兩個球顏色相同的概率為．故選：B．【題型】四、判斷游戲公平性例10、小偉和小梅兩位同學玩擲骰子的游戲，兩人各擲一次均勻的骰子，以擲出的點數之差的絕對值判斷輸贏．若所得數值等于，，，則小偉勝：若所得數值等于，，，則小梅勝（1）請利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率（2）判斷上述游戲是否公平．如果公平，請說明理由；如果不公平，請利用上表修改游戲規則，以確保游戲的公平性【答案】（1）P（小偉勝）＝，P（小梅勝）＝；（2）游戲不公平；修改為：兩次擲出的點數之差的絕對值為1，2，則小偉勝；否則小梅勝．【提示】（1）利用列表法表示所有可能出現的結果情況，并求出小偉勝、小梅勝的概率；（2）依據獲勝的概率判斷游戲的公平性，修改規則時，利用差的絕對值的形式，使兩人獲勝的概率相等即可．【詳解】解：（1）用列表法表示所有可能出現的結果如下：表中總共有36種可能的結果，每一種結果出現的可能性相同，“差的絕對值”為0，1，2共有24種，“差的絕對值”為3，4，5的共有12種，∴P（小偉勝）＝＝，P（小梅勝）＝＝，答：小偉勝的概率是，小梅勝的概率是；（2）∵≠，∴游戲不公平；根據表格中“差的絕對值”的不同情況，要使游戲公平，即兩人獲勝的概率相等，于是修改為：兩次擲出的點數之差的絕對值為1，2，則小偉勝；否則小梅勝，這樣小偉、小梅獲勝的概率均為．【題型】五、用頻率估計概率例11、為慶祝建黨99周年，某校八年級（3）班團支部為了讓同學們進一步了解中國科技的發展，給班上同學布置了一項課外作業，從選出的以下五個內容中任選部分內容進行手抄報的制作：、“北斗衛星”：、“時代”；、“智軌快運系統”；、“東風快遞”；、“高鐵”．統計同學們所選內容的頻數，繪制如圖所示的折線統計圖，則選擇“時代”的頻率是（）A．0.25 B．0.3 C．25 D．30【答案】B【提示】先計算出八年級（3）班的全體人數，然后用選擇“5G時代”的人數除以八年級（3）班的全體人數即可．【詳解】由圖知，八年級（3）班的全體人數為：（人）選擇“5G時代”的人數為：30人∴選擇“時代”的頻率是：故選：B．例12、為了解某地區九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區1000名九年級男生的身高數據，統計結果如下．身高人數60260550130根據以上統計結果，隨機抽取該地區一名九年級男生，估計他的身高不低于的概率是（）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87【答案】C【提示】先計算出樣本中身高不低于170cm的頻率，然后根據利用頻率估計概率求解．【詳解】解：樣本中身高不低于170cm的頻率，

所以估計抽查該地區一名九年級男生的身高不低于170cm的概率是0.68．

故選：C．例13、如圖①所示，平整的地面上有一個不規則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為，寬為的長方形，將不規則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區域扔小球，并記錄小球落在不規則圖案上的次數（球扔在界線上或長方形區域外不計實驗結果），他將若干次有效實驗的結果繪制成了②所示的折線統計圖，由此他估計不規則圖案的面積大約為（）A． B． C． D．【答案】B【提示】本題分兩部分求解，首先假設不規則圖案面積為x，根據幾何概率知識求解不規則圖案占長方形的面積大小；繼而根據折線圖用頻率估計概率，綜合以上列方程求解．【詳解】假設不規則圖案面積為x，由已知得：長方形面積為20，根據幾何概率公式小球落在不規則圖案的概率為：，當事件A實驗次數足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發生的概率估計值，故由折線圖可知，小球落在不規則圖案的概率大約為0.35，綜上有：，解得．故選：B．概率（達標訓練）一、單選題1．下列所給的事件中，是必然事件的是（

）A．某校的300名學生中，至少有2名學生的生日是同一天．B．正方形的對角線互相垂直C．某抽獎活動的中獎概率是，那么連續抽10次，必然會中獎．D．2023年的元旦順德會下雪．【答案】B【分析】根據對必然事件的概念，即可求解．【詳解】解：A、某校的300名學生中，至少有2名學生的生日是同一天，是隨機事件，故本選項不符合題意；B、正方形的對角線互相垂直，是必然事件，故本選項符合題意；C、某抽獎活動的中獎概率是，那么連續抽10次，必然會中獎，是隨機事件，故本選項不符合題意；D、2023年的元旦順德會下雪，是隨機事件，故本選項不符合題意；故選：B【點睛】本題考查的是對必然事件的概念的理解，熟練掌握必然事件指在一定條件下一定發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件是解題的關鍵．2．縣氣象站天氣預報稱，明天千島湖鎮的降水概率為，下列理解正確的是（）A．明天千島湖鎮下雨的可能性較大B．明天千島湖鎮有的地方會下雨C．明天千島湖鎮全天有的時間會下雨D．明天千島湖鎮一定會下雨【答案】A【分析】概率是表示事件發生可能性大小的量，據此解得此題即可．【詳解】解：千島湖鎮明天下雨概率是，表示千島湖鎮明天下雨的可能性很大，但不是將有的地方下雨，不是的時間下雨，也不是明天肯定下雨，故選：A．【點睛】此題考查概率，熟練掌握概率的意義是解題的關鍵．3．下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．守株待兔 B．水中撈月 C．水滴石穿 D．百發百中【答案】B【分析】根據必然事件就是一定發生的事件逐項判斷即可．【詳解】解：A、守株待兔是隨機事件，故該選項不符合題意；B、水中撈月是不可能事件，故該選項符合題意；C、水滴石穿是必然事件，故該選項不符合題意；D、百發百中是隨機事件，故該選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定條件下一定發生的事件是解答本題的關鍵．4．如圖，電路圖上有4個開關A、B、C、D和1個小燈泡，同時閉合開關A、B或同時閉合開關C、D都可以使小燈泡發光，下列操作中，“小燈泡發光”這個事件是隨機事件的是（）A．只閉合4個開關 B．只閉合3個開關 C．只閉合2個開關 D．閉合1個開關【答案】C【分析】根據題意分別判斷能否發光，進而判斷屬于什么事件即可．【詳解】解：A、閉合4個開關，小燈泡一定會發光，是必然事件，不符合題意；B、只閉合3個開關，小燈泡一定會發光，是必然事件，不符合題意；C、只閉合2個開關，小燈泡可能發光也可能不發光，是隨機事件，符合題意；D、只閉合1個開關，小燈泡不會發光，屬于不可能事件，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了隨機事件的分類，正確判斷小燈泡能否發光是解題的關鍵．5．袋子中裝有個紅球、個綠球，從袋子中隨機摸出一個球，是綠球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據概率公式直接計算即可求解．【詳解】解：袋子中裝有個紅球、個綠球，從袋子中隨機摸出一個球，是綠球的概率為，故選：B．【點睛】本題考查了根據概率公式求概率，掌握概率公式是解題的關鍵．6．如圖，一個可以自由轉動的轉盤被等分成個扇形區域，并涂上了相應的顏色，轉動轉盤，轉盤停止后，指針指向紅色區域的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先確定在圖中紅色區域的面積在整個面積中占的比例，根據這個比例即可求出指針指向紅色區域的概率．【詳解】解：圓被等分成份，其中紅色部分占份，落在陰影區域的概率．故選：B．【點睛】此題考查幾何概率問題，關鍵是根據概率相應的面積與總面積之比解答．7．某校舉行春季運動會，需要在初一年級選取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有名同學報名參加．現從這名同學中隨機選取一名志愿者，則被選中的這名同學恰好是初一（3）班同學的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據概率公式進行計算即可．【詳解】解：這名同學中隨機選取一名志愿者，共有6種等可能出現的情況，其中被選中的這名同學恰好是初一（3）班同學出現的情況共2種，∴；故選B．【點睛】本題考查概率．熟練掌握概率公式，是解題的關鍵．8．宋代程顥的《秋月》有四句古詩如下：①空水澄鮮一色秋；②白云紅葉兩悠悠；③清溪流過碧山頭；④隔斷紅塵三十里這四句古詩的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩調整為正確位置，則她第一次就調整正確的可能性是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題是排序古詩相當于簡單隨機事件中的“不放回”事件，求出總的可能為24，第一次調整可能占其中一種，第一次就調整正確的可能性大小是．【詳解】解：這首詩四句隨機排列的順序共有24種情況：①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，①④③②，②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，④②③①，④③①②，④③②①因為這24種情況出現的可能性大小相等，正確的順序只有一種④②①③，故第一次就調整正確的可能性大小是．故答案選：C【點睛】本題是考查等可能概型的概率計算公式計算概率，熟練掌握簡單隨機事件概率的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．當出現可能結果多種時，用樹狀圖輔助列出所有可能出現的結果．9．下列事件是隨機事件的是（）A．打開電視，正在播放《中國機長》B．白發三千丈，緣愁似個長C．離離原上草，一歲一枯榮D．鈍角三角形的內角和大于【答案】A【分析】根據隨機事件的意義，事件發生的可能性大小判斷即可得到答案．【詳解】解：A、打開電視，正在播放《中國機長》，是隨機事件，符合題意，選項正確；B、白發三千丈，緣愁似個長，是不可能事件，不符合題意，選項錯誤；C、離離原上草，一歲一枯榮，是必然事件，不符合題意，選項錯誤；D、鈍角三角形的內角和大于，是不可能事件，不符合題意，選項錯誤，故選：A．【點睛】本題考查了隨機事件的意義，正確理解隨機事件的意義是解題關鍵．二、填空題10．某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數20801002004008001000射中九環以上次數186882166330664832射中九環以上的頻率0.900.850.820.830.8250.830.832根據頻率的穩定性，估計這名運動員射擊一次時“中九環以上”的概率約是_______.（精確到0.01）【答案】0.83【分析】根據大量的試驗結果穩定在0.83左右即可得出結論．【詳解】解：∵從頻率的波動情況可以發現頻率穩定在0.83附近，∴這名運動員射擊一次時“射中九環以上”的概率是0.83．故答案為：0.83．【點睛】本題主要考查的是利用頻率估計概率，熟知大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率是解答此題的關鍵．11．如圖，若隨機閉合開關，，中的兩個，則能讓兩燈泡同時發光的概率為______【答案】【分析】首先根據題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果和能讓兩盞燈泡同時發光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：列表如下：（，）（，）（，）（，）（，）（，）由表格可知一共有6種等可能性的結果數，其中能讓兩燈泡同時發光的結果數有2種，∴能讓兩燈泡同時發光的概率為，故答案為：．【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數與總情況數之比．三、解答題12．某校為了解九年級男同學的體育考試準備情況，隨機抽取部分男同學進行了米跑步測試．按照成績分為優秀、良好、合格與不合格四個等級，學校繪制了如圖不完整的統計圖．(1)根據給出的信息，補全兩幅統計圖；(2)該校九年級有名男生，請估計成績達到良好及以上等級的有多少名？(3)某班甲、乙兩位成績優秀的同學被選中參加即將舉行的學校運動會米比賽．預賽分別為三組進行，選手由抽簽確定分組．甲、乙兩人恰好分在同一組的概率是多少？【答案】(1)圖示見詳解(2)名(3)【分析】（1）根據良好的人數與百分比可求出總人數，合格人數，以及合格的百分比，優秀的百分比，由此即可求解；（2）計算出良好及以上的百分比，由此即可求解；（3）用樹狀圖表示出所有可能的結果，再找出甲、乙兩人恰好分在同一組的結果，根據概率計算公式即可求解．【詳解】（1）解：調查的總人數為（人），∴合格等級的人數為（人），∴合格等級人數所占的百分比為，優秀等級人數所占的百分比為，∴統計圖如圖所示，（2）解：（名），∴估計成績達到良好及以上等級的有名．（3）解：畫樹狀圖如下所示，共有種等可能的結果數，其中甲、乙兩人恰好分在同一組的結果數為，∴甲、乙兩人恰好分在同一組的概率為．【點睛】本題主要考查統計圖，概率的計算的綜合，掌握數據的統計中樣本容量，樣本百分比的關系，根據概率估算總體的知識，概率的計算方法是解題的關鍵．13．某學校準備組織學生參加唱歌、舞蹈、書法、朗誦活動，為了解學生的參與情況，該校隨機抽取了部分學生進行“你愿意參加哪一項活動”（必選且只選一種）的問卷調查．根據調查結果繪制了兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息，解答下列問題：(1)本次抽樣調查的總人數為______，扇形統計圖中“舞蹈”對應的圓心角的度數為______．(2)若該校有1400名學生，估計選擇參加“書法”的有多少人？(3)學校準備從推薦的4位同學（兩男兩女）中隨機選取兩人當正式活動的主持人，利用畫樹狀圖法或列表法求選取的兩人恰為一男一女的概率．【答案】(1)200人，(2)人(3)【分析】（1）先求出抽樣調查的總人數，再求出參加“舞蹈”的抽樣學生的人數，即可求解；（2）用總人數乘以參加“書法”的人數所占的百分比，即可求解；（3）根據題意，列出表格，再根據概率公式計算，即可求解．【詳解】（1）解：抽樣調查的總人數為，參加“舞蹈”的抽樣學生有（人），扇形統計圖中“舞蹈”對應的圓心角的度數為．（2）解：選擇參加“書法”的有（人）．（3）解：記兩名男生分別為，兩名女生分別為，列表如下：由列表可得共有12種等可能結果，其中恰好選取一男一女的結果有8種，∴選取的兩人恰為一男一女的概率．【點睛】本題主要考查了條形統計圖和扇形統計圖，利用樹狀圖或列表法求概率，根據題意，準確從統計圖中獲取信息是解題的關鍵．概率（提升測評）一、單選題1．將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區域的概率為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】隨機事件A的概率P（A）＝事件A發生時涉及的圖形面積÷一次試驗涉及的圖形面積，因為這是幾何概率．【詳解】解：設正六邊形邊長為a，過作于，過作于，如圖所示：正六邊形的內角為，在中，，則，，在中，，則，則灰色部分面積為，白色區域面積為，所以正六邊形面積為兩部分面積之和為，飛鏢落在白色區域的概率，故選：A．【點睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握幾何概率模型及簡單概率公式是解決問題的關鍵．2．活動課上，小林、小軍、小強3位同學和其他6位同學一起進行3人制籃球賽，他們將9人隨機抽簽分成三組，則小林、小軍、小強三人恰好分在3個不同組的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意列出樹狀圖得出所有等情況數，符合條件的情況數，再利用概率公式進行計算即可．【詳解】解：記三組分別為A，B，C，畫樹狀圖如下：所以所有的等可能的情況數有27種，符合條件的情況數有6種，所以小林、小軍、小強三人恰好分在3個不同組的概率是故選B【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．3．如圖，點D在的邊上，連接，點P的位置如圖所示，在圖中隨機選擇一個三角形，則點P在選擇的三角形內部的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先找到圖中一共有3個三角形，再找到符合要求的三角形有2個，即可求出概率．【詳解】解：∵圖干圖形中，三角形有、、，則點P在、內部∴P（點P在選擇的三角形內部的概率）=故選：C．【點睛】此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．4．現有3包同一品牌的餅干，其中2包已過期，隨機抽取2包，2包都過期的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，2包都過期的結果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把1包不過期的餅干記為A，2包已過期的餅干記為B、C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結果，兩包都過期的結果有2種，∴兩包都不過期的概率為，故選：D．【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．5．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，若隨意拋出一粒石子在這個圓面上，則石子落在正方形ABCD內概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在這個圓面上隨意拋一粒豆子，落在圓內每一個地方是均等的，因此計算出正方形和圓的面積，利用幾何概率的計算方法解答即可．【詳解】解：∵設正方形的邊長為a，∴⊙O的半徑為，∴S圓＝×（a）2，S正方形＝a2，∴在這個圓面上隨意拋一粒豆子，則豆子落在正方形ABCD內的概率是，故選：C．【點睛】本題主要考查幾何概率的意義：一般地，對于古典概型，如果試驗的基本事件為n，隨機事件A所包含的基本事件數為m，我們就用來描述事件A出現的可能性大小，稱它為事件A的概率，記作P（A），即有P（A）＝．6．孔明給弟弟買了一些糖果，放到一個不透明的袋子里，這些糖果除了口味和外包裝的顏色外其余都相同，袋子里各種口味糖果的數量統計如圖所示，他讓弟弟從袋子里隨機摸出一顆糖果．則弟弟恰好摸到蘋果味糖果的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據條形統計圖得到弟弟摸到的所有可能數和摸到蘋果味糖果的可能數，然后運用概率公式計算即可．【詳解】解：弟弟摸到的所有可能數為3+3+5+4=15，摸到蘋果味糖果的可能數4所以弟弟恰好摸到蘋果味糖果的概率是．故選D．【點睛】本題主要考查了統計與概率中概率的求法，確定弟弟摸到的所有可能數和摸到蘋果味糖果的可能數是解答本題的關鍵．7．在一個不透明的口袋中裝有個紅球和若干個白球，他們除顏色外其他完全相同．通過多次摸球實驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在附近，則口袋中白球可能有（）A．1個 B．1個 C．1個 D．1個【答案】D【分析】由摸到紅球的頻率穩定在附近得出口袋中得到紅色球的概率，進而求出白球個數即可．【詳解】解：設白球個數為：x個，∵摸到紅色球的頻率穩定在25%左右，∴口袋中得到紅色球的概率為25%，∴，解得：，經檢驗x=12是原方程的根，故白球的個數為12個．故選：D．【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率，根據大量反復試驗下頻率穩定值即概率得出是解題關鍵．8．4件外觀相同的產品中只有1件不合格，現從中一次抽取2件進行檢測，抽到的兩件產品中有一件產品合格而另一件產品不合格的概率是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】設合格產品記為，，，不合格產品記為B，然后畫樹狀圖先找出所有等可能性的結果數，找到符合題意的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．【詳解】設三件合格產品記為，，，不合格產品記為B，畫出樹狀圖如下：由上可得，一共有12種等可能性，其中抽到的兩件產品中有一件產品合格而另一件產品不合格的可能性有6種，∴抽到的兩件產品中有一件產品合格而另一件產品不合格的概率為．故選：D．【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算，熟練掌握列表法或樹狀圖法求概率是解題的關鍵．9．如圖，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關，，中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發光的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與能讓兩個