第十八講平行四邊形與多邊形命題點1平行四邊形的判定1．（2022?河北）依據所標數據，下列一定為平行四邊形的是（）A． B． C． D．2．（2022?達州）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，BC邊的中點，點F在DE的延長線上．添加一個條件，使得四邊形ADFC為平行四邊形，則這個條件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF3．（2021?牡丹江）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，請添加一個條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為．4．（2022?河池）如圖，點A，F，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．（1）求證：∠ACB＝∠DFE；（2）連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．5．（2022?內江）如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．6．（2022?大慶）如圖，在四邊形ABDF中，點E，C為對角線BF上的兩點，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．連接AE，CD．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）若AE＝AC，求證：AB＝DB．命題點2平行四邊形性質的相關證明與計算7．（2022?內江）如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點M，則DM的長為（）A．2 B．4 C．6 D．88．（2022?湘潭）在?ABCD中（如圖），連接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BCD＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°9．（2022?無錫）雪花、風車……展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖形的性質．請思考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（）A．扇形 B．平行四邊形 C．等邊三角形 D．矩形10．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點E，F，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長是（）A．8 B．16 C．24 D．3211．（2022?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，則BF的長為（）A．4 B．3 C． D．212．（2022?大慶）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在E處．若∠1＝56°，∠2＝42°，則∠A的度數為（）A．108° B．109° C．110° D．111°13．（2022?梧州）如圖，在?ABCD中，E，G，H，F分別是AB，BC，CD，DA上的點，且BE＝DH，AF＝CG．求證：EF＝HG．命題點3多邊形及其性質類型一多邊形的計算14．（2022?通遼）正多邊形的每個內角為108°，則它的邊數是（）A．4 B．6 C．7 D．515．（2022?大連）六邊形內角和的度數是（）A．180° B．360° C．540° D．720°16．（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數分別為α，β，則正確的是（）A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．無法比較α與β的大小17．（2021?陜西）七邊形一共有條對角線．18．（2022?眉山）一個多邊形外角和是內角和的，則這個多邊形的邊數為．類型二正多邊形的性質及計算19．（2022?甘肅）大自然中有許多小動物都是“小數學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節省材料，多名學者通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm20．（2022?菏澤）如果正n邊形的一個內角與一個外角的比是3：2，則n＝．21．（2022?株洲）如圖所示，已知∠MON＝60°，正五邊形ABCDE的頂點A、B在射線OM上，頂點E在射線ON上，則∠AEO＝度．22．（2022?遂寧）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上．若正方形BMGH的邊長為6，則正六邊形ABCDEF的邊長為．23．（2022?西寧）若正n邊形的一個外角是36°，則n＝．類型三平面鑲嵌24．（2021?銅仁市）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．工人師傅不能用下列哪種形狀、大小完全相同的一種地磚在平整的地面上鑲嵌（）A．等邊三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形25．（2022?資陽）小張同學家要裝修，準備購買兩種邊長相同的正多邊形瓷磚用于鋪滿地面．現已選定正三角形瓷磚，則選的另一種正多邊形瓷磚的邊數可以是．（填一種即可）第十八講平行四邊形與多邊形命題點1平行四邊形的判定1．（2022?河北）依據所標數據，下列一定為平行四邊形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、80°+110°≠180°，故A選項不符合條件；B、只有一組對邊平行不能確定是平行四邊形，故B選項不符合題意；C、不能判斷出任何一組對邊是平行的，故C選項不符合題意；D、有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D選項符合題意；故選：D2．（2022?達州）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，BC邊的中點，點F在DE的延長線上．添加一個條件，使得四邊形ADFC為平行四邊形，則這個條件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【答案】B【解答】解：∵D，E分別是AB，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，DE＝AC，A、當∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項不符合題意；B、∵DE＝EF，∴DE＝DF，∴AC＝DF，∵AC∥DF，∴四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項符合題意；C、根據AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項不符合題意；D、∵AD＝CF，AD＝BD，∴BD＝CF，由BD＝CF，∠BED＝∠CEF，BE＝CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項不符合題意；故選：B．3．（2021?牡丹江）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，請添加一個條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為．【答案】AB∥DC（答案不唯一）【解答】解：添加條件為：AB∥DC，理由如下：∵AB＝DC，AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，故答案為：AB∥DC（答案不唯一）．4．（2022?河池）如圖，點A，F，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．（1）求證：∠ACB＝∠DFE；（2）連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．【解答】（1）證明：∵AF＝CD，∴AF+CF＝CD+CF，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ACB＝∠DFE；（2）解：如圖，四邊形BFEC是平行四邊形，理由如下：由（1）可知，∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF，又∵BC＝EF，∴四邊形BFEC是平行四邊形．5．（2022?內江）如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．求證：（1）△ABE≌△CDF；（2）四邊形AECF是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．6．（2022?大慶）如圖，在四邊形ABDF中，點E，C為對角線BF上的兩點，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．連接AE，CD．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）若AE＝AC，求證：AB＝DB．【解答】證明：（1）∵EB＝CF，∴EB+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，∵AB＝DF，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∴四邊形ABDF是平行四邊形；（2）連接AD交BF于點O，∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴OB＝OF，∵BE＝CF，∴OB﹣BE＝OF﹣CF，∴OE＝OC，∵AE＝AC，∴AO⊥EC，∴四邊形ABDF是菱形，∴AB＝BD．命題點2平行四邊形性質的相關證明與計算7．（2022?內江）如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點M，則DM的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分線，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故選：B．8．（2022?湘潭）在?ABCD中（如圖），連接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BCD＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAC＝40°，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝40°，∵∠ACB＝80°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，故選：C．9．（2022?無錫）雪花、風車……展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖形的性質．請思考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（）A．扇形 B．平行四邊形 C．等邊三角形 D．矩形【答案】B【解答】解：A．扇形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．平行四邊形不一定是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C．等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：B．10．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點E，F，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長是（）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】B【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，∴EB＝EF，FG＝GC，∵四邊形AEFG的周長＝AE+EF+FG+AG，∴四邊形AEFG的周長＝AE+EB+GC+AG＝AB+AC，∵AB＝AC＝8，∴四邊形AEFG的周長＝AB+AC＝8+8＝16，故選：B．11．（2022?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，則BF的長為（）A．4 B．3 C． D．2【答案】B【解答】解：在平行四邊形ABCD中，S△ABC＝S平行四邊形ABCD，∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴，∵AB＝6，AC＝8，DE＝4，∴8BF＝6×4，解得BF＝3，故選：B．12．（2022?大慶）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在E處．若∠1＝56°，∠2＝42°，則∠A的度數為（）A．108° B．109° C．110° D．111°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，由折疊的性質得：∠EBD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，∵∠1＝∠CDB+∠EBD＝56°，∴∠ABD＝∠CDB＝28°，∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ABD＝180°﹣42°﹣28°＝110°，故選：C．13．（2022?梧州）如圖，在?ABCD中，E，G，H，F分別是AB，BC，CD，DA上的點，且BE＝DH，AF＝CG．求證：EF＝HG．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，∵BE＝DH，∴AB﹣BE＝CD﹣DH，即AE＝CH，在△AEF和△CHG中，，∴△AEF≌△CHG（SAS），∴EF＝HG．命題點3多邊形及其性質類型一多邊形的計算14．（2022?通遼）正多邊形的每個內角為108°，則它的邊數是（）A．4 B．6 C．7 D．5【答案】D【解答】解：方法一：∵正多邊形的每個內角等于108°，∴每一個外角的度數為180°﹣108°＝72°，∴邊數＝360°÷72°＝5，方法二：設多邊形的邊數為n，由題意得，（n﹣2）?180°＝108°?n，解得n＝5，所以，這個多邊形的邊數為5．故選：D．15．（2022?大連）六邊形內角和的度數是（）A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】D【解答】解：六邊形的內角和的度數是（6﹣2）×180°＝720°．故選：D．16．（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數分別為α，β，則正確的是（）A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．無法比較α與β的大小【答案】A【解答】解：∵任意多邊形的外角和為360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．故選：A．17．（2021?陜西）七邊形一共有條對角線．【答案】14【解答】解：七邊形的對角線總共有：＝14條．故答案為：14．18．（2022?眉山）一個多邊形外角和是內角和的，則這個多邊形的邊數為．【答案】11【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，根據題意可得：，解得：n＝11，故答案為：11．類型二正多邊形的性質及計算19．（2022?甘肅）大自然中有許多小動物都是“小數學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節省材料，多名學者通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm【答案】D【解答】解：連接BE，CF，BE、CF交于點O，如右圖所示，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AD的長約為8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD約為4mm，∴AF約為4mm，故選：D．20．（2022?菏澤）如果正n邊形的一個內角與一個外角的比是3：2，則n＝．【答案】5【解答】解：設外角為2x，則其內角為3x，則2x+3x＝180°，解得：x＝36°，∴外角為2x＝72°，∵正n邊形外角和為360°，∴n＝360°÷72°＝5，故答案為：5．21．（2022?株洲）如圖所示，已知∠MON＝60°，正五邊形ABCDE的頂點A、B在射線OM上，頂點E在射線ON上，則∠AEO＝度．【答案】48【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，故答案為：48．22．（2022?遂寧）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上．若正方形BMGH的邊長為6，則正六邊形ABCDEF的邊長為．【答案】4【解答】解：設AF＝x，則AB＝x，AH＝6﹣x，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∵∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六邊形ABCDEF的邊長為4，故答案為：4．2