PAGE21-四川省成都市蓉城名校聯盟2025屆高三數學上學期第一次聯考試題文（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得兩個集合的并集.【詳解】由，解得.由解得.所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查集合并集的概念和運算，考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，屬于基礎題.2.已知復數，則對應的點在復平面內位于（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復數除法運算化簡，由此求得對應點所在象限.【詳解】依題意，對應點為，在第一象限.故選：A.【點睛】本小題主要考查復數除法運算，考查復數對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依據全稱命題的否定是特稱命題的學問，寫出原命題的否定.【詳解】原命題是全稱命題，故其否定是特稱命題，留意到條件不否定、結論要否定，故D選項符合.故選：D.【點睛】本小題主要考查全稱命題與特稱命題，考查全稱命題的否定，屬于基礎題.4.下列函數中，任取函數定義域內，滿意，且在定義域內單調遞減的函數是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對四個選項逐一分析，結合以及函數定義域內單調遞減確定正確選項.【詳解】對于A選項，由于函數的定義域為，所以在定義域內不是單調遞減函數，不符合題意.正確的說法是在和上遞減.對于B選項，.的定義域為，且函數定義域內單調遞減，符合題意.對于C選項，，不符合題意.對于D選項，，不符合題意.綜上所述，B選項符合題意.故選：B.【點睛】本小題主要考查指數運算和對數運算，考查指數函數、對數函數和冪函數的單調性，屬于基礎題.5.函數的一條對稱軸是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用降次公式和協助角公式化簡函數解析式，再依據正弦型函數的對稱軸的求法，求得函數的對稱軸，從而得出正確選項.【詳解】依題意，，由解得為函數的對稱軸，令求得函數的一條對稱軸為.故選：A.【點睛】本小題主要考查三角函數降次公式和協助角公式，考查正弦型三角函數的對稱軸的求法，屬于基礎題.6.若數列各項不相等的等差數列，，且，，成等比數列，則（）A.18 B.28C.44 D.49【答案】B【解析】【分析】依據等比中項列方程，將方程轉換為只含的表達式后求得，由此求得的值.【詳解】由于，，成等比數列，所以，所以，即，依題意“數列各項不相等等差數列”，所以，故由得，而，所以.所以.故選：B.【點睛】本小題主要考查等比中項的性質，考查等差數列通項的基本量的計算，考查等差數列前項和的求法，屬于基礎題.7.在平面四邊形中，已知，，，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用含有角的直角三角形的性質求得，在三角形中用余弦定理求得.【詳解】由于直角三角形中，所以，所以，因為，所以.在三角形中，由余弦定理得.故選：A.【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查特別的直角三角形的性質，屬于基礎題.8.已知函數是定義在R上的偶函數，若函數滿意，，且，.若，，，則，，三者的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據題意推斷出函數的單調性，結合偶函數的性質比較出的大小關系.【詳解】由于函數滿意，，且，，所以函數在上為單調遞減函數.而函數為偶函數，故，.而，所以.故選：A.【點睛】本小題主要考查函數的單調性，考查函數的奇偶性，考查利用函數的性質比較大小，考查對數運算，屬于基礎題.9.函數在區間上的圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數的奇偶性和函數圖像上的特別點對選項進行解除，由此得出正確選項.【詳解】令（），，所以函數為奇函數，圖像關于原點對稱，由此解除A,D兩個選項.當時，，而為其次象限角，所以，而，所以，由此解除C選項.故B選項符合.故選：B.【點睛】本小題主要考查依據函數的奇偶性和函數圖像上的特別點，推斷函數的圖像，屬于基礎題.10.若函數在區間上有2個極值點，則的取值范圍為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數求得函數的單調區間，結合函數在區間上有個極值點列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】.明顯，當時，只有個極值點，不符合題意.只有C選項符合.構造函數.依題意在區間上有兩個不同的零點，故，即，解得.故選：C.【點睛】本小題主要考查利用導數探討函數的極值點，考查二次函數零點分布問題的求解，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.11.已知的內角，，所對的邊分別為，，，且,若，則的周長的最大值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化簡已知條件，將周長轉化為角的形式，利用三角恒等變換進行化簡，結合三角函數最值的求法，求得周長的最大值.【詳解】由正弦定理得，，所以，因為，所以，由正弦定理求得.所以，由于，故當時，周長取得最大值為.故選：C.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形內角和定理，考查協助角公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.12.己知函數，若，且，則的取值范圍為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將分成，，三種狀況，結合，利用導數和基本不等式求得的取值范圍.【詳解】不妨設.當時，，不合題意.當，，由得（時，不符合，故），所以，構造函數，，故當時，遞減，當時，，遞增，故，故.當時，，由得，所以.綜上所述，的取值范圍是.故選：A.【點睛】本小題主要考查方程與不等式，考查利用導數求取值范圍，考查基本不等式的運用，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.二、填空題：13.“”是“”的______條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）.【答案】充分不必要【解析】【分析】求得兩個一元一次不等式的解集，依據兩者的包含關系填寫出正確結論.【詳解】不等式的解集為，不等式的解集為，由于，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的推斷，考查一元一次不等式的解法，屬于基礎題.14.若非零向量，滿意，，，則______.【答案】【解析】【分析】將兩邊平方，利用向量數量積的運算進行化簡，由此求得.【詳解】將兩邊平方得，即，，，解得.故答案為：.【點睛】本小題主要考查平面對量模的運算，考查平面對量數量積運算，屬于基礎題.15.已知為數列的前項和，且，，，則______【答案】1023【解析】【分析】將轉化為，由此證得是等比數列，由此求得，進而求得.【詳解】由得，即，故數列是首項為，公比為的等比數列，故，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查數列遞推關系式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.16.已知函數，且不等式在上恒成立，則實數的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】將原不等式轉化為.對分成兩種狀況進行分類探討，結合導數求得實數的取值范圍.【詳解】不等式即，化簡為①.依據的圖像可知，當時，，.故當時，①式明顯成立.當時，由①得在上恒成立.構造函數（為便利解題，先令函數定義域包括.），留意到.，，，，，故在上單調遞增.要使①在上恒成立，則需，即.綜上所述，實數的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本小題主要考查利用導數求得不等式恒成立問題，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查數形結合的數學思想方法，考查分類探討的數學思想方法，屬于中檔題.三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據要求作答。17.的內角，，的對邊分別為，，,已知，，.（1）求角的大小:（2）求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先依據求得，利用正弦定理求得，依據三角形大角對大邊，求得角的大小.（2）求得的值，利用三角形內角和定理以及兩角和的正弦公式求得的值，再由三角形面積公式求得三角形的面積.【詳解】（1）∵是的內角∴且又，，∴又，∴，∴（2）由（1）得，∴∴【點睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查同角三角函數的基本關系式，考查三角形內角和定理以及三角形面積公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.18.如圖，在長方形中，，，點是的中點.將沿折起，使平面平面，連結、、.（1）求證：平面平面；（2）點是線段的中點，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理證得，由此依據面面垂直的性質定理，證得平面，從而證得平面平面.（2）將所求三棱錐的體積，通過等體積法，轉化為.作的中點，連接，依據等腰三角形的性質結合面面垂直的性質定理，證得平面，由此求得，進而求得三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：∵，∴，又∴∴又平面平面，平面平面∴平面又平面∴平面平面.（2）∵是線段的中點∴作的中點，連接，∵∴又平面平面∴平面又，∴∴.【點睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質定理，考查錐體體積計算，考查空間想象實力和邏輯推理實力，屬于中檔題.19.某社會機構為了調查對手機嬉戲的愛好與年齡的關系，通過問卷調查，整理數據得如下列聯表：（1）依據列聯表，能否有99.9%的把握認為對手機嬉戲的愛好程度與年齡有關?（2）若已經從40歲以下的被調查者中用分層抽樣的方式抽取了5名，現從這5名被調查者中隨機選取3名，求這3名被調查者中恰有1名對手機嬉戲無愛好的概率.附：參考數據：【答案】（1）沒有的把握認為手機嬉戲的愛好程度與年齡有關；（2）【解析】【分析】（1）計算出，依據參考數據推斷出沒有的把握認為手機嬉戲的愛好程度與年齡有關.（2）利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，求得所求概率.【詳解】（1）∴沒有99.9%把握認為手機嬉戲的愛好程度與年齡有關.（2）由題得40歲以下的被調查者中用分層抽樣的方式抽取的5名人員中有3名對手機嬉戲很有愛好，設為、、；有2名對手機嬉戲無愛好，設為、，從、、、，中隨機選取3名的基本領件有、、、、、、、、、共10個.其中，恰有1個的有、、、、、共6個∴這3名被調查者中恰有1名對手機嬉戲無愛好的概率為.【點睛】本小題主要考查列聯表獨立性檢驗，考查古典概型概率計算，考查運算求解實力，屬于基礎題.20.已知定點，定直線的方程為，點是上的動點，過點與直線垂直的直線與線段的中垂線相交于點，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程:（2）點，點，過點作直線與曲線相交于、兩點，求證：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）依據垂直平分線的性質以及拋物線的定義，求得曲線的軌跡方程.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和拋物線方程，消去，寫出韋達定理，通過計算，證得，從而證得.【詳解】（1）由題知，∴點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，∴曲線的方程為.（2）設直線的方程為，，，由得，，，又，，∴∴∴【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關系，考查根與系數關系的運用，考查運算求解實力，屬于中檔題.21.已知函數，.（1）求函數的單調區間；（2）探討函數的零點的個數.【答案】（1）在上是減函數，在上是增函數；（2）見解析【解析】【分析】（1）先求得函數的定義域，然后利用導數求得函數的單調區間.（2）先由得，推斷且后分別常數得到，構造函數（且），利用導數探討函數的單調區間，畫出的大致圖像，結合圖像探討得函數的零點的個數.【詳解】（1）的定義域為∵在上是增函數，且∴是，時∴在上是減函數，在上是增函數（2）由得不是該方程的解∴且∴令（且）則令則在上是增函數又∴時時，∴在，是減函數，在上是增函數，又，時，時，時，時，∴的大致圖象如圖所示∴時有一個零點，時無零點，時有一個零點，時有兩個零點，綜上：時有兩個零點，或時有一個零點，時無零點，【點睛】本小題主要考查利用導數探討函數的單調區間，考查利用導數探討函數零點，考查分類探討的數學思想方法，考查數形結合的數學思想方法，綜合性很強，屬于難題.22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為(為參數)，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求的一般方程和的直角坐標方程;(2)若點、分別是與上動點，求的最小值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用消去參數，求得的一般方程，結合兩角和的余弦公式化簡，求得的直角坐標方程.（2）依據曲線的參數方程，得到點的坐標，依據點到直線距離公式，結合協助角公式以及三角函數的性質，求得的最小值.【詳解】（1）由，求得的一般方程為.由化簡得，所以的直角坐標方程為.（2）依題意可知，由點到直線的距離公式得：∴的最小值為【點睛】本小題主要考查參數方程化為一般方程，考查極坐標方程化為直角坐標