PAGE1-第6章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.冪函數y=f(x)的圖象過點(4,2),則冪函數y=f(x)的圖象是()答案C解析設冪函數的解析式為y=xα,因為冪函數y=f(x)的圖象過點(4,2),所以2=4α,解得α=.所以y=,其定義域為[0,+∞),且是增函數,當0<x<1時,其圖象在直線y=x的上方,故選C.2.(2024全國甲,文4)下列函數中是增函數的為()A.f(x)=-x B.f(x)=C.f(x)=x2 D.f(x)=答案D解析借助函數的圖形可知,對于A,函數是減函數,不合題意;對于B,依據指數函數的性質可知函數是減函數,不合題意;對于C,函數在定義域內沒有單調性,不合題意;對于D,依據冪函數的性質可知,函數在其定義域內為增函數,符合題意.故選D.3.函數f(x)=x3+x的圖象關于()A.y軸對稱 B.直線y=-x對稱C.坐標原點對稱 D.直線y=x對稱答案C解析∵f(x)=x3+x是奇函數,∴圖象關于坐標原點對稱.4.設a=log3π,b=log2,c=log3,則a,b,c的大小關系是()A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a答案C解析∵log3<log2<log2,∴c<b.又log2<log22=log33<log3π,∴b<a,∴c<b<a,故選C.5.(2024江蘇揚州中學月考)函數y=|lg(x+1)|的圖象是()答案A解析將y=lgx的圖象向左平移一個單位長度,然后把位于x軸下方的部分沿x軸翻折到上方,就得到y=|lg(x+1)|的圖象.6.函數y=的值域是()A.R B.(0,+∞) C.(2,+∞) D.答案D解析∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,∴,∴函數y=的值域是,故選D.7.函數f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上是減函數,則a的取值范圍是()A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.(3,+∞)答案B解析∵a>0且a≠1,∴u=6-ax是減函數.∵f(x)在[0,2]上是減函數,∴y=logau是增函數,∴a>1.又在[0,2]上需滿意u=6-ax>0,∴u(2)=6-2a>0,∴a<3.綜上,1<a<3.故選B.8.若函數f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在區間上恒有f(x)>0,則函數f(x)的增區間為()A. B. C.(0,+∞) D.答案D解析∵x∈,∴u(x)=2x2+x=2∈(0,1),依題意,當u∈(0,1)時,logau>0恒成立,∴0<a<1,∴y=logau在u∈(0,1)上是減函數,∴f(x)的增區間應為u(x)=2x2+x的減區間,且保證u(x)>0.故選D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.下列函數是指數函數的有()A.y=πx B.y=2·3x C.y=(a-1)x D.y=e-x答案AD解析由指數函數的定義可得AD對,B系數不對,C中a-1的取值不確定.10.若a>b,則下列大小關系錯誤的是()A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b|答案ABD解析取a=2,b=1,滿意a>b,但ln(a-b)=0,故A錯;由9=32>31=3,故B錯;取a=1,b=-2,滿意a>b,但|1|<|-2|,故D錯;因為冪函數y=x3是增函數,a>b,所以a3>b3,即a3-b3>0,C正確.11.已知函數y=的圖象與函數y=logax(a>0,a≠1)的圖象交于點P(x0,y0),若x0≥2,那么a的取值可以是()A.4 B.8 C.16 D.32答案CD解析由已知中兩函數的圖象交于點P(x0,y0),由指數函數的性質可知,若x0≥2,則0<y0≤,即0<logax0≤,由于x0≥2,所以a>1且≥x0≥2,解得a≥16.12.(2024山東棗莊調研)設a>0,且a≠1,函數y=+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,則實數a的值可以為()A.2 B. C.3 D.答案CD解析令t=ax(a>0,a≠1),則原函數化為y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①當0<a<1,x∈[-1,1]時,t=ax∈,此時f(t)在上為增函數.所以f(t)max=f-2=14.所以=16,解得a=-(舍去)或a=.②當a>1時,x∈[-1,1],t=ax∈,此時f(t)在上是增函數.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).綜上得a=或3.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知冪函數f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),則實數a的取值范圍是.

答案(3,5)解析因為f(x)=(x>0),易知x∈(0,+∞)時為減函數,又f(a+1)<f(10-2a),所以解得3<a<5.所以a的取值范圍為(3,5).14.(2024新高考Ⅰ,13)已知函數f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數,則a=.

答案1解析∵函數f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數,∴f(x)=f(-x),即x3(a·2x-2-x)=(-x)3[a·2-x-2-(-x)].整理得,a·2x-2-x=-(a·2-x-2x),即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.15.(2024湖北宜昌調研)如圖,過原點O的直線與函數y=2x的圖象交于A,B兩點,過點B作y軸的垂線交函數y=4x的圖象于點C,若AC平行于y軸,則點A的坐標為.

答案(1,2)解析設A(n,2n),B(m,2m),則C,因為AC平行于y軸,所以n=,所以A,B(m,2m).又因為A,B,O三點共線,所以kOA=kOB,所以,即n=m-1,又由n=,解得n=1,所以點A的坐標為(1,2).16.若函數f(x)=e|x-a|(a為常數),則函數的最小值為,若f(x)在區間[1,+∞)上是增函數,則a的取值范圍是.

答案1(-∞,1]解析∵f(x)=e|x-a|=在[a,+∞)上是增函數,在(-∞,a)上是減函數,∴函數的最小值為f(a)=1.又f(x)在區間[1,+∞)上是增函數,∴[1,+∞)?[a,+∞),∴a≤1,即a的取值范圍為(-∞,1].四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知冪函數y=(m∈Z)的圖象與x軸,y軸都無公共點,且關于y軸對稱,求m的值,并畫出函數的圖象.解由條件得m2-2m-3≤0,∴-1≤m≤3(m∈Z).又關于y軸對稱,∴m2-2m-3為偶數.故m=-1或1或3.當m=1時,冪函數為y=x-4,其圖象如圖1所示.當m=-1或m=3時,冪函數為y=x0,其圖象如圖2所示.18.(12分)已知函數f(x)=(x≥0)的圖象經過點(2,0.5),其中a>0且a≠1.(1)求a的值;(2)求函數f(x)=ax-1(x≥0)的值域.解(1)依題意f(2)=0.5,即a=0.5=.(2)f(x)=(x≥0),∵x≥0,∴x-1≥-1,∴0<=2,即值域為(0,2].19.(12分)已知函數f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).(1)若f(x)為偶函數,求b的值;(2)若f(x)在區間[2,+∞)上是增函數,試求a,b應滿意的條件.解(1)因為f(x)為偶函數,所以對隨意的x∈R,都有f(-x)=f(x),即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.(2)記h(x)=|x+b|=①當a>1時,f(x)在區間[2,+∞)上是增函數,即h(x)在區間[2,+∞)上是增函數,所以-b≤2,b≥-2.②當0<a<1時,f(x)在區間[2,+∞)上是增函數,即h(x)在區間[2,+∞)上是減函數,但h(x)在區間[-b,+∞)上是增函數,故不存在a,b的值,使f(x)在區間[2,+∞)上是增函數.所以f(x)在區間[2,+∞)上是增函數時,a,b應滿意的條件為a>1且b≥-2.20.(12分)(2024江蘇如皋中學調研)若函數f(x)滿意f(logax)=(其中a>0,且a≠1).(1)求函數f(x)的解析式,并推斷其奇偶性和單調性;(2)當x∈(-∞,2)時,f(x)-4的值恒為負數,求a的取值范圍.解(1)設logax=t,則x=at,且t∈R,則f(t)=(t∈R),∴f(x)=·(ax-a-x)(x∈R).∵f(-x)=·(a-x-ax)=-·(ax-a-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數.①當a>1時,y=ax是增函數,y=-a-x也是增函數,且>0,∴f(x)是增函數;②當0<a<1時,y=ax是減函數,y=-a-x也是減函數,且<0,∴f(x)是增函數.綜上可知,f(x)是R上的增函數.(2)令g(x)=f(x)-4,由(1)知,g(x)也是R上的增函數.依題意g(x)<0在x∈(-∞,2)上恒成立,故只需g(2)≤0,即f(2)-4=·(a2-a-2)-4≤0,整理得a2-4a+1≤0,解得2-≤a≤2+,又a≠1,∴a的取值范圍為[2-,1)∪(1,2+].21.(12分)已知函數f(x)=lg.(1)若f(x)為奇函數,求a的值;(2)若f(x)在(-1,5]內有意義,求a的取值范圍;(3)在(1)的條件下,若f(x)在區間(m,n)上的值域為(-1,+∞),求區間(m,n).解(1)∵f(x)為奇函數,∴f(x)+f(-x)=0,∴lg+lg=0,∴=1,∴a=1(a=-1舍去),此時f(x)的定義域為(-1,1),關于原點對稱.(2)∵f(x)在(-1,5]內有意義,且f(x)的定義域為(-1,a),∴(-1,5]?(-1,a),∴a>5,即a的取值范圍是(5,+∞).(3)由(1)知,f(x)=lg,定義域為(-1,1),當x∈(-1,1)時,t==-1+為減函數,∴f(x)=lg在定義域內是減函數,∵f(x)在區間(m,n)上的值域是(-1,+∞),∴f(n)=lg=-1,m=-1,∴n=,即所求區間(m,n)為.22.(12分)已知函數f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)當x∈[1,4]時,求函數h(x)=[f(x)+1]g(x)的值域;(2)假如對隨意的x∈[1,4],不等式f(x2)f()>kg(x)恒成立,求實數k的取值范圍.解(1)h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(log2x-1)2+2,因為x∈[1,4],所以log