全章總結提升第五章計數原理北師大版

數學

選擇性必修第一冊知識網絡·整合構建專題突破·素養提升目錄索引

易錯易混·銜接高考知識網絡·整合構建專題突破·素養提升專題一數學思想方法在求解計數問題中的應用基本計數原理是本章所有問題的基礎,在應用時往往需要先將問題情境合理的建模,然后通過轉化化歸合理選擇分步乘法計數原理或分類加法計數原理,主要考查了數學建模和邏輯推理的核心素養.【例1】

(1)已知在10件產品中,有7件合格品,3件次品,若從中任意抽取5件產品進行檢查,則抽取的5件產品中恰好有2件次品的抽法種數是(

)A.35 B.38 C.105 D.630C(2)車間有11名工人,其中5名男工是鉗工,4名女工是車工,另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工,現在要在這11名工人里選派4名鉗工,4名車工修理一臺機床,則有多少種選派方法?規律方法

利用兩個計數原理解題,搞清兩個原理的含義及區別,解題時,通過數學邏輯推理,知道是利用哪個原理去解題,關鍵是分類還是分步,進而通過數學運算正確地求解.變式訓練1(1)[2024遼寧沈陽月考]如圖所示是一段灌溉用的水渠,上游和下游之間建有A,B,C,D,E五個水閘,若上游有充足水源但下游沒有水,則這五個水閘打開或關閉的情況有(

)A.7種

B.15種C.23種

D.26種C解析

每個水閘有打開或關閉兩種情況,五個水閘的打開或關閉不同結果有25種,水閘A打開,水閘B,C至少打開一個,水閘D,E至少打開一個,下游有水,水閘B,C至少打開一個有(22-1)種,水閘D,E至少打開一個有(22-1)種,由分步乘法計數原理得下游有水的不同結果有1×(22-1)×(22-1)=9(種),所以滿足題意的情況有25-9=23(種).(2)由甲、乙、丙、丁4名學生參加數學、寫作、英語三科競賽,每科至少1人(且每人僅報一科),若學生甲、乙不能同時參加同一競賽,則不同的參賽方案共有

種.

30專題二排列與組合的綜合應用對于排列組合的綜合應用問題,一般要對特殊元素(位置)進行討論,力求做到“不重不漏”,直接法與間接法相結合,當問題比較復雜時也可通過列舉來探究規律,考查的數學核心素養為數學建模和邏輯推理.【例2】

在高三一班元旦晚會上,有6個演唱節目,4個舞蹈節目.(1)當4個舞蹈節目要排在一起時,有多少種不同的節目安排順序?(2)當要求每2個舞蹈節目之間至少安排1個演唱節目時,有多少種不同的節目安排順序?(3)若已定好節目單,后來情況有變,需加上詩朗誦和快板2個節目,但不能改變原來節目的相對順序,有多少種不同的節目演出順序?規律方法

排列與組合的綜合問題,首先要分清何時為排列,何時為組合.對含有特殊元素的排列、組合問題,一般先選再排.對特殊元素的位置有要求時,在組合選取時,就要進行分類討論,分類的原則是不重、不漏.在用間接法計數時,要注意考慮全面,排除干凈.變式訓練2[2024山東菏澤月考]為慶祝黨的二十大勝利閉幕,某校高二級部組織全體同學進行了主題為“二十大精神進校園,培根鑄魂育新人”的二十大知識競賽,并選出了4名女生和3名男生共7名優勝者.賽后,7名同學站成一排,照相留念.(1)女生必須站在一起的站隊方式有多少種?(2)男生甲不與其他男生相鄰的站隊方式有多少種?(3)現在要求這7名同學分成三個宣講小組分別去給高一、高二、高三三個年級的同學做二十大學習成果匯報,要求每個小組必須既有男生又有女生,問有多少種安排方案?專題三二項式定理及其應用對于二項式定理的考查,一般考查求系數問題、展開式中特定項的求法和二項式系數的性質,體現的數學核心素養為數學運算.角度1.二項展開式的“賦值”問題【例3】

設(1+x+x2)n=a0+a1x+…+a2nx2n,則a2+a4+…+a2n的值為(

)C解析

令x=0,得a0=1;①令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2n=1;②令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+a2n=3n,③②+③得2(a0+a2+…+a2n)=3n+1,規律方法

求展開式中二項式系數最大的項、各項的二項式系數或系數的和、奇數項或者偶數項的二項式系數或系數的和以及各項系數的絕對值的和,主要方法是賦值法,通過觀察展開式右邊的結構特點和所求式子的關系,確定給字母所賦的值,有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項,此時要專門求出這一項,而在求奇數項或者偶數項的二項式系數或系數的和時,往往要兩次賦值,再聯立方程組求出結果.變式訓練3(多選題)若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,則(

)A.a2=180B.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=-310AD角度2.二項展開式的特定項問題

求:(1)n的值;(2)展開式中系數最大的項.規律方法

1.確定二項展開式中的常數項:先寫出其二項式通項,令未知數的指數為零,從而確定項數,然后代入二項式通項,即可確定常數項.2.求二項展開式中條件項的系數:先寫出其二項式通項,再由條件確定項數,然后代入二項式通項求出此項的系數.變式訓練4(多選題)[2024陜西西安期末]關于(-2x)7的二項展開式,下列說法正確的是(

)A.二項式系數和為128B.各項系數和為-7C.含x-1項的系數為-280D.第三項和第四項的系數相等AC易錯易混·銜接高考123451.[2024湖南長沙月考]若(2x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,則a1+2a2+…+10a10=(

)A.310

B.310-1C.20×39 D.10×39C解析

(2x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,對原式兩邊求導可得20(2x-1)9=a1+2a2(x-1)+…+10a10(x-1)9,令x=2,則20×39=a1+2a2+…+10a10.故選C.123452.[2024江西贛州月考]將編號為1至7的7個小球放入編號為1至7的7個盒子中,每個盒子中放1個小球,則恰好有3個小球與盒子的編號相同的放法有(

)A.315種 B.210種C.135種 D.105種A解析

先確定3個與盒子編號相同的小球,共有

種選法,假設1,2,3,4號小球與盒子的編號不同,5,6,7號小球與盒子的編號相同,則1,2,3,4號盒子的放法有2,1,4,3;2,3,4,1;2,4,1,3;3,1,4,2;3,4,1,2;3,4,2,1;4,1,2,3;4,3,1,2;4,3,2,1,共9種,故共有×9=315(種)放法.故選A.123453.(多選題)已知a∈{2,3,4},b∈{4,6,7},則方程

可表示不同的橢圓的個數用式子表示為(

)A.3×3-1 B.3×3C.3+3+3 D.3+3+2AD123454.[2024