2.2.1直線的點斜式方程明確學習目標課標要求1.了解由斜率公式推導直線方程的點斜式的過程.2.掌握直線的點斜式方程與斜截式方程.3.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關的問題．重點難點1掌握直線的點斜式方程與斜截式方程；2.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關的問題。知曉結構體系

1夯實必備知識知識點1直線的點斜式方程直線的點斜式方程的概念我們把方程y－y0＝k(x－x0)稱為過點P0(x0，y0)，斜率為k的直線l的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直線上一個定點(x0，y0)及該直線的斜率k確定，我們把它叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式，如圖所示．理解(1)點斜式應用的前提是直線的斜率存在，若斜率不存在，則不能應用此種形式．(2)當直線與x軸平行或重合時，方程可簡寫為y＝y(tǒng)0.特別地，x軸的方程是y＝0.(3)當直線與y軸平行或重合時，不能應用點斜式方程．此時可將方程寫成x＝x0.特別地，y軸的方程是x＝0.3.兩種特殊的直線：傾斜角圖象特征斜率直線方程0°，即，即90°無意義，即不存在，即求直線的點斜式方程的步驟(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．

知識點2直線的斜截式方程1．截距：直線l與y軸的交點(0，b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距．2．直線斜截式方程的概念方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，我們把方程y＝kx＋b叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式，如圖所示．3.理解(1)直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況，只能在直線斜率存在的前提下使用；由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在y軸上的截距．(2)截距是一個實數，它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標，可以為正數、負數和0.當直線過原點時，它在x軸上的截距和在y軸上的截距都為0.4.斜截式的幾種特例表示過原點的直線，表示與軸平行的直線，表示軸求直線的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的應用前提是直線的斜率存在．(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數，因此要確定直線方程只需兩個獨立條件即可．6.根據直線的斜截式方程判斷兩直線平行與垂直反思感悟若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2?k1k2＝－1.2提升學科能力題型一點斜式方程例1．經過點，且傾斜角為的點斜式直線方程為.【答案】【分析】求出直線斜率，根據直線的點斜式方程即可得答案.【詳解】傾斜角為的直線的斜率為，又該直線經過點，所以其點斜式方程為故答案為：跟蹤訓練11．已知，，則過的中點且傾斜角為，直線的點斜式方程是．【答案】【分析】求出中點坐標和斜率后，根據點斜式可得結果.【詳解】設的中點為，則，又斜率，所以直線的點斜式方程為．故答案為：2．已知過定點的直線m的一個方向向量是，則直線m的點斜式方程為.【答案】【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，再根據點斜式方程即可求解.【詳解】因為直線的一個方向向量，所以直線的斜率為，又因為直線過點，所以直線的點斜式方程為.故答案為：3．寫出滿足下列條件的直線的點斜式方程：(1)經過點，斜率為3；(2)經過點，傾斜角是；(3)經過點，傾斜角是．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接將點的坐標和斜率代入點斜式方程即可得出結果；（2）利用傾斜角計算出直線斜率，再代入點斜式方程即可；（3）利用傾斜角是可得直線斜率為，代入點斜式方程求出結果；【詳解】（1）由題意可知，將和斜率3直接代入直線點斜式方程可得，直線的點斜式方程為；（2）由傾斜角是可得直線斜率，將代入點斜式方程即為（3）由傾斜角是可得直線斜率，將代入點斜式方程即為題型二斜截式方程例2．已知直線l過點且方向向量為，則l在x軸上的截距為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，由條件結合直線的點斜式即可求得直線的方程，再令，即可得到結果.【詳解】因為直線的方向向量為，所以直線斜率，又直線過點，所以直線方程為，即，令，得，所以在x軸上的截距為.故選：A跟蹤訓練21．已知直線l：，則（）A．直線l過點B．直線l的斜率為C．直線l的傾斜角為D．直線l在軸上的截距為1【答案】BC【分析】根據直線方程逐項判斷.【詳解】對于A，將代入，可知不滿足方程，故A不正確；對于B，由，知直線l的斜率為，故B正確；對于C，設直線l的傾斜角為α，則，可得，故C正確；對于D，由，令，可得直線l在軸上的截距為－1，故D不正確．故選：BC2．已知兩點、，則直線的斜截式方程是．【答案】【分析】直接利用兩點的坐標求出直線的方程，進一步轉換為斜截式．【詳解】已知兩點、，故直線的斜率，則方程為：，整理得，轉化為直線的斜截式為．故答案為：．3．在中，BC邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線方程為，若點B的坐標為（1，2）.(1)求點A和點C的坐標；(2)求AC邊上的高所在的直線l的斜截式方程.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出A的坐標，再求出AC所在直線方程和BC所在直線方程，最后聯(lián)立方程求出C的坐標；（2）先求出直線l的斜率，再求出直線l的斜截式方程.【詳解】（1）由已知A是BC邊上的高所在直線與的角平分線所在直線的交點，由，得，故，又因為,所以直線AB和直線AC的傾斜角互補，所以又所以AC所在直線方程為，BC所在直線方程為，由，得，所以點A和點C的坐標為，；（2）由（1）知AC所在直線方程為，所以直線l的斜率為，因為，所以直線l所在的方程為，即，所以直線l的斜截式方程為.題型三直線的圖像辨析例3．已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據直線斜率與軸上的截距的關系判斷選項即可得解.【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當時，軸上的截距為2，故D正確，當時，,故B不正確，當時，或，由圖象知AC正確.故選：B跟蹤訓練31．直線可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據直線斜率的正負值與定點即可判斷結果．【詳解】因為，所以AC錯；當時，，故B對；故選：B2．直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標系內的圖象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據直線的斜率和縱截距的正負進行判斷．【詳解】對B，斜率為正，在軸上的截距也為正，故不可能有斜率為負的情況.故B錯.當時，和斜率均為正，且截距均為正.僅D選項滿足.故選：D3．方程表示的直線可能是A． B． C． D．【答案】C【解析】分和兩種情況討論，即得答案.【詳解】由題意，排除.當時，，此時直線與軸的交點在軸的負半軸上，排除.當時，，此時直線與軸的交點在軸的正半軸上，排除，選.故選：.【點睛】本題考查由直線方程識別圖象，考查分類討論，屬于基礎題.題型四直線點斜式方程的綜合例4．直線的方程為.(1)證明：直線恒經過第一象限；(2)若直線一定經過第二象限，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）可利用直線經過的定點進行說明；（2）結合（1）的結論，只要直線的軸上的截距大于即可.【詳解】（1），即直線一定過定點，該點在第一象限，于是直線一定經過第一象限.（2）由于直線經過第一象限的定點，只要該直線在軸上的截距大于即可，而經過軸上的點，則，解得跟蹤訓練41．經過點，且與直線平行的直線的斜截式方程為；與直線垂直的直線的點斜式方程為.【答案】【分析】根據平行直線的斜率關系，找到斜率，經過點求出直線方程，改寫成斜截式方程即可，根據垂直直線的斜率關系，求出斜率，寫出對應的方程，改寫成點斜式方程即可.【詳解】設直線的斜率為，與直線平行的直線的斜率為，與直線垂直的直線斜率為.由得，由兩直線平行知.所以所求直線方程為，即；由兩直線垂直知，所以與直線垂直的直線的點斜式方程為.故答案為：;2．已知直線l的方程是.(1)求直線l的斜率和傾斜角；(2)求過點且與直線l平行的直線的方程.【答案】(1)斜率為，傾斜角是60°(2)【分析】（1）由直線方程直接求出斜率，進而得到傾斜角；（2）利用點斜式方程求出直線方程.【詳解】（1）已知直線l：，所以直線l的斜率，傾斜角是.（2）過點且與直線l平行的直線的斜率是，所求直線方程為：，即.3．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點C，與直線交于點，點D的坐標為.（1）求直線的解析式；（2）直線與x軸交于點B，若點E是直線上一動點（不與點B重合），當時，求點E的坐標【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設直線的解析式為，將點，代入直線中，解出，可得直線的解析式；（2）設點E的坐標為，求出的坐標，當時，過點C作交直線于E，利用求出，進而可得點E的坐標．【詳解】（1）設直線的解析式為，將點，代入直線中得：解得：直線的解析式為：（2）設點E的坐標為令得，點B的坐標為令得，點C的坐標為，，，，當時，如圖所示，過點C作交直線于E，，，，解得此時E點的坐標為【點睛】本題考查待定系數法求直線的方程，考查相似三角形的應用，考查學生數形結合能力，屬于中檔題．3質量檢測評價一、單選題1．過點且傾斜角為的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知直線斜率為1，根據點斜式即可寫出直線方程化簡即可得解.【詳解】過點，且傾斜角為的直線斜率為1，則，即．故選：B．2．直線過點，，則直線在軸上的截距是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】求出直線的方程，令可解.【詳解】由題可得直線的斜率，再由點斜式方程可得，化簡可得，令，則直線在軸上的截距為．故選：D．3．已知直線的斜率為,在軸上的截距為,則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據點斜式方程求解即可.【詳解】直線在軸上的截距為，點在直線上，又直線的斜率為,根據點斜式方程得即.故選：B.4．，和圍成的三角形內部和邊上的整點有（

）個.A．35 B．36 C．37 D．38【答案】C【分析】做出直線的圖像，依據圖像進行求解.【詳解】顯然直線，上無整點，當，，有1個點；當，，有1個點；當，，有2個點；當，，有3個點；當，，有3個點；當，，有4個點；當，，有5個點；當，，有5個點；當，，有6個點；當，，有7個點；得到37個整點.故選：C.【點睛】利用數形結合的方法進行求解.5．直線不經過的象限為（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據直線圖象即可判斷．【詳解】畫出直線方程得：故直線不過第三象限，故選：C

6．過點且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得所求直線的斜率，再根據點斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為由垂直關系可得垂線的斜率為，又垂線過點，垂線方程為故選：D二、多選題7．已知直線，，則它們的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由兩直線的解析式可得直線的斜率為a、縱截距為b，的斜率為，縱截距為a，再逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】選項A，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，可能成立；選項B，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，可能成立；選項C，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，不成立；選項D，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，不成立.故選：AB.8．若直線，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】找到斜率之間的關系,即可判斷平行與垂直.【詳解】設的斜率分別為，結合題意易得：，因為，所以因為且，所以.故選：BD.9．過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是()A．y=x+5 B．y=x+5C．y= D．y=【答案】AC【分析】分兩種情況求解，過原點時和不過原點時，結合所過點的坐標可求.【詳解】當直線過坐標原點時，直線過點,所以直線方程為y=;當直線不過坐標原點時，設直線方程為=1，代入點，可得a=5，即y=x+5.故選:AC.三、填空題10．直線過點，若的斜率為2，則在軸上的截距為【答案】【分析】由點斜式寫出直線的方程，求出在軸上的截距即可.【詳解】由題意知：直線的方程為，即，所以在軸上的截距為.故答案為：.11．已知斜率為2的直線經過點，則直線的方程為.【答案】【分析】根據直線點斜式方程，直線斜率為且過點時，直線方程為，代入題中已知即可得出答案.【詳解】已知直線斜率為2且經過點，由直線點斜式方程得直線的方程為：，即.故答案為：.12．已知直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為6，則值是.【答案】【分析】根據題意，分別求得直線在軸的截距，結合三角形的面積公式，即可得到結果.【詳解】對于直線，能與兩坐標軸圍成三角形，則，令，得，所以直線與軸交點坐標為，令，得，所以直線與軸交點坐標為，所以直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，解得.故答案為：四、解答題13．已知的頂點坐標為.(1)試判斷的形狀：(2)求邊上的高所在直線的方程.【答案】(1)直角三角形(2)【分析】（