第2課時導數及其應用復習課人教B版

數學選擇性必修第三冊知識梳理構建體系知識網絡

要點梳理

1.什么是平均變化率?提示:一般地,若函數y=f(x)的定義域為D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),則稱Δx=x2-x1為自變量的改變量;稱Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))為相應的因變2.導數或瞬時變化率的概念是什么?3.導數的幾何意義是什么?提示:如果將函數y=f(x)的圖象看成曲線(稱為曲線y=f(x)),而且曲線y=f(x)在點A(x0,f(x0))處的切線為l,則Δx很小時,B(x0+Δx,f(x0+Δx))是A附近的一點,割線AB的斜率是

,則當Δx無限接近于0時,割線AB的斜率將無限趨近于切線l的斜率.這就是說,f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處(也稱在x=x0處)的切線的斜率,根據直線的點斜式方程可知,切線的方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).4.根據基本初等函數的導數公式,請完成下表.基本初等函數導函數f(x)=C(C為常數)f'(x)=0f(x)=xαf'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=exf'(x)=exf(x)=ax(a>0)f'(x)=axlnaf(x)=lnx

f(x)=logax(a>0,且a≠1)

5.導數的運算法則有哪些?提示:若f'(x),g'(x)存在,則有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);6.如何求復合函數的導數?提示:復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為yx'=yu'ux',即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.7.導數與函數的單調性有什么關系?提示:一般地,(1)如果在區間(a,b)內,f'(x)>0,則曲線y=f(x)在區間(a,b)內對應的那一段上每一點處切線的斜率都大于0,曲線呈上升狀態,因此f(x)在區間(a,b)內是增函數,如圖所示.(2)如果在區間(a,b)內,f'(x)<0,則曲線y=f(x)在區間(a,b)內對應的那一段上每一點處切線的斜率都小于0,曲線呈下降狀態,因此f(x)在區間(a,b)內是減函數,如圖所示.8.函數的極值是如何定義的?提示:一般地,設函數y=f(x)的定義域為D,設x0∈D,如果對于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)<f(x0),則稱x0為函數f(x)的一個極大值點,且f(x)在x0處取極大值;(2)f(x)>f(x0),則稱x0為函數f(x)的一個極小值點,且f(x)在x0處取極小值.極大值點與極小值點都稱為極值點,極大值與極小值都稱為極值.9.導數與函數的極值點有什么關系?提示:(1)一般地,如果x0是y=f(x)的極值點,且f(x)在x0處可導,則必有f'(x0)=0.(2)一般地,設函數f(x)在x0處可導,且f'(x0)=0.①如果對于x0左側附近的任意x,都有f'(x)>0,對于x0右側附近的任意x,都有f'(x)<0,那么此時x0是f(x)的極大值點.②如果對于x0左側附近的任意x,都有f'(x)<0,對于x0右側附近的任意x,都有f'(x)>0,那么此時x0是f(x)的極小值點.③如果f'(x)在x0的左側附近與右側附近均為正號(或均為負號),則x0一定不是y=f(x)的極值點.10.函數的極值點與最值點有什么關系?提示:一般地,如果函數y=f(x)在定義域內的每一點都可導,且函數存在極值,則函數的最值點一定是某個極值點;如果函數y=f(x)的定義域為[a,b]且存在極值,函數y=f(x)在(a,b)內可導,那么函數的最值點要么是區間端點a或b,要么是極值點.11.如何利用導數解決實際問題中的優化問題?提示:用導數解決優化問題的基本思路是:優化問題→用函數表示數學問題→用導數解決數學問題→優化問題的答案.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)求f'(x0)時,可先求f(x0),再求f'(x0).(×)(2)曲線在某點處的切線不一定與曲線只有一個公共點.(√)(3)f'(x)>0是f(x)為增函數的充要條件.(×)(4)函數的導數越小,函數的變化越慢,函數的圖象就越“平緩”.(×)(5)若函數f(x)在某個區間內恒有f'(x)=0,則f(x)在此區間內為常數函數.(√)(6)函數在某區間上或定義域內極大值是唯一的.(×)(7)對于可導函數f(x),f'(x0)=0是x0為極值點的充要條件.(×)(8)開區間上的單調連續函數無極值和最值.(√)專題歸納核心突破專題整合

專題一

導數的幾何意義及其應用【例1】

已知函數f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線的方程;(2)若直線l為曲線y=f(x)的切線,且經過原點,求直線l的方程及切點的坐標.解:(1)∵f'(x)=3x2+1,∴曲線在點(2,-6)處的切線的斜率為f'(2)=3×22+1=13,∴切線的方程為y+6=13(x-2),即y=13x-32.求曲線的切線方程的題目主要有以下兩種類型:(1)求曲線y=f(x)在一點P(x0,y0)處的切線方程,此時點P(x0,y0)為切點.當切線斜率存在,即函數f(x)在x0處可導時,切線斜率為f'(x0),有唯一的一條切線,對應的切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0);當切線斜率不存在時,對應的切線方程為x=x0.(2)求曲線y=f(x)過一點P(x0,y0)的切線方程,此時切線經過點P,點P可能是切點,也可能不是切點.解決此類問題的關鍵是設出切點的坐標,利用待定系數法求出切點的坐標,進而求出切線的方程.反思感悟專題二

利用導數研究函數的單調性

即a≤2x3在區間[2,+∞)內恒成立.∴a≤(2x3)min=16.∴實數a的取值范圍是(-∞,16].已知函數的單調性求參數的取值范圍的兩種思路(1)轉化為不等式在某區間上的恒成立問題,即f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,用分離參數求最值或函數性質求解,注意驗證使f'(x)=0的參數是否符合題意.(2)構造關于參數的不等式求解,即令f'(x)≥0(或f'(x)≤0)求得用參數表示的單調區間,結合所給區間,利用區間端點列不等式求參數的取值范圍.反思感悟【變式訓練2】

設函數f(x)=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(1,-11).(1)求a,b的值;(2)討論函數的單調性.解:(1)f'(x)=3x2-6ax+3b.∵f(x)的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(1,-11),∴f(1)=-11,f'(1)=-12,(2)由(1)得,f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).令f'(x)>0,解得x>3或x<-1.令f'(x)<0,解得-1<x<3.故當x∈(-∞,-1)和x∈(3,+∞)時,f(x)單調遞增;當x∈(-1,3)時,f(x)單調遞減.專題三

利用導數研究函數的極值、最值

解:(1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a.因為a>0,所以x1<x2.當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表.x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以當x=-1時,f(x)有極大值2,即3a+2b=3.(2)當0<a<3時,由(1)知,f(x)在區間[0,a)內單調遞減,在區間(a,3]內單調遞增,已知函數的極值,確定參數時應注意兩點:(1)根據極值點處導數值為0和極值兩個條件可列出方程組,用待定系數法求解.(2)因為導數值為0不能推出此點就是極值點,所以利用上述方程組求出解后必須驗證根的合理性.反思感悟【變式訓練3】

若函數f(x)=ax2+2x+blnx在x=1和x=2時取極值.(1)求a,b的值;專題四

用導數研究不等式的恒成立、能成立問題【例4】

已知兩個函數f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,x∈[-3,3],k∈R.(1)若對?x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求實數k的取值范圍;(2)若?x∈[-3,3],使得f(x)≤g(x)成立,求實數k的取值范圍;(3)若對?x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求實數k的取值范圍.解:(1)設h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,則問題轉化為當x∈[-3,3]時,h(x)≥0恒成立,即h(x)min≥0.令h'(x)=6x2-6x-12=0,解得x=2或x=-1.∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,h(3)=k-9,∴h(x)min=k-45≥0,∴k≥45.(2)依題意,?x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即?x∈[-3,3],使h(x)=g(x)-f(x)≥0成立,∴h(x)max≥0,即k+7≥0,∴k≥-7.(3)依題意,f(x)max≤g(x)min,易知f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21,∴120-k≤-21,∴k≥141.不等式的恒成立、能成立問題的解題技巧將不等式的恒成立、能成立問題,轉化為求最值問題.常見的轉化類型如下:(1)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)?f1(x)min>f2(x)max.(2)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)?f1(x)max>f2(x)min.(3)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)?f1(x)min>f2(x)min.(4)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)?f1(x)max>f2(x)max.反思感悟【變式訓練4】

設函數f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m對t∈(0,2)恒成立,求實數m的取值范圍.解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴當x=-t時,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(舍去后者).當t變化時,g'(t),g(t)的變化情況如下表.t(0,1)1(1,2)g'(t)+0-g(t)↗極大值↘∴g(t)在區間(0,2)內的最大值為g(1)=1-m.∵h(t)<-2t+m在區間(0,2)內恒成立,∴g(t)<0在區間(0,2)內恒成立,∴1-m<0,解得m>1.故m的取值范圍為(1,+∞).專題五

利用導數證明不等式【例5】

已知函數f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).(1)討論函數y=f(x)的單調性;(2)當a=1時,證明:對任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.(1)解:函數f(x)的定義域為(0,+∞),當a≤0時,f'(x)>0對任意x∈(0,+∞)恒成立,所以函數f(x)在區間(0,+∞)內單調遞增.(2)證明:當a=1時,f(x)=x2+x-ln

x.要證明f(x)+ex>x2+x+2,只需證明ex-ln

x-2>0.設g(x)=ex-ln

x-2,當x變化時,g'(x)和g(x)變化情況如下表.x(0,x0)x0(x0,+∞)g'(x)-0+g(x)↘極小值↗構造函數證明不等式的方法(1)移項法:證明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))可轉化為證明f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0),進而構造輔助函數h(x)=f(x)-g(x).(2)主元法:對于(或可化為)f(x1,x2)≥A的不等式,可選x1(或x2)為主元,利用x1與x2的關系,構造函數g(x1)(或g(x2)).(3)放縮法:若所構造的函數的最值不易求解,則可先將要證明的不等式進行放縮,再重新構造函數.反思感悟【變式訓練5】

設函數f(x)=ax2-(x+1)lnx,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為0.(1)求a的值;專題六

利用導數研究方程的根(或函數的零點)【例6】

已知函數f(x)=x3+ax2+b的圖象上一點P(1,0),且在點P處的切線與直線3x+y=0平行.(1)求函數f(x)的解析式;(2)求函數f(x)在區間[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值;(3)關于x的方程f(x)=c在區間[1,3]上恰有兩個實根,求實數c的取值范圍.解:(1)f'(x)=3x2+2ax.因為曲線在點P(1,0)處的切線與直線3x+y=0平行,所以f'(1)=3+2a=-3,解得a=-3.又點P(1,0)在f(x)的圖象上,所以-2+b=0,所以b=2.所以f(x)=x3-3x2+2.(2)由(1)得f'(x)=3x2-6x.由f'(x)=0,得x=0或x=2.①若0<t≤2,則f'(x)≤0在區間[0,t]上恒成立,f(x)在區間[0,t]上單調遞減,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.②若2<t<3,則當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表.x0(0,2)2(2,t)tf'(x)0-0+

f(x)2↘-2↗t3-3t2+2故f(x)min=f(2)=-2,f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個.因為f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,所以f(x)max=f(0)=2.(3)令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c,則g'(x)=3x2-6x=3x(x-2).當x∈[1,2)時,g'(x)<0;當x∈(2,3]時,g'(x)>0.要使g(x)=0在區間[1,3]上恰有兩個實根,反思感悟對于方程的根(或函數零點)的個數的相關問題,可以利用導數和數形結合思想來求解.解決此類問題的一般步驟如下:(1)構造適當的函數,這是求解此類問題的關鍵點和難點,并求其定義域;(2)求出導數,得到單調區間和極值點;(3)作出函數的大致圖象,進行觀察;(4)數形結合,挖掘隱含條件,列出不等式(組)求解.高考體驗

考點一

導數的幾何意義及應用1.(2021·新高考Ⅰ)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則(

)A.eb<a

B.ea<b

C.0<a<eb

D.0<b<ea解析:設切點(x0,y0),因為y'=ex,設g(x)=ex(a-x+1)-b,則g'(x)=ex(a-x)=0,解得x=a,所以g(x)在區間(-∞,a)內單調遞增,在區間(a,+∞)內單調遞減.由g(a)>0,得ea>b.結合4個選項,可知選D.答案:D答案:C3.(2022·全國新高考Ⅰ)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是

.

∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.故a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞).答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)考點二

利用導數判斷函數的單調性4.(2023·新高考Ⅱ)已知函數f(x)=aex-lnx在區間(1,2)上單調遞增,則a的最小值為(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2設g(x)=xex,則g'(x)=(x+1)ex>0在區間(1,2)內恒成立,所以函數g(x)=xex在區間(1,2)內單調遞增,所以g(x)>g(1)=e,答案:C5.(2021·全國甲高考)設函數f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,其中a>0.(1)討論f(x)的單調性;(2)若y=f(x)的圖象與x軸沒有公共點,求a的取值范圍.(1)當a=2時,求f(x)的單調區間;(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.考點三

利用導數判斷函數的極值、最值7.(2023·新高考Ⅰ)設函數f(x)=2x(x-a)在區間(0,1)內單調遞減,則a的取值范圍是(

)A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)解析:方法一(導數法):由題意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln

2,由函數在(0,1)內單調遞減,知(2x-a)2x(x-a)·ln

2≤0在(0,1)內恒成立,即2x-a≤0在(0,1)內恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故選D.方法二(復合函數法):因為函數y=2x在R上是增函數,要使復合函數答案:D8.(2019·全國Ⅲ高考)已知函數f(x)=2x3-ax2+b.(1)討論f(x)的單調性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在區間[0,1]的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.(2)滿足題設條件的a,b存在.①當a≤0時,由(1)知,f(x)在[0,1]單調遞增,所以f(x)在區間[0,1]的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.②當a≥3時,由(1)知,f(x)在[0,1]單調遞減,所以f(x)在區間[0,1]的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.考點四

利用導數研究不等式的恒成立、能成立問題9.(2020·全國Ⅰ高考)已知函數f(x)=ex+ax2-x.(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;解:(1)當a=1時,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.故當x∈(-∞,0)時,f'(x)<0;當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)單調遞減,在(0,+∞)單調遞增.所以g(x)在(0,2)單調遞增,而g(0)=1,故當x∈(0,2)時,g(x)>1,不合題意.考點五

利用導數證明不等式10.(2021·新高考Ⅰ)已知函數f(x)=x(1-lnx).(1)討論f(x)的單調性;(1)解:由條件知,函數f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=-ln

x.當x∈(0,1)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.即在區間(0,1)內,函數f(x)單調遞增;在區間(1,+∞)內,函數f(x)單調遞減.

方法二:f(x)在點(e,0)處的切線φ(x)=e-x,令F(x)=f(x)-φ(x)=2x-xln

x-e,x∈(0,e),F'(x)=1-ln

x>0,所以F(x)在區間(0,e)內單調遞增,即F(x)<F(e)=0,所以當x∈(0,e)時,f(x)<φ(x).令t=f(x1)=f(x2),則t=f(x2)<φ(x2)=e-x2?t+x2<e.又t=f(x1