第10講圓的有關性質(zhì)（二）

（重點題型方法與技巧）

目錄

類型一：利用圓周角定理及其推論求角的度數(shù)

類型二：運用弧、弦、圓心角、圓周角的關系進行計算或證明

類型三：圓內(nèi)接四邊形

類型一：利用圓周角定理及其推論求角的度數(shù)

計算圓心角和圓周角時的注意事項：

1.在進行有關圓心角與圓周角的計算時，應適當添加輔助線，以方便角度之間的轉(zhuǎn)化.一條弧所對的圓心角

只有一個，而所對的圓周角有無數(shù)個，它們都相等；

2.一條弦所對的圓心角只有一個，但它所對的圓周角卻有無數(shù)個，在同一條弦的同側(cè)的圓周角相等，在同一

條弦的異側(cè)的兩個圓周角互補.

典型例題

例題1.（2022?云南?昭通市昭陽區(qū)第一中學九年級期末）如圖，A3是。。的直徑，AC,5c是。。的弦,

若NA=30。，則N5的度數(shù)為（)

A.70°B.90°D.60°

例題2.（2022?湖北?五峰土家族自治縣中小學教研培訓中心九年級期中）如圖，點A,B,C,D,E在。。

上，AB^CD,NOAB=70。，則NCEZ>=（）

A.70°B.35°C.40°D.20°

例題3.（2022?全國?九年級單元測試）如圖，四邊形A5CD為。。的內(nèi)接四邊形，連接60,AB=AD=

CD,ZBDC=75°,則NC的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

例題4.（2022?福建省福州第八中學九年級階段練習）已知A,B,。三點在。。上，若NAC5=130。，則

ZAOB=°.

例題5.（2022?云南?會澤縣大井鎮(zhèn)第二中學校九年級期中）如圖，。的弦與直徑A5相交，若NR4D=50。,

貝（JNAOO=___度.

例題6.（2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)第四中學九年級）如圖，點A、B、。、D、￡在。上，且今￡為40。,

求NB+NO的度數(shù).

同類題型演練

1.（2022.全國?九年級單元測試）如圖，A3是直徑，點C,O在半圓A3上，若N&4C=40。，則NADC=（）

____C

A.110°B.120°C.130°D.140°

2.（2022?北京?人大附中九年級階段練習）如圖，AB為。的直徑，點C,。在。。上，若/ADC=130。,

則/BAC的度數(shù)為（）

A.25°B.30°D.50°

3.（2022.全國?九年級單元測試）如圖，在。。中，點C是的中點，若N旬。=65。，則/。的度數(shù)是（）

A.75°B.65°D.40°

4.（2022.北京.人大附中九年級階段練習）如圖，等邊△ABC的三個頂點均在。。上，連接。4,OB,OC,

則ZAOC的度數(shù)為.

5.（2022?廣東順德德勝學校三模）如圖，點。是AC的中點，點E是BC上的一點，若/CED=35?,則/ADC=

6.（2021.安徽?淮南市洞山中學九年級階段練習）如圖，已知為。。的直徑，CD是弦，且于

點、E.連接AC、OC,BC.

c

⑴求證：ZACO=ZBCD.

(2)若BE=3,CD=8,求BC的長.

類型二：運用弧、弦、圓心角、圓周角的關系進行計算或證明

圓中證明弧、弦、圓心角、圓周角相等或倍分關系的方法：

在圓中證明弧、弦、圓心角、圓周角的相等或倍分關系時，應從同類型元素（指弧、弦、角）的相等或倍

分關系入手，轉(zhuǎn)化為另一種元素的相等或倍分關系，從而得到問題的結論.

典型例題

例題1.（2022?黑龍江?哈爾濱德強學校九年級階段練習）在。中，滿足C￡>=2AB，則下列說法正確的是

()

A.CD>2ABB.CD<2ABC.CD=2ABD.無法確定

例題2.（2022?全國?九年級課時練習）如圖，A、B、C是，0上的三個點，ZAOB=50°,々=55。，則ZA

的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.40°D.55°

例題3.（2022?河南南陽?九年級開學考試）下列語句中：①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對

的弧相等；③長度相等的兩條弧是等弧；④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；⑤在同圓或

等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓周角相等，不正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

例題4.（2022?浙江湖州?九年級期末）如圖，四邊形是半圓。的內(nèi)接四邊形，其中A5是直徑，點

C是弧03的中點，若NC=U0。，則NA5C的度數(shù)=.

D

OB

例題5.（2021?浙江?杭州市建蘭中學九年級期中）如圖，A5是。的直徑，四邊形A5CD內(nèi)接于O,OD

交AC于點及AD=CD.若AC=10,DE=49則5C的長為.

例題6.（2022?江蘇?九年級）如圖，正方形A3CD內(nèi)接于。O,AM=DM＞求證：BM=CM.

同類題型演練

1.（2021.甘肅.九年級專題練習）如圖，在。中，AB=BC=CD，連接ACCD,則AC與CD的關系是

().

A.AC=2CDB.AC<2CD

C.AC>2CDD.無法比較

2.（2021.山東濰坊.二模）如圖，是，。的直徑，C,D是。上的兩點，且點。為優(yōu)弧A1Z）的中點，

連接CO,CB,OD,CD與A5交于點尸.若ZABC=20。，則ZAOD的度數(shù)為（）

D

A.95°B.100°C.110°D.120°

3.（2020?上海民辦建平遠翔學校九年級階段練習）下列關于圓的說法中，錯誤的是（）

A.半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧

B.如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等

C.圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線

D.拱形不一定是弓形

4.（2021?四川綿陽?九年級期末）如圖，A8為。。的直徑，點。是弧AC的中點，過點。作。ELAB于點

E,延長DE交。。于點R若AE=3,。。的直徑為15,則AC長為（）

5.（2022?全國?九年級課時練習）如圖，點A、B、C、。均在＜。上，若NAOD=65。，AO//DC,則NB

的度數(shù)為.

6.（2021?浙江?溫州市第十二中學九年級期中）如圖，AB為t。的直徑，點D是弧AC的中點，過點。

作。于點E,延長DE交：O于點F,若AC=12,AE=3,貝|O的半徑長為

7.（2021.陜西.商南縣富水鎮(zhèn)初級中學九年級期中）如圖,。的弦A3、CO相交于點E,S.AB=CD.求

證：BE=DE.

c

E

8.（2021?黑龍江齊齊哈爾.九年級期中）如圖，四邊形ABC。中，/B=/D,AB=CD,A8與DC不平行,

過點A作AE〃OC,交△ABC的外接圓。。于點E,連接CE、OA.

（1）求證：四邊形AZJCE為平行四邊形；

（2）求證：AO平分/R4E.

類型三：圓內(nèi)接四邊形

典型例題

例題1.（2021?重慶十八中兩江實驗中學九年級階段練習）如圖，四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形，且

ZA=110°,ZB=50°,則NC的度數(shù)為（）

A.110°B.70°C.60°D.20°

例題2.(2022?江蘇?九年級單元測試)若四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，ZA：NC=1：2,則NC=

()

A.120°B.130°C.140°D.150°

例題3.（2022?浙江衢州?二模）如圖，AB是。的直徑,C,Z＞為。上的點，且點。在弧AC上.若/。=120。,

則出的度數(shù)為（）

C

D,

—\

A.30°B.40°C.50°D.60°

例題4.（2021?浙江?金華海亮外國語學校九年級階段練習）如圖，四邊形ABC。是O是內(nèi)接四邊形，已

知/八4刀=105。，貝!|NOCE=_____.

D

例題5.（2022?湖南?長沙麓山國際實驗學校九年級階段練習）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,為。。

的直徑，ZADC=130°,連接AC,則N3AC的度數(shù)為_________

不

例題6.（2022?云南昆明?九年級期末）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于0,/尸+/E3c=180°,求證：EF//AD.

DA

X

Fc

同類題型演練

1.（2022.江蘇鹽城.九年級期末）如圖，A5CZ）為圓內(nèi)接四邊形,若NA=60。，則NC等于（）

A

A.30°B.60°

C.120°D.300°

2.（2022?江蘇宿遷?九年級期末）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ZA:ZB:ZC=3:4:6,則/。等于（）

A.60°B.80°