成都外國語學校2023-2024學年度下期期末考試

局一數學試卷

注意事項:

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.

2.本堂考試120分鐘，滿分150分.

3.答題前，考生務必先將自己姓名、學號填寫在答題卡上，并使用2B鉛筆填涂.

4.考試結束后，將答題卡交回.

第I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設復數z滿足(l+i)z=3-i,則同=(

A.C.V2D.V6

2.函數/（x）=（x-3）e工的單調增區間是)

A.(-oo,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+co)

3.關于線性回歸的描述，有下列命題:

①回歸直線一定經過樣本點的中心；②相關系數r越大，線性相關程度越強;

③決定系數長越接近1擬合效果越好;④隨機誤差平方和越小，擬合效果越好.

其中正確的命題個數為（）

A.1B.2C.3D.4

1-cos50°、

4.設。=—cos6°----sin6°,/>=2sinl3ocosl3°,c——-——，則有()

22

A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

5.在空間直角坐標系中,mo,o),/(1,0,0)，5(020),。（0,0,3）,三角形重心為G,則點尸

到直線4G的距離為（)

6V2212后

A.B.C.

71717

,2

已知點/0,、怎），拋物線=4x上有一點0（玉）/0），則，+2|尸川的最小值是（

6.)

A.10B.8C.5D.4

7.有5名大學生到成都市的三所學校去應聘，若每名大學生至多被一個學校錄用，每個學校至少錄用其中

一人，則不同的錄用情況種數是（)

A.390B.150C.90D.420

8.雙曲線C：亍-々=1（。>0）的左、右焦點分別為耳，耳,離心率為y-,右支上一點P滿足尸耳1PF1,

直線/平分/為明，過點片，鳥作直線/的垂線，垂足分別為/,B.設。為坐標原點，則△048的面

積為（）

A.2石B.4石C.IOA/2D.10

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.

9.若“*e[4,6],一一公―1>0”為假命題，則實數。的取值可以為（）

A.8B.7C.6D.5

10.我國5G技術研發試驗在2016~2018年進行，分為5G關鍵技術試驗、5G技術方案驗證和5G系統驗證

三個階段.2020年初以來，5G技術在我國已經進入高速發展的階段，5G手機的銷量也逐漸上升.某手機

商城統計了2022年5個月5G手機的實際銷量，如下表所示：

月份2022年1月2022年2月2022年3月2022年4月2022年5月

月份編號X12345

銷量y（部）5096a185227

若y與x線性相關，且求得回歸直線方程為3=45x+5,則下列說法正確的是（）

A.a=142B.v與x的相關系數為負數

C.y與x正相關D.2022年7月該手機商城的5G手機銷量約為365部

11.已知定義在R上的函數y=/（x）滿足為偶函數，/（2x+l）為奇函數，當xe0,1時,

/'（X）>0,則下列說法正確的是（）

兒〃。）=。/||）>/||）

C.函數y=/（x）為R上的偶函數D.函數y=/（x）為周期函數

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若"l<x<2"是“|x-2加|<1"的充分不必要條件，則實數〃?的取值范圍為.

13.若（2-X）7=%+4（1+》）+%（1+%）2+…+%（1+》）7，貝！14+q+。2+…+。7的值為.

11[1

14.若數列｛%｝滿足--------=d,（weN*,"為常數），則稱數列｛%｝為調和數列.已知數列方為

an+\anI*”,

調和數列，且X；+x；+x；+…+%2022=2022,則x9+x2014的最大值為.

四、解答題：共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)在A43C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,設向量

/\[3^\(1A-5一

m=4sinZ,------,n=\—cosA,2cos2A,=m-n,Ae—,一.

、2J)[46-

(1)求函數/(/)的最小值;

(2)若f(A)=0,a=A/3,b+c=^6,求△ASC的面積.

16.(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐尸—48C。中，AD//BC,PA=BC=2AD=2AB=4,AD1.

平面PAB,PA1AB,E、F分別是棱PB、PC的中點.

(1)證明：〃平面/CE；

(2)求平面/C￡與平面P4D的夾角的正弦值.

17.(本小題滿分15分)某校為了解本校學生課間進行體育活動的情況，隨機抽取了50名男生和50名女

生，通過調查得到如下數據：50名女生中有10人課間經常進行體育活動，50名男生中有20人課間經常進

行體育活動.

(1)請補全2x2列聯表，試根據小概率值&=0.05的獨立性檢驗，判斷性別與課間經常進行體育活動是

否有關聯；

體育活動合計

性別

課間不經常進行體育活動課間經常進行體育活動

男

女

合計

(2)以樣本的頻率作為概率的值，在全校的男生中任取4人，記其中課間經常進行體育活動的人數為X,求

X的分布列、數學期望和方差.

附表：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

附：人即存”可其中…

18.(本小題滿分17分)已知橢圓￡：1+5=1(。>匕>0)的左、右焦點別為片，F,,離心率為上,

ab2

過點片的動直線/交E于48兩點，點/在x軸上方，且/不與x軸垂直，月的周長為4拒，直線

4月與E交于另一點C,直線典與E交于另一點。，點尸為橢圓E的下頂點，如圖.

(1)求￡1的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

mnInxx-1

19.(本小題滿分17分)定義運算:=mq-np,已知函數/(%)=，g(x)」T?

Pq1a%

(1)若函數/(X)的最大值為0,求實數Q的值;

證明：〃(%)_"2<0；

(2)若函數〃(x)=/(%)+g(x)存在兩個極值點距,X2

玉-x2

(3)證明：+++…[+

成都外國語學校2023-2024學年度下期期末考試

高二數學試卷參考答案：

1.A

【分析】利用復數的運算性質求出共輒復數，再求模即可.

?、°?,,3-i(3-i)(l-i)3-4i+i23-4i-l,

【詳解】因為(l+i)z=3—i,所cc以z=——_-=-----------=-----------=1-2n

1+i(l+i)(l-i)22

所以亍=l+2i,|z|=Vl2+22=V5,故C正確.故選：A.

2.D

【分析】對函數求導，根據導函數的正負，確定函數的單調遞增遞減區間即得.

【詳解】由吊(x)=(x—3)e，求導得,/'(x)=(x—2)e"

則當x>2時，/'(x)>0,即函數/(x)=(x—3)e，在(2,+oo)上單調遞增;

當x<2時，/'(x)<0,即函數/(x)=(x—3)e，在(—oo,2)上單調遞減,

故函數/(%)=(》-3)/的單調遞增區間為(2,+8).故選：D.

3.C

【分析】根據回歸直線方程的性質，相關系數、決定系數及隨機誤差平方和的意義判斷各項的正誤即可.

【詳解】對于①，回歸直線一定經過樣本點的中心，故①正確；

對于②，相關系數r的絕對值越接近于1,線性相關性越強，故②錯誤；

對于③，決定系數R越接近1擬合效果越好，故③正確；

對于④，隨機誤差平方和越小，擬合效果越好，故④正確.故選：C.

4.C

【分析】利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦函數的性質判斷即可.

1e

【詳解】a=—cos60-----sin60=sin30°cos60-cos30°sin6°=sin(30°-6°)=sin24°，

2

1-cos50°l-2sin25°),---------

6=sin26°,c---------------=Vsin225°=sin250,

因為歹=sinx在上單調遞增，所以sin26°>sin25°>sin24°,故a<c<b.故選：C.

5.B

【詳解】在空間直角坐標系中，尸(0,0,0)，4(1,0,0)，5(0,2,0),C(0,0,3),

三角形的重心為G,所以可=(1,0,0),AG=

2

所以方在就上的投影為:3_2后

所以點尸到直線NG的距離為:

【分析】結合坐標運算和焦半徑公式，轉化會+2|尸幺|=2(|尸7]+|尸幺|)-2,再利用數形結合求最值.

2

【詳解】已知拋物線C:/=4x上有一點尸國/0),貝叮；=4%,即￡=

又（亞丁＞4x3,故.3,01）在拋物線C:/=4x的外部，

則段+2|。幺|=2^-+\PA\=2（%+|0幺|）=2（/+1+|0削）一2,

因為拋物線C：/=4x的焦點為尸（1,0）,準線方程為無=—1,則|尸尸|=%+1，

4+2%=2國+1+%）—2y+%）—2.

由于|PF|+|P4歸/尸|,當/,P,尸三點共線（尸在4尸之間）時，

|PF|+|尸圖取到最小值|幺尸|=，（3—I）?+（亞丁=5,

則?+2|尸幺|=2（|尸7口+|尸幺|）—2的最小值為2x5—2=8.故選：B.

7.A

【分析】根據錄用的人數，結合組合和排列的定義分類討論進行求解即可.

【詳解】若5人中有且僅有3人被錄用，滿足條件的錄用情況有A；=60種，

de4

若5人中有且僅有4人被錄用，滿足條件的錄用情況有C：-/A；=180種，

A2

C1^1r2C2

若人都被錄用，滿足條件的錄用情況有二^；；種，

5zAzA=150

八A2八A2

由分類加法計數原理可得符合要求的不同的錄用情況種數是390.故選：A.

8.D

【分析】根據給定條件，求出。2,結合幾何圖形及雙曲線定義可得△048的面積5=得解.

2

【詳解】由雙曲線C:￡—《=1（。＞0）的離心率為立，得'"F=旦，解得/=20,

a52a2

令直線片/交尸用的延長線交尸用于0,直線￡8交尸大于N,則尸41耳。，PBLF2N,

由尸/平分/月尸￡,且/耳尸乙=90。，得/PRQ=/PQK=/PF2N=/PNF?=45。,

^\pA\=^\pF^,\pB\=^\PF2\,\AB\=\PA\-\PB\=^-2a=42a,

顯然a5分別為線段耳Q,月N的中點，而。是月耳的中點，

于是04〃尸0,0B//PF,,Z0AB=ZAPQ=45°=ZAPF,=Z0BA,

72

即AAOB=90°,|OA|=|OB\=--\AB\=a,

11,

所以△048的面積5=7=io.故選：口.

【點睛】關鍵點點睛：本題求出△CM3面積的關鍵是作出點。,借助幾何圖形的特征，結合雙曲線定義求

得|N51=4.

9.ABC

【分析】根據條件，將問題轉化成即x-工<。在[4,61恒成立，令/(x)=x-L利用其單調性，求出/(x)

XX

的最大值，即可求解.

【詳解】因為“lce[4,6],――g—1>0”為假命題，所以Vxe[4,6],V一?一iwo恒成立，

即工—工4口在[4,6]恒成立，所以—工]且xe[4,6]

XkXmax

令/(x)=x—L易知/(幻=》—!在[4,6]上是增函數,

XJC

13535

所以/(、)max=/(6)=6—"，所以〃之高?故選：ABC.

000

10.AC

【分析】對A,根據樣本中心在回歸直線上即可求解；對B,從表格數據看，V隨X的增大而增大，即可判

斷；對C,因為y與X正相關，所以y與X的相關系數為正數，故可判斷；對D,將月份編號X=7代入到

回歸直線即可求解判斷.

*、*叼、._1+2+3+4+5,-50+96+。+185+227558+a

［詳解］對A,x=------------=3,y=--------------------=-------

5-55

因為點(只歹)在回歸直線上，所以55；+"=45X3+5,解得a=142,所以選項A正確;

對C,從表格數據看，》隨x的增大而增大，所以y與x正相關，所以選項C正確；

對B,因為y與x正相關，所以了與x的相關系數為正數，所以選項B錯誤；

對D,2022年7月對應的月份編號x=7,當x=7時，/=45x7+5=320,

所以2022年7月該手機商城的5G手機銷量約為320部，所以選項D錯誤.故選：AC.

11.AD

【分析】首先利用函數的奇偶性得到函數的對稱軸和對稱中心，結合關系式的變換得到函數周期判斷B,利

用特殊值代入判斷A,根據導函數判斷函數單調性結合關系式和偶函數定義判斷C,根據函數的關系式和單

調性判斷D.

【詳解】因為3x)為偶函數,

故函數圖象關于直線x=g對稱，/(2x+l)為奇函數,

f(-2x+1)=-f(2x+1)o/(-x+1)=-f(x+1),函數圖象關于(1,0)對稱，

對于D,/(x)=/(l—x)=—/(l+x),/(x+2)=—/(x+l)=/(x),故2是函數的周期，函數為周期函

數，故D正確；

對于A,/(—2x+l)=—/(2x+l),令x=0,/(I)=-/(I)-故/(D=0，

又/(0)=/(1-1)=/(1)=0,故A正確；

對于C,/1—g］=當時，/'(x)>0,即函數在上遞增，函數圖象

關于(1,0)對稱，故函數在上遞減，故函數在-gg上遞增，所以/［一：］0/［3］，故函數不

是偶函數，故C錯誤;

對于B,故B錯誤，故選：AD.

【點睛】抽象函數的判斷一般會從函數奇偶性、周期性和對稱性的定義推得相關的函數性質;

12.【詳解】由|工一2加|<1,得2加一1<%<2加+1,

因為是（（\x-2m|<1"的充分不必要條件,

所以集合｛x|l<x<2｝是集合｛x\2m-l<x<2m+l｝的真子集,

2m-1<1（不同時取等號），解得〈%

所以1K1,

2m+1>22

所以實數機的取值范圍為1〈根<1.故答案為：—<m<1.

22

13.128

17

【詳解】令x=0,得/+弓+g------Ftz7=2=128.

14.2

【分析】根據調和數列，可得｛4｝為等差數列，即可根據等差數列求和公式得益+&14=2,進而利用不

等式即可求解.

【詳解】數列二為調和數列，故x；=d，所以｛d｝為等差數列，

.XnJ

2227（X；+芻）x2022

由X；+X；+X；+…+x；022=2022,所以---------L--------=2022,

故X]+12022=2,所以Xp+12014=2,故Xg+%2014=222、9%2（）14'故*^9*^2014—J

4

由于（X9+12014J=￥+芻14+2X9X2O14=2+2苞%20144?

當且僅當/二工2014時等號成立，故%+工2014的最大值為2.故答案為：2.

15.【詳解】（1）/（4）=應?拓=4sin/,cos?2cos24

=sin24-百cos2/=2sin2A--

e、，，兀5兀—l,7T7147r

因為Ne—,——,所以2N——e—,——

46363

所以當22—§=3-,即幺=七"時，/(4)有最小值—

(2)因為/(4)=0,所以2sin12/—：J=0,所以2/—]=析，左eZ,

因為Ze[四,2],所以4=空.

146」3

由正弦定理，—^=^^=，-=￡=2,所以sin8=2,sinC=-.

sin5sinCsin/622

~T

又因為sin5+sinC=Y8,所以2+g=逅，得b+c=M,

2222

,,,11V33d3

由余弦定理有：a~=b"+c~-2bccosA,所以Z?c=3.所以S人/武=—bcsinZ=—x3x——=---.

AABC2224

16.【詳解】(1)如圖所示，連接

因為￡,尸分別是棱尸8,PC的中點，版以EFHBC,BC=2EF.

因為ADIIBC,BC=2AD,所以EF//AD,EF=AD,

所以四邊形/。尸￡是平行四邊形，則4E//DF.

因為/Eu平面NCE,。尸仁平面/CE,所以「打〃平面/CE.

(2)因為，平面P/8,PA、48u平面P/8,所以40,尸4,AD1AB,

又因為尸48,所以AP,AD兩兩垂直，

以工為坐標原點，AB,AP,40的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標

系.

由題中數據可得4(0,0,0),C(2,o,4).￡(1,2,0),就=(2,0,4),*=(1,2,0).

n-AC=2x+4z=0,

設平面/CE的法向量為為=（x/,z）,則＜

n-AE=x+2y=0,

令x=2,得萬=(2,—1,—1).

因為ABLAD,PA[}AD=A,所以平面P/D

平面PAD的一個法向量為2g=m=(1,0,0).

設平面NCE與平面P/D的夾角為仇

則cos0=|cos(H,m\|=.，?=~^==.故sin9=Vl-cos23=—,

11n\\m\J633

即平面NCE與平面尸ND的夾角的正弦值為J.

3

17.【詳解】（1）依題意，列出2x2列聯表如下:

課間不經常進行體育活動課間經常進行體育活動合計

男302050

女401050

合計7030100

零假設為區：性別與課間經常進行體育活動相互獨立，即性別與課間是否經常進行體育活動無關,

2_100x(30x10-20x40)2100

"—50x50x70x304.762>3.841=x005

根據小概率值二=0.05的獨立性檢驗，我們推斷/不成立，

即認為性別與課間是否經常進行體育活動有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

（2）由題意得，經常進行體育活動者的頻率為型=2,

505

所以在本校中隨機抽取1人為經常進行體育活動者的概率為g,

由題意得X?,貝|JP(X=左)=cf，左=0,1,2,3,4,

可得p（x=o）Yx[i：m祟

P(X=l)=C'x331喏尸一心||）『|）嘿，

尸(X=3)=C；x

X的分布列為：

X01234

812162169616

P

625625625625625

2Qn/n\

=xx24

X的數學期望為E（X）=np=4x—=—fX的方差為D（X）=np（l-p）4jll--1

"25,

18.【分析】（1）利用橢圓的第一定義和離心率，求解橢圓方程；

^^(x-1),聯立直線與

（2）設點/（西,必），8（彳2，%），c（x3,j3）,￡＞（X4,j4）,4g的方程為y=

X]-1

橢圓的方程，根據韋達定理求出點的坐標，同理得到點的坐標，進而得到直線的方程，根據對稱性，如果

直線。過定點，則該定點在X軸上，即可得到定點坐標[1,（））

【詳解】⑴由橢圓定義可知|2周+|4用=2a,|即|+忸用=2%

所以月的周長為4。=40,所以a=JL

又因為橢圓離心率為注，所以￡=注，所以c=i,

2a2

又^=02—2=i,所以橢圓的方程：土+『=1.

2

（2）（i）設點/（如乃），5（X2,J2）,C（x3,j3）,D（X4,J4）＞

則直線AF2的方程為j—1）,則x=紅二1v+1,

七一1%

x,—1

X=--y+1

‘再-1（1、

%玉一］

由<得,+2y2+2y-i=o,

X22i

巳+L1I必)I必)

-1一.V；

所以“3=

/王-1丫x：—2%]+1+2y：

+2

Y2

因為寸+>；=1,所以x：+2y；=2,所以/i%二，故為=

2再—32再—3

玉一11為T必門二3』4

又-----%+1=%=

必yx2xl-32xl-3

3x—4

同理,?

%=，4=

2%2—32X2-3

由A,F「2三點共線，得」一=必，所以/X_石%=%_%,

玉+1x2+1

必_y-y

直線的方程為y-43x—

2xl-3x4-x3

由對稱性可知，如果直線CD過定點，則該定點在x軸上,

f(七一￡)+(3再-4)(乂-%)

令y=0得，x-

(2x「3)(%-%)

(、

（3x「4）%必

、2%2-32再-3,

(2…'必必、

、2%2-32西—3,

陪堯鵬故直線.過定點〔h7

5

19?【分析】（1）求導后，分類討論單調性，進而得到最值，求出。的值即可;

（2）條件等價于"（x）=0有兩個不等的正根，結合判別式非負，以及韋達定理求出。的范圍，要證

~"“J—q+2<0,即證21nx2-