2025屆山西省呂梁市聯盛中學高二上數學期末復習檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若不等式組表示的區域為，不等式表示的區域為，向區域均勻隨機撒顆芝麻，則落在區域中的芝麻數約為（）A. B.C. D.2．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.3．在數列中，，，則（）A. B.C. D.4．已知雙曲線上的點到的距離為15，則點到點的距離為（）A.7 B.23C.5或25 D.7或235．已知點在橢圓上，與關于原點對稱，，交軸于點，為坐標原點，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.6．若拋物線x＝﹣my2的焦點到準線的距離為2，則m＝（）A.﹣4 B.C. D.±7．已知實數，滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.8．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則一定是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形9．若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知數列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.6411．平行六面體的各棱長均相等，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，為坐標原點，且，則（）A.4 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的前n項和為，且滿足通項公式，則________14．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______.15．觀察式子：，，，由此歸納，可猜測一般性的結論為______.16．某高中高二年級學生在學習完成數學選擇性必修一后進行了一次測試，總分為100分.現用分層隨機抽樣方法從學生的數學成績中抽取一個樣本量為40的樣本，再將40個成績樣本數據分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計成績樣本數據眾數，平均數，中位數；（2）在區間40，50）和90，100內的兩組學生成績樣本數據中，隨機抽取兩個進調查，求調查對象來自不同分組的概率.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，點在橢圓上，過的直線交橢圓于、兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求的面積的最大值.18．（12分）已知定點，動點滿足，設點的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）若點分別是圓和軌跡上的點，求兩點間的最大距離.19．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經過點與點.（1）求圓的方程；（2）過點作圓的切線，求切線所在的直線的方程.20．（12分）如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點.（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.21．（12分）已知橢圓C：，右焦點為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）設M，N是橢圓C上不同的兩點，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點，求|OT||MN|的取值范圍22．（10分）已知三棱柱的側棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】作出兩平面區域，計算兩區域的公共面積，利用幾何概型得出芝麻落在區域Γ內的概率，進而可得答案.【詳解】作出不等式組所表示的平面區域如下圖中三角形ABC及其內部，不等式表示的區域如下圖中的圓及其內部：由圖可得，A點坐標為點坐標為坐標為點坐標為.區域即的面積為，區域的面積為圓的面積，即，其中區域和區域不相交的部分面積即空白面積，所以區域和區域相交的部分面積，所以落入區域的概率為.所以均勻隨機撒顆芝麻，則落在區域中芝麻數約為.故選:A.2、D【解析】根據兩直線平行可得出關于實數的等式，由此可解得實數的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.3、A【解析】根據已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.4、D【解析】根據雙曲線的定義知，，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得焦點坐標，根據雙曲線的定義知，，而，所以或故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義及其應用，其中解答中熟記雙曲線的定義，列出方程是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.5、B【解析】由，得到，結合，得到，進而求得，得出，結合離心率的定義，即可求解.【詳解】設，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.故選：B.6、D【解析】把拋物線的方程化為標準方程，由焦點到準線的距離為，即可得到結果，得到答案.【詳解】由題意，拋物線，可得，又由拋物線的焦點到準線的距離為2，即，解得.故選D.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程，以及簡單的幾何性質的應用，其中解答中熟記拋物線的焦點到準線的距離為是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.7、A【解析】畫出不等式組所表示的平面區域，利用直線的斜率公式模型進行求解即可.【詳解】不等式組表示的平面區域如下圖所示：，代數式表示不等式組所表示的平面區域內的點與點連線的斜率，由圖象可知：直線的斜率最大，由，即，即的最大值為：，因此的最大值為，故選：A8、B【解析】利用余弦定理化角為邊，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，則，所以，所以是等腰三角形.故選：B.9、B【解析】根據斜率的取值范圍，結合來求得傾斜角的取值范圍.【詳解】設傾斜角為，因為，且，所以.故選：B10、A【解析】根據題中條件，得出數列公差，進而可求出結果.【詳解】由得，所以數列是以為公差的等差數列，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查等差數列的基本量運算，屬于基礎題型.11、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根據向量夾角公式求出【詳解】如圖所示：不妨設棱長為1，，，所以＝＝，，，即，故異面直線與所成角的余弦值為故選：B注意事項：1.將答案寫在答題卡上2.本卷共10小題，共80分.12、B【解析】依題意可得，設，根據可得，，根據為拋物線上一點，可得.【詳解】依題意可得，設，由得，所以，，所以，，因為為拋物線上一點，所以，解得.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量加法的坐標運算，考查了求拋物線方程，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由時，，可得，利用累乘法得，從而即可求解.【詳解】因為，所以時，，即，化簡得，又，所以，檢驗時也成立，所以，所以，故答案：.14、【解析】根據三視圖還原幾何體，由此計算出幾何體的體積.【詳解】根據三視圖可知，該幾何體為如圖所示三棱錐，所以該幾何體的體積為.故答案為：15、【解析】根據規律，不等式的左邊是個自然數倒數的平方的和，右邊分母是以2為首項，1為公差的等差數列，分子是以3為首項，2為公差的等差數列，由此可得結論【詳解】解：觀察可以發現，第個不等式左端有項，分子為1，分母依次為，，，，；右端分母為，分子成等差數列，首項為3，公差為2，因此第個不等式（）故答案為：（）16、（1）眾數；平均數，中位數.（2）.【解析】（1）按“眾數，平均數，中位數”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數取頻率分布直方圖中最高矩形對應區間的中點75；平均數；因為，所以中位數在區間上，且中位數【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區間40，50）和90，100內的成績樣本數據分別有4個和2個，從6個樣本選2個共有個結果，記事件A=“調查對象來自不同分組”，結果有所以.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的離心率、點在橢圓上以及得到的方程組，進而得到橢圓的標準方程；（2）設出直線方程，聯立直線和橢圓方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系和三角形的面積公式得到三角形的面積，再利用基本不等式求其最值.【小問1詳解】解：由題可得，且，將點代入橢圓方程，得，解得，，即橢圓方程為；【小問2詳解】解：由（1）可得，，設：，聯立，消去，得，設，，則，則所以，當且僅當，即時取等號，故的面積的最大值為.18、（1）（2）【解析】（1）設動點,根據條件列出方程，化簡求解即可；（2）設，求出圓心到軌跡上點的距離，配方求最值即可得解.【小問1詳解】設動點，則，，，又，∴，化簡得，即，∴動點的軌跡E的方程為.【小問2詳解】設，圓心到軌跡E上的點的距離∴當時，，∴.19、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段中點，進而得到線段的垂直平分線為，與聯立得交點，∴.則圓的方程可求（2）當切線斜率不存在時，可知切線方程為.當切線斜率存在時，設切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.試題解析：（1）線段的中點為，∵，∴線段的垂直平分線為，與聯立得交點，∴.∴圓的方程為.（2）當切線斜率不存在時，切線方程為.當切線斜率存在時，設切線方程為，即，則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.故滿足條件的切線方程為或.【點睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點弦等問題，解題的關鍵是利用圓的特性，利用點到直線的距離公式求解20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質即證；（2）利用坐標法，結合條件可求，然后利用體積公式即求.【小問1詳解】，是的中點，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小問2詳解】，，，取的中點，連接，則，平面，以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，由，取，得；設平面的一個法向量為，由，取，得，∵二面角的大小為，，解得，，則三棱錐的體積.21、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當直線的斜率不存在或為0，易求，當直線MN斜率存在且不為0時，設直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯立橢圓方程并應用韋達定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問2詳解】當直線MN斜率為0時，不妨取直線MN為??=，則，此時，則；當直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時，則；當直線MN斜率存在且不為0時，設直線MN的方程為：，，因為直線MN與圓相切，所以，即，又因為直線MN與橢圓C交于M，N兩點：由，得，則，所以MN中點T坐標為，則，，所以又，當且僅當，即取等號，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].22、(1)見解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個平面的法向量，利用兩個向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系.根據條件容易求出