江蘇省丹陽市2025屆數學高二上期末考試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題p：函數在（0，1）內恰有一個零點；命題q：函數在上是減函數，若p且為真命題，則實數的取值范圍是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>22．已知函數f（x）的定義域為[－1，5]，其部分自變量與函數值的對應情況如下表：x－10245f（x）312.513f（x）的導函數的圖象如圖所示．給出下列四個結論：①f（x）在區間[－1，0]上單調遞增；②f（x）有2個極大值點；③f（x）的值域為[1，3]；④如果x∈[t，5]時，f（x）的最小值是1，那么t的最大值為4其中，所有正確結論的序號是（）A.③ B.①④C.②③ D.③④3．已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如圖所示，則該函數的圖象是（）A. B.C. D.4．如圖是拋物線拱形橋，當水面在時，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結果精確到）（參考數值：）A B.C. D.5．已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且的坐標為，則的最小值是A. B.C. D.6．設，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且7．已知函數，若對任意兩個不等的正數，，都有恒成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.8．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且，點N為BC中點，則（）A. B.C. D.9．將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.10．下列說法或運算正確的是（）A.B.用反證法證明“一個三角形至少有兩個銳角”時需設“一個三角形沒有銳角”C.“，”的否定形式為“，”D.直線不可能與圓相切11．如圖，把橢圓的長軸分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點，F是橢圓C的右焦點，則（）A.20 B.C.36 D.3012．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數是R上的單調遞增函數，則a的取值范圍是______14．已知曲線與曲線有相同的切線，則________15．已知函數（1）若時函數有三個互不相同的零點，求實數的取值范圍；（2）若對任意的，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍16．若點為圓上的一個動點，則點到直線距離的最大值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知p：方程所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓；q：當時，函數恒成立.（1）若p為真，求實數t的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實數t的取值范圍18．（12分）已知圓與（1）過點作直線與圓相切，求的方程；（2）若圓與圓相交于、兩點，求的長19．（12分）2020年10月，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發了《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，某地積極開展中小學健康促進行動，發揮以體育智、以體育心功能，決定在2021年體育中考中再增加一定的分數，規定：考生須參加立定跳遠、擲實心球、一分鐘跳繩三項測試，其中一分鐘跳繩滿分20分，某校為掌握九年級學生一分鐘跳繩情況，隨機抽取了100名學生測試，其一分一分鐘跳繩個數成績(分)1617181920頻率（1）若每分鐘跳繩成績不足18分，則認為該學生跳繩成績不及格，求在進行測試的100名學生中跳繩成績不及格的人數為多少？（2）該學校決定由這次跳繩測試一分鐘跳繩個數在205以上(包括205)的學生組成“小小教練員"團隊，小明和小華是該團隊的成員，現學校要從該團隊中選派2名同學參加某跳繩比賽，求小明和小華至少有一人被選派的概率20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，，為側棱包含端點上的動點.（1）當時，求證平面；（2）當直線與平面所成角的正弦值為時，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，是中點.（1）求點到平面的的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值；22．（10分）已知圓，圓心在直線上（1）求圓的標準方程；（2）求直線被圓截得的弦的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】命題p為真時：；命題q為真時：，因為p且為真命題，所以命題p為真，命題q為假，即，選C考點：命題真假2、D【解析】直接利用函數的導函數的圖像，進一步畫出函數的圖像，進一步利用函數的性質的應用求出函數的單調區間，函數的極值和端點值可得結論【詳解】解：由f（x）的導函數的圖像，畫出的圖像，如圖所示，對于①，在區間上單調遞減，所以①錯誤，對于②，有1個極大值點，2個極小值點，所以②錯誤，對于③，根據函數的極值和端點值可知的值域為，所以③正確，對于④，如果x∈[t，5]時，由圖像可知，當f（x）的最小值是1時，t的最大值為4，所以④正確，故選：D3、A【解析】利用導數與函數的單調性之間的關系及導數的幾何意義即得.【詳解】由函數f(x)的導函數y＝f′(x)的圖像自左至右是先減后增，可知函數y＝f(x)圖像的切線的斜率自左至右先減小后增大，且，在處的切線的斜率為0，故BCD錯誤，A正確.故選：A.4、C【解析】先建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，將點坐標代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C5、C【解析】由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角∴當最小時，最小，則當和拋物線相切時，最小設切點，由的導數為，則的斜率為.∴，則.∴，∴故選C點睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質，與焦點、準線有關的問題一般情況下都與拋物線的定義有關，解決這類問題一定要注意點到焦點的距離與點到準線的距離的轉化，這樣可利用三角形相似，直角三角形中的銳角三角函數或是平行線段比例關系可求得距離弦長以及相關的最值等問題.6、C【解析】根據否命題的定義直接可得.【詳解】根據否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.7、A【解析】將已知條件轉化為時恒成立，利用參數分離的方法求出a的取值范圍【詳解】對任意都有恒成立，則時，，當時恒成立，

，當時恒成立，，故選：A8、B【解析】利用空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B9、B【解析】由題意知直線的斜率為，設其傾斜角為，將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設其傾斜角為，則，將直線繞著原點逆時針旋轉，則故新直線的斜率是.故選：B.10、D【解析】對于A：可以解決；對于B:“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”；對于C：全稱否定必須是全部否定；對于D：需要觀察出所給直線是過定點的.【詳解】A：，故錯誤；B：“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”，所以用反證法時應假設只有一個銳角和沒有銳角兩種情況，故錯誤；C：的否定形式是，故錯誤；D：直線是過定點（-1，0），而圓，圓心為（2，0），半徑為4，定點（-1，0）到圓心的距離為2-（-1）=3＜4，故定點在圓內，故正確；故選：D.11、D【解析】由橢圓的對稱性可知，，代入計算可得答案.【詳解】設橢圓左焦點為，連接由橢圓的對稱性可知，，所以.故選：D.12、D【解析】根據題意，由雙曲線的標準方程可得雙曲線的焦點坐標以及漸近線方程，由點到直線的距離公式計算可得答案.【詳解】解：根據題意，雙曲線的方程為，其焦點坐標為，其漸近線方程為，即，則其焦點到漸近線的距離；故選D.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點坐標.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】對求導，由題設有恒成立，再利用導數求的最小值，即可求a的范圍.【詳解】由題設，，又在R上的單調遞增函數，∴恒成立，令，則，∴當時，則遞減；當時，則遞增.∴，故.故答案為：.14、0【解析】設切點分別為，．利用導數的幾何意義可得，則．由，，計算可得，進而求得點坐標代入方程即可求得結果.【詳解】設切點分別為，由題意可得，則，即因為，，所以，即，解得，所以，則，解得故答案為：015、（1）（2）【解析】（1）將函數有三個互不相同的零點轉化為有三個互不相等的實數根，令，求導確定單調性求出極值即可求解；（2）求導確定單調性，結合以及得，由得，結合二次函數單調性求出最小值即可求解.【小問1詳解】當時，．函數有三個互不相同的零點，即有三個互不相等的實數根令，則，令得或，在和上均減函數，在上為增函數，極小值為，極大值為，的取值范圍是；【小問2詳解】，且，當或時，；當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為當時，，又，，又，又在上恒成立，即，即當時，恒成立在上單減，故最小值為，的取值范圍是16、7【解析】根據給定條件求出圓C的圓心C到直線l的距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點C到直線的距離，所以圓C上點P到直線l距離的最大值為.故答案為：7三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)由給定條件結合橢圓標準方程的特征列不等式求解作答.(2)求命題q真時的t值范圍，再借助“或”聯結的命題為真命題求解作答.【小問1詳解】因方程所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓，則有，解得，所以實數t的取值范圍是.【小問2詳解】，則有，當且僅當，即時取“=”，即，因當時，函數恒成立，則，解得，命題q為真命題有，因為假命題，且為真命題，則與一真一假，當p真q假時，，當p假q真時，，所以實數t的取值范圍是.18、（1）或（2）【解析】（1）根據已知可得圓心與半徑，再利用幾何法可得切線方程；（2）聯立兩圓方程可得公共弦方程，進而可得弦長.【小問1詳解】解：圓的方程可化為：，即：圓的圓心為，半徑為若直線的斜率不存在，方程為：，與圓相切，滿足條件若直線的斜率存在，設斜率為，方程為：，即：由與圓相切可得：，解得：所以的方程為：，即：綜上可得的方程為：或【小問2詳解】聯立兩圓方程得：，消去二次項得所在直線的方程：，圓的圓心到的距離，所以.19、（1）14人；（2）.【解析】（1）根據頻率直方表區間成績及其對應的頻率，即可求每分鐘跳繩成績不足18分的人數.（2）由表格數據求出一分鐘跳繩個數在205以上(包括205)的學生共6人，列舉出六人中選兩人參加比賽的所有情況、小明和小華至少有一個被選派的情況，由古典概型的概率求法即可得小明和小華至少有一人被選派的概率.【詳解】（1）由表可知，每分鐘跳繩成績不足18分，即為成績是16分或17分，在進行測試的100名學生中跳繩成績不及格人數為：人)（2）一分鐘跳繩個數在205以上(包括205)的學生頻率為，其人數為：(人)，記小明為，小華為，其余四人為，則在這六人中選兩人參加比賽的所有情況為：，共15種，其中小明和小華至少有一個被選派的情況有：，共9種，小明和小華至少有一人被選派的概率為：.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于，連接，證得，從而證得平面；（2）過作于，以為原點，建立空間直角坐標系，設，求面的法向量，由直線與平面所成角的正弦值為，求得的值，再用向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解：（1）連接交于，連接，由題意，∵，∴，∴，又面，面，∴面.（2）過作于，則在中，，，，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，，，，，，設向量為平面的一個法向量，則由，有，令，得；記直線與平面所成的角為，則，解得，此時；設向量為平面的一個法向量則由，有，令，得；∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面平行的判定與證明，用向量法求線面角，二面角，還考查了學生的分析能力，空間想象能力，運算能力，屬于中檔題.21、（1）（2）【解析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為，再利用公式計算即可；（2）易得平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，再利用計算即可小問1詳解】解：（1）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系所以因為，設平面的法向量為，則有，得，令則，所以可以取，設點到平面的距離為，則，所以點到平面的的距離的距離為；【小問2詳解】（2）因為平面，取平面的法向量為設平面與平面的夾角