2025屆江蘇省泰興市洋思中學數學高二上期末學業水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線的焦點作直線l，交拋物線與A、B兩點，若線段中點的縱坐標為3，則等于（）A.10 B.8C.6 D.42．已知，記M到x軸的距離為a，到y軸的距離為b，到z軸的距離為c，則（）A. B.C. D.3．已知，是雙曲線C：（，）的兩個焦點，過點與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.4．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．橢圓與(0<k<9)的（）A.長軸的長相等B.短軸的長相等C.離心率相等D.焦距相等6．設是雙曲線與圓在第一象限的交點，，分別是雙曲線的左，右焦點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．2018年，倫敦著名的建筑事務所steynstudio在南非完成了一個驚艷世界的作品一一雙曲線建筑的教堂，白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設計元素賦予了這座教堂輕盈，極簡和雕塑般的氣質，如圖．若將此大教堂外形弧線的一段近似看成焦點在y軸上的雙曲線下支的一部分，且該雙曲線的上焦點到下頂點的距離為18，到漸近線距離為12，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．復數的共軛復數是A. B.C. D.9．在平面直角坐標系xOy中，過x軸上的點P分別向圓和圓引切線，記切線長分別為．則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.510．過兩點、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.11．過拋物線的焦點作互相垂直的弦，則的最小值為（）A.16 B.18C.32 D.6412．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，．若雙曲線右支上存在點，使得與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某單位現有三個部門競崗，甲、乙、丙三人每人只競選一個部門，設事件A為“三人競崗部門都不同”，B為“甲獨自競崗一個部門”，則______.14．若向量滿足，則_________.15．正四棱柱的高為底面邊長的倍，則其體對角線與底面所成角的大小為_________.16．已知為拋物線：的焦點，為拋物線上在第一象限的點.若為的中點，為拋物線的頂點，則直線斜率的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）森林資源是全人類共有的寶貴財富，其在改善環境，保護生態可持續發展方面發揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會上通過視頻發表題為《繼往開來，開啟全球應對氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實現這一目標，某地林業管理部門著手制定本地的森林蓄積量規劃.經統計，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風和發展經濟的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請寫出一個遞推公式，表示二間的關系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數；（3）為了實現本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數據：，，）18．（12分）已知函數．其中e為然對數的底數（1）若，求函數的單調區間；（2）若，討論函數零點個數19．（12分）已知數列滿足，，，.從①，②這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面問題.（1）寫出、，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）設函數（I）求曲線在點處的切線方程；（II）設，若函數有三個不同零點，求c的取值范圍21．（12分）設命題方程表示中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線；命題，，若“”為假命題，“”為真命題，求實數的取值范圍.22．（10分）已知O為坐標原點，點P在拋物線C：上，點F為拋物線C的焦點，記P到直線的距離為d，且.（1）求拋物線C的標準方程；（2）若過點的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據拋物線的定義求解【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，設，則，所以，故選：B2、C【解析】分別求出點M在x軸，y軸，z軸上的投影點的坐標，再借助空間兩點間距離公式計算作答.【詳解】設點M在x軸上的投影點，則，而x軸的方向向量，由得：，解得，則，設點M在y軸上的投影點，則，而y軸的方向向量，由得：，解得，則，設點M在z軸上的投影點，則，而z軸的方向向量，由得：，解得，則，所以.故選：C3、B【解析】根據等腰直角三角形的性質，結合雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】由題意不妨設，，當時，由，不妨設，因為是等腰直角三角形，所以有，或舍去，故選：B4、D【解析】設出雙曲線方程，通過做標準品和雙曲線與圓O的交點將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設雙曲線的方程為，則，因為AB＝BC＝CD，所以，所以，因為坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D5、D【解析】根據橢圓方程求得兩個橢圓的，由此確定正確選項.【詳解】橢圓與(0<k<9)的焦點分別在x軸和y軸上，前者a2＝25，b2＝9，則c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，則顯然只有D正確故選：D6、B【解析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據勾股定理求出結果.【詳解】解：根據雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【點睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質即可，屬于常考題型.7、A【解析】設出雙曲線的方程，根據已知條件列出方程組即可求解.【詳解】設雙曲線的方程為，由雙曲線的上焦點到下頂點的距離為18，即，上焦點的坐標為，其中一條漸近線為，上焦點到漸近線的距離為，則，解得，，即，故選：.8、B【解析】因,故其共軛復數.應選B.考點：復數的概念及運算.9、D【解析】利用兩點間的距離公式，將切線長的和轉化為到兩圓心的距離和，利用三點共線距離最小即可求解.詳解】，圓心，半徑，圓心，半徑設點P，則，即到與兩點距離之和的最小值，當、、三點共線時，的和最小，即的和最小值為.故選：D【點睛】本題考查了兩點間的距離公式，需熟記公式，屬于基礎題.10、D【解析】利用斜率公式可得出關于實數的等式與不等式，由此可解得實數的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.11、B【解析】根據拋物線方程求出焦點坐標，分別設出，所在直線方程，與拋物線方程聯立，利用根與系數的關系及弦長公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【詳解】拋物線的焦點，設直線的直線方程為，則直線的方程為.，，，.由，得，，同理可得..當且僅當，即時取等號.所以的最小值為.故選：B12、B【解析】利用漸近線方程和直線解出Q點坐標，再由得P點坐標，代入雙曲線方程得到a、b、c的齊次式可解.【詳解】如圖，因為與漸近線垂直所以的斜率為，方程為解的Q的坐標為設P點坐標為則，因為，所以，得點P坐標為，代入得：所以，即所以漸近線方程為故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.5【解析】根據給定條件求出事件B和AB的概率，再利用條件概率公式計算作答.【詳解】依題意，，，所以.故答案：14、【解析】根據題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.15、##【解析】如圖所示，其體對角線與底面所成角為，解三角形即得解.【詳解】解：如圖所示，設，所以.由題得平面,則其體對角線與底面所成角為,因為,所以.故答案為：16、1【解析】由題意，可得，設，，，根據是線段的中點，求出的坐標，可得直線的斜率，利用基本不等式即可得結論【詳解】解：由題意，可得，設，，，，是線段的中點，則，，，當且僅當時取等號，直線的斜率的最大值為1故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【解析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數；（3）若實現翻兩番的目標，則，根據遞推公式，計算的最大值.【詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因為，且，所以，由（2）可知，所以，即數列是以為首項，為公比的等比數列，其通項公式：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數列的第10項，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達到翻兩番的目標，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.【點睛】方法點睛：遞推公式求通項公式，有以下幾種方法：

型如：的數列的遞推公式，采用累加法求通項；

形如：的數列的遞推公式，采用累乘法求通項；

形如：的遞推公式，通過構造轉化為，構造數列是以為首項，為公比的等比數列，

形如：的遞推公式，兩邊同時除以，轉化為的形式求通項公式；

形如：，可通過取倒數轉化為等差數列求通項公式.18、（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為和；（2）當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點.【解析】(1)求導，令導數大于零求增區間，令導數小于零求減區間；(2)求導數，分、、a＞2討論函數f(x)單調性和零點即可.【小問1詳解】當時，，易知定義域為R，，當時，；當或時，故的單調遞減區間為，單調遞增區間為和；【小問2詳解】當時，x正0負0正單增極大值單減極小值單增當時，恒成立，∴；當時，①當時，，∴無零點；②當時，，∴有1個零點；③當時，，又當時，單調遞增，，∴有2個零點；綜上所述：當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點【點睛】結論點睛：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題．(4)考查數形結合思想的應用19、（1）條件選擇見解析，，，（2）【解析】（1）選①，推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得，并可求得、；選②，推導出數列是等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分為偶數、奇數兩種情況討論，結合并項求和法以及等比數列求和公式可求得.【小問1詳解】解：若選①，，且，故數列是首項為，公比為的等比數列，，故；若選②，，所以，，且，故數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，，故，所以，，故，.【小問2詳解】解：由（1）可知，則，所以，.當為偶數時，；當為奇數時，.綜上所述，.20、（1）（2）【解析】（1）由導數幾何意義得切線斜率為，再根據點斜式寫切線方程；（2）由函數圖像可知，極大值大于零且極小值小于零，解不等式可得c的取值范圍試題解析：解：（I）由，得因為，，所以曲線在點處的切線方程為（II）當時，，所以令，得，解得或與在區間上的情況如下：所以，當且時，存在，，，使得由的單調性知，當且僅當時，函數有三個不同零點21、【解析】求出當命題、分別為真命題時實數的取值范圍，分析可知、中一真一假，分真假、假真兩種情況討論，求出對應的實數的取值范圍，綜合可得結果.【詳解】解：若為真命題，則，即，解得，若為真命題，則，解得，因為“”為假命題，“