上海市華師大三附中2025屆高二數學第一學期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A.8 B.9C.27 D.362．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.根據國家有關規定：100血液中酒精含量在20~80之間為酒后駕車，80及以上為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經過的小時數約為（）（參考數據：，）A.6 B.7C.8 D.93．已知圓與圓外切，則（）A. B.C. D.4．過雙曲線（，）的左焦點作圓：的兩條切線，切點分別為，，雙曲線的左頂點為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．已知等差數列，，，則數列的前項和為（）A. B.C. D.6．今天是星期四，經過天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六7．運行如圖所示程序后，輸出的結果為（）A.15 B.17C.19 D.218．如圖所示，向量在一條直線上，且則()A. B.C. D.9．已知等差數列且，則數列的前13項之和為（）A.26 B.39C.104 D.5210．有一個圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點，則關于下列命題：①鉛垂的側面積為150cm2；②一只螞蟻從P點出發沿鉛垂側面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確11．某老師希望調查全校學生平均每天的自習時間.該教師調查了60位學生，發現他們每天的平均自習時間是3.5小時.這里的總體是（）A.楊高的全校學生；B.楊高的全校學生的平均每天自習時間；C.所調查的60名學生；D.所調查的60名學生的平均每天自習時間.12．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數列滿足，，，則公差______14．函數的圖象在點處的切線方程為______15．將邊長為2的正方形繞其一邊所在的直線旋轉一周，所得的圓柱體積為________.16．已知，分別是橢圓和雙曲線的離心率，，是它們的公共焦點，M是它們的一個公共點，且，則的最大值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數列的前n項和為，，（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入n個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這n個數之和為，求數列的前n項和18．（12分）設命題，，命題，.若p、q都為真命題，求實數m的取值范圍.19．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PA⊥AD，且E、F分別是AC、PB的中點（1）證明：EF∥平面PCD；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC20．（12分）設橢圓：（）的離心率為，橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4.（1）求橢圓的方程；（2）已知過的直線與橢圓交于、兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的最大值.21．（12分）新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數是歲以上人群.該病毒進入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現臨床癥狀的這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可能性越高.現對個病例的潛伏期(單位：天)進行調查，統計發現潛伏期平均數為，方差為.如果認為超過天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統計樣本，得到下面的列聯表：年齡/人數長期潛伏非長期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080（1）是否有的把握認為“長期潛伏”與年齡有關；（2）假設潛伏期服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.（i）現在很多省市對入境旅客一律要求隔離天，請用概率知識解釋其合理性；（ii）以題目中的樣本頻率估計概率，設個病例中恰有個屬于“長期潛伏”的概率是，當為何值時，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，則，，.22．（10分）已知函數，（），（1）若曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a,b的值（2）當時，若函數在區間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】執行程序框圖，第一次循環，，滿足；第二次循環，，滿足；第三次循環，，不滿足，輸出，故選B.【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區分程序框圖是條件分支結構還是循環結構；(3)注意區分當型循環結構和直到型循環結構；(4)處理循環結構的問題時一定要正確控制循環次數；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.2、C【解析】根據題意列出不等式，利用指對數冪的互化和對數的運算公式即可解出不等式.【詳解】設該駕駛員至少需經過x個小時才能駕駛汽車，則，所以，則，所以該駕駛員至少需經過約8個小時才能駕駛汽車.故選：C3、D【解析】根據兩圓外切關系，圓心距離等于半徑的和列方程求參數.【詳解】由題設，兩圓圓心分別為、，半徑分別為1、r，∴由外切關系知：，可得.故選：D.4、C【解析】根據，，可以得到，從而得到與的關系式，再由，，的關系，進而可求雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由，，則是圓的切線，，，，所以，因為雙曲線的漸近線方程為，即為故選：C5、A【解析】求出通項，利用裂項相消法求數列的前n項和.【詳解】因為等差數列，，，所以，所以，所以數列的前項和為故B，C，D錯誤.故選：A.6、C【解析】求出二項式定理的通項公式，得到除以7余數是1，然后利用周期性進行計算即可【詳解】解：一個星期的周期是7，則，即除以7余數是1，即今天是星期四，經過天后是星期五，故選：7、D【解析】根據給出的循環程序進行求解，直到滿足，輸出.【詳解】，，，，，，，，，，，，所以.故選：D8、D【解析】根據向量加法的三角形法則得到化簡得到故答案為D9、A【解析】根據等差數列的性質化簡已知條件可得的值，再由等差數列前項和及等差數列的性質即可求解.【詳解】由等差數列的性質可得：，，所以由可得：，解得：，所以數列的前13項之和為，故選：A10、C【解析】根據圓錐的側面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯誤.將其側面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數為,作，，又,,cm,②正確.故選：C11、B【解析】由總體的概念可得答案.【詳解】某老師希望調查全校學生平均每天的自習時間，該教師調查了60位學生，發現他們每天的平均自習時間是3.5小時，這里的總體是全校學生平均每天的自習時間.故選：B.12、D【解析】根據互相垂直兩直線的斜率關系進行求解即可.【詳解】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因為直線與直線垂直，所以，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據等差數列性質求得，再根據題意列出相關的方程組，解得答案.【詳解】為等差數列，故由可得：，即，故，故，所以，解得，故答案為：214、【解析】求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】因為，則，所以，，，故所求切線方程為，即.故答案為：.15、【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據圓柱的體積公式計算可得；【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以；故答案為：16、【解析】利用橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理找到的關系，然后利用三角換元求最值即可.【詳解】解析：設橢圓的長半軸為a，雙曲線的實半軸為，半焦距為c，設，，，因為，所以由余弦定理可得，①在橢圓中，，①化簡為，即，②在雙曲線中，，①化簡為，即，③聯立②③得，，即，記，，，則，當且僅當，即，時取等號故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)設等比數列公比為q，利用與關系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據等差數列前n項和公式可求，分析{}的通項公式，利用錯位相減法求其前n項和.【小問1詳解】設等比數列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數列的通項公式為；【小問2詳解】由題意知在與之間插入n個數，這個數組成以為首項的等差數列，∴，設{}前n項和為，①①×3：②①－②：18、【解析】先求出命題為真時，的取值范圍，再取交集可得答案.【詳解】若命題，為真命題，則，解得；若命題，為真命題，則命題，為假命題，即方程無實數根，因此，，解得.又p、q都為真命題，所以實數m的取值范圍是.【點睛】本題考查全稱命題與特稱命題的真假求參數值、一元二次函數的性質，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)連結，證明EF∥PD即可；(2)證明BD⊥平面PAC即可【小問1詳解】連結，則是的中點，又是的中點，，又平面，面，平面【小問2詳解】∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB、AD平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PA⊥BD，是菱形，，又，平面，又平面，∴平面平面﹒20、（1）；（2）6.【解析】（1）本小題根據題意先求，，，再求橢圓的標準方程；（2）本小題先設過的直線的方程，再根據題意表示出四邊形的面積，最后求最值即可.【詳解】解：（1）∵橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4，∴即，∵，∴，又∵，∴.∴橢圓的標準方程為；（2）設點、的坐標為，，因為直線過點，所以可設直線方程為，聯立方程，消去可得：，化簡整理得，其中，所以，，因為，所以四邊形是平行四邊形，設平面四邊形的面積為，則，設，則（），所以，因為，所以，，所以四邊形面積的最大值為6.【點睛】本題考查橢圓的標準方程，相交弦等問題，是偏難題.21、（1）有；（2）（i）答案見解析；（ii）250.【解析】（1）根據列聯表中的數據，利用求得，與臨界表值對比下結論；（2）(ⅰ)根據，利用小概率事件判斷；(ⅱ)易得一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，進而得到，然后判斷其單調性求解.【詳解】（1）依題意有，由于，故有的把握認為“長期潛伏”與年齡有關；（2）(ⅰ)若潛伏期，由，得知潛伏期超過天的概率很低，因此隔離天是合理的；(ⅱ)由于個病例中有個屬于長潛伏期，若以樣本頻率估計概率，一個患者屬于“長潛伏期”的概率是，于是，則，，當時，；當時，；∴，.故當時，取得最大值.【點睛】方法點睛：利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發生的概率是一個常數p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發生了k次的概率22、【解析】（1）求a,b