江蘇省蘇州市重點名校2025屆高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點，點在拋物線上，過點的直線與直線垂直相交于點，，則的值為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C上一點，，直線與y軸交于點Q，若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.4．設拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，是上一點，若，則（）A. B.C. D.5．已知的周長為，頂點、的坐標分別為、，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.6．下列命題是真命題的個數(shù)為（）①不等式的解集為②不等式的解集為R③設，則④命題“若，則或”為真命題A1 B.2C.3 D.47．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.18．設雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.49．在平面直角坐標系xOy中，點（0,4）關于直線x－y+1＝0的對稱點為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)10．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.11．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.12．設函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知AB，CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且，若該圓柱的底面圓直徑是其母線長的2倍，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為______14．半徑為的球的體積為_________15．曲線在點處的切線方程為_____________.16．若橢圓：的長軸長為4，焦距為2，則橢圓的標準方程為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m，交橢圓于A，B兩個不同點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求m的取值范圍；（Ⅲ）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.18．（12分）某市為加強市民對新冠肺炎的知識了解，面向全市征召義務宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），共5人，第2組[25，30），共35人，第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求a的值；（2）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場宣傳活動，且該市決定在第3，4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第3組至少有-名志愿者被抽中的概率.19．（12分）已知點、分別是橢圓C：）的左、右焦點，點P在橢圓C上，當∠PF1F2=時，面積達到最大，且最大值為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l：與橢圓C交于A、B兩點，求面積的最大值.20．（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA?PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．求證：（1）EF//平面PCD；（2）平面PAB?平面PCD21．（12分）已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過點，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率，若不能，說明理由22．（10分）已知定點，動點與連線的斜率之積.（1）設動點的軌跡為，求的方程；（2）若是上關于軸對稱的兩個不同點，直線與軸分別交于點.試判斷以為直徑的圓是否過定點，如經(jīng)過，求出定點坐標；如不過定點，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題，由于過拋物線上一點的直線與直線垂直相交于點，可得，又，故，所以的坐標為，由余弦定理可得.故選：D.考點：拋物線的定義、余弦定理【點睛】本題主要考查拋物線的定義與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題2、B【解析】由題意可設且，即得a、b的數(shù)量關系，進而求雙曲線C的漸近線方程.【詳解】由題設，，，又，P為雙曲線C上一點，∴，又，為的中點，∴，即，∴雙曲線C的漸近線方程為.故選：B.3、A【解析】根據(jù)遞推關系依次求出即可.【詳解】，，，，，.故選：A.4、D【解析】求出拋物線的準線方程，可得出點的坐標，利用拋物線的定義可求得點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結果.【詳解】易知拋物線焦點為，準線方程為，可得準線與軸的交點，設點，由拋物線的性質，，可得，所以，，解得，即點，所以.故選：D.5、D【解析】分析可知點的軌跡是除去長軸端點的橢圓，求出、的值，結合橢圓焦點的位置可得出頂點的軌跡方程.【詳解】由已知可得，，且、、三點不共線，故點的軌跡是以、為焦點，且除去長軸端點的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點的軌跡方程為.故選：D.6、B【解析】舉反例判斷A，解一元二次不等式確定B，由導數(shù)的運算法則求導判斷C，利用逆否命題判斷D【詳解】顯然不是的解，A錯；，B正確；，，C錯；命題“若，則或”的逆否命題是：若且，則，是真命題，原命題也是真命題，D正確真命題個數(shù)2.故選：B7、B【解析】由可得拋物線標椎方程為：，由焦點和準線方程即可得解.【詳解】由可得拋物線標準方程為：，所以拋物線的焦點為，準線方程為，所以焦點到準線的距離為，故選：B【點睛】本題考了拋物線標準方程，考查了焦點和準線相關基本量，屬于基礎題.8、B【解析】根據(jù)可得關于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因為可化為，所以，則.故選：B.【點睛】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，屬于基礎題.9、D【解析】設出點(0,4)關于直線的對稱點的坐標，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設點(0,4)關于直線x－y+1＝0的對稱點是(a,b),則，解得：，故選：D10、D【解析】設直線傾斜角為，則，即可求出.【詳解】設直線的傾斜角為，則，又因為，所以.故選：D.11、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.12、A【解析】根據(jù)導數(shù)得出在的單調性，進而由單調性得出大小關系.【詳解】因為，所以在上單調遞增.因為，所以，而，所以.因為，且，所以.即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】取CD的中點O，以O為原點，以CD所在直線為x軸，以底面內過點O且與CD垂直的直線為y軸，以過點O且與底面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設，則，，，，，，所以，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為故答案為：14、【解析】根據(jù)球的體積公式求解【詳解】根據(jù)球的體積公式【點睛】球的體積公式15、【解析】求導，求出切線斜率，進而寫出切線方程.【詳解】，則，故切斜方程為：，即故答案為：16、【解析】由焦距可得c，長軸長得到a，再根據(jù)可得答案.【詳解】因為橢圓的長軸長為4，則，焦距為2，由，得，則橢圓的標準方程為：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）設出橢圓方程，根據(jù)題意得出關于的方程組，從而求得橢圓的方程；（Ⅱ）根據(jù)題意設出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立消元，根據(jù)直線與橢圓方程有兩個不同交點，利用即可求出m取值范圍；（Ⅲ）設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，根據(jù)題意把所證問題轉化為證明k1+k2=0即可.【詳解】（1）設橢圓方程為，由題意可得，解得，∴橢圓方程為；（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，，所以設直線的方程為，由消元，得∵直線l與橢圓交于A，B兩個不同點，所以，解得，所以m的取值范圍為.（Ⅲ）設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，設，由（Ⅱ）可知，則，由，而，，故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.18、（1）0.04；（2）.【解析】（1）根據(jù)頻率的計算公式，結合概率之和為1，即可求得參數(shù)；（2）根據(jù)題意求得抽樣比以及第三組和第四組各抽取的人數(shù)，再列舉所有可能抽取的情況，找出滿足題意的情況，利用古典概型的概率計算公式即可求得結果.【小問1詳解】第一組頻率為，第二組的頻率為，則第一組與第二組的頻率之和為，又，故.【小問2詳解】第3組的人數(shù)為，第4組的人數(shù)為，第5組的人數(shù)為，因為第3，4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志題者中抽收6名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：；第4組：；第5組：.記第3組的3名志愿者為，第4組的2名志愿者為，則從5名志愿者中抽取2名志愿者有：，，共有10種其中第3組的3名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有：，共9種.所以第3組至少有一名志愿者被抽中的概率為.19、（1）（2）3【解析】（1）根據(jù)焦點三角形的性質可求出，從而可得標準方程,（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用公式表示三角形面積，從而可求面積的最大值.小問1詳解】△PF1F2面積達到最大時為橢圓的上頂點或下頂點，而此時∠PF1F2=，故面積最大時為等邊三角形，故，因面積的最大值為，故，故，故橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】設，則由可得，此時恒成立.而，到的距離為,故的面積，令，設，則，故在上為增函數(shù)，故即的最大值為3.20、（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）取BC中點G，連結EG，F(xiàn)G，推導出，，從而平面平面，由此能得出結論；（2）推導出，從而平面PAD，即得，結合得出平面PCD，由此能證明結論成立.【詳解】（1）取BC中點G，連結EG，F(xiàn)G，∵E，F(xiàn)分別是AD，PB的中點，∴，，∴面，面，∵，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）因為底面ABCD為矩形，所以，又因為平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD因為平面PAD，所以.又因為，，所以平面PCD因為平面PAB，所以平面平面PCD【點睛】本題考查線線垂直、線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.21、（1）證明見解析（2）能為平行四邊形；斜率為4－或4＋【解析】（1）設兩點坐標，由點差法證明（2）求出兩點坐標，由平行四邊形的幾何性質判斷【小問1詳解】設的斜率為,，兩式相減可得，即故【小問2詳解】由（1）得的直線為，直線方程為聯(lián)立，解得聯(lián)立解得若四邊形OAPB為平行四邊形，則對角線互相平分為中點，解得，經(jīng)檢驗，均符合題意故四邊形OAPB能為平行四邊形，此時斜率為4－或4＋22、（1）；（2）以為直徑的圓過定點，定點坐標為和.【解析】(1)設動點的坐標，利用斜率坐標公式結合已知列式即可作答.(2)設上任意一點，求出點M，N的坐標，再求出以為直