2024年普通高等學校招生全國統一考試·新課標Ⅰ卷（數學）一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},則A∩B=A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}2.若zz-1=1+i,則A.-1-i B.-1+iC.1-i D.1+i3.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=A.-2 B.-1 C.1 D.24.已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,則cos(α-β)=A.-3m B.-m3C.m3 D.35.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側面積相等,且它們的高均為3,則圓錐的體積為A.23π B.33π C.63π D.93π6.已知函數f(x)=-x2-2ax-A.(-∞,0] B.[-1,0]C.[-1,1] D.[0,+∞)7.當x∈[0,2π]時,曲線y=sinx與y=2sin(3x-π6A.3 B.4 C.6 D.88.已知函數f(x)的定義域為R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且當x<3時,f(x)=x,則下列結論中一定正確的是A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.隨著“一帶一路”國際合作的深入,某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入(單位:萬元)情況,從該種植區抽取樣本,得到推動出口后畝收入的樣本均值x=2.1,樣本方差s2=0.01.已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布N(1.8,0.12),假設推動出口后的畝收入Y服從正態分布N(x,s2),則(若隨機變量Z服從正態分布N(μ,σ2),則P(Z<μ+σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.810.設函數f(x)=(x-1)2(x-4),則A.x=3是f(x)的極小值點B.當0<x<1時,f(x)<f(x2)C.當1<x<2時,-4<f(2x-1)<0D.當-1<x<0時,f(2-x)>f(x)11.設計一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標原點O,且C上的點滿足:橫坐標大于-2,到點F(2,0)的距離與到定直線x=a(a<0)的距離之積為4,則A.a=-2B.點(22,0)在C上C.C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點(x0,y0)在C上時,y0≤4三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.設雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2作平行于y軸的直線交C于A,B兩點,若|F1A13.若曲線y=ex+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,則a=.

14.甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標有一個數字,甲的卡片上分別標有數字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數字2,4,6,8.兩人進行四輪比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張,并比較所選卡片上數字的大小,數字大的人得1分,數字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為.

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=2cosB,a2+b2-c2=2ab.(1)求B;(2)若△ABC的面積為3+3,求c.16.(15分)已知A(0,3)和P(3,32)為橢圓C:x2a2+(1)求C的離心率;(2)若過P的直線l交C于另一點B,且△ABP的面積為9,求l的方程.17.(15分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=3.(1)若AD⊥PB,證明:AD∥平面PBC;(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值為427,求AD18.(17分)已知函數f(x)=lnx2?x+ax+b(x-1)(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;(2)證明:曲線y=f(x)是中心對稱圖形;(3)若f(x)>-2當且僅當1<x<2,求b的取值范圍.19.(17分)設m為正整數,數列a1,a2,…,a4m+2是公差不為0的等差數列,若從中刪去兩項ai和aj(i<j)后剩余的4m項可被平均分為m組,且每組的4個數都能構成等差數列,則稱數列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分數列.(1)寫出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使得數列a1,a2,…,a6是(i,j)-可分數列;(2)當m≥3時,證明:數列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)-可分數列;(3)從1,2,…,4m+2中一次任取兩個數i和j(i<j),記數列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分數列的概率為Pm,證明:Pm>18參考答案1.A2.C3.D4.A5.B6.B7.C8.B9.BC10.ACD11.ABD12.3213.ln214.15.(1)第1步:利用余弦定理求C由余弦定理得cosC=a2+又0<C<π,∴C=π4.第2步:將C代入已知等式求B∴2cosB=sinC=22,∴cosB=12又0<B<π,∴B=π3.(2)第1步:求A由(1)得A=π-B-C=5π12,第2步:利用正弦定理得出a,c的關系由正弦定理asinA=csinC,得a2第3步:利用三角形面積公式求c∴△ABC的面積S=12acsinB=1+34c2×3得c=22.16.(1)第1步:代入A,P坐標求解a,b由題知9b2=19第2步:根據a,b,c的關系求解c,得出C的離心率e∴c=a2-b2=3,∴C(2)第1步:求解|PA||PA|=32+(?第2步:得出點B到直線PA的距離h設點B到直線PA的距離為h,則△ABP的面積為S=12|PA|·h=9,解得h=125第3步:求解點B坐標易知直線PA:x+2y-6=0,設B(x,y),則|x+2解得x=0y=?3或x=?3y=?32第4步:求直線l的方程故l:y=32x-3或y=1217.(1)第1步:證明AD⊥AB由于PA⊥底面ABCD,AD?底面ABCD,∴PA⊥AD,又AD⊥PB,PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,∴AD⊥平面PAB,又AB?平面PAB,∴AD⊥AB.第2步:證明AB⊥BC,得出BC∥AD∵AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,∴BC∥AD,第3步:證明AD∥平面PBC∵AD?平面PBC,BC?平面PBC,∴AD∥平面PBC.(2)第1步:建系,設出點A(a,0,0),寫出相關向量的坐標由題意知DC,AD,AP兩兩垂直,以D為坐標原點,AD所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,過點D且平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),設A(a,0,0),a>0,則CD=4?a2,C(0,4?a2,0),P(a,0,2),CD=(0,-4?a2,0),AC=(-a,4?a2第2步:得出平面CPD的一個法向量設平面CPD的法向量為n=(x,y,z),則CD·n=0CP·n=0,即第3步:得出平面ACP的一個法向量設平面ACP的法向量為m=(x1,y1,z1),則m·CP=0m·AC=0,即ax第4步:根據二面角A-CP-D的正弦值列方程∵二面角A-CP-D的正弦值為427∴余弦值的絕對值為77,故|cos<m,n>|=|m·第5步:得出AD的長又a>0,∴a=3,即AD=3.18.(1)第1步:求函數f(x)的定義域f(x)的定義域為(0,2),第2步:求解f'(x)若b=0,則f(x)=lnx2?x+ax,f'(x)=2?xx·(2-x)+x(2-第3步:根據f'(x)≥0求a的最小值當x∈(0,2)時,x(2-x)∈(0,1],f'(x)min=2+a≥0,則a≥-2,故a的最小值為-2.(2)第1步:求解f(2-x)與f(x)的關系式f(2-x)=ln2?xx+a(2-x)+b(1-x)3=-lnx2?x-ax-b(x-1)3+2a=-f(x第2步:得出曲線y=f(x)的對稱中心故曲線y=f(x)關于點(1,a)中心對稱.(3)第1步:求a的值由題知f(1)=a=-2,第2步:求解f'(x)并變形整理此時f(x)=lnx2?x-2x+b(x-1)3f'(x)=2?xx·(2-x)+x(2-x)2-2+3b(x-1)2=2x(2-x)-2+3b第3步:分類討論,研究f(x)的單調性,并判斷是否符合題意記g(x)=2x(2-x)+3b,x∈(0,2),易知g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,2)上單調遞增,g當b≥-23時,g(x)≥0,f'(x)≥0,f(x又f(1)=-2,故符合題意.當b<-23時,g(1)<0,g(x)=2x(2-x)令g(x)=0,得x=1±1+2因為b<-23,所以1+23b∈(0,1),故1+1+2所以當x∈(1,1+1+23b)時,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(1,1+1+23b)上單調遞減,故f第4步:得出b的取值范圍綜上,b的取值范圍為[-23,+∞).19.(1)(1,2),(1,6),(5,6).(2)第1步:分析當m=3時的分組情況當m=3時,刪去a2,a13,其余項可分為以下3組:a1,a4,a7,a10為第1組,a3,a6,a9,a12為第2組,a5,a8,a11,a14為第3組,第2步:分析當m>3時的分組情況,得結論當m>3時,刪去a2,a13,其余項可分為以下m組:a1,a4,a7,a10為第1組,a3,a6,a9,a12為第2組,a5,a8,a11,a14為第3組,a15,a16,a17,a18為第4組,a19,a20,a21,a22為第5組,……,a4m-1,a4m,a4m+1,a4m+2為第m組,可知每組的4個數都能構成等差數列,故數列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)-可分數列.(3)第1步:證明1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)-可分數列,并求出方法數易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分數列?1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)-可分數列,其中p,q∈{0,1,…,m}.當0≤p≤q≤m時,刪去4p+1,4q+2,其余項從小到大,每4項分為1組,可知每組的4個數都能構成等差數列,故數列1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)-可分數列,可分為(1,2,3,4),…,(4p-3,4p-2,4p-1,4p),…,(4(q+1)-1,4(q+1),4(q+1)+1,4(q+1)+2),…,(4m-1,4m,4m+1,4m+2).p,q的可能取值方法數為Cm+12+m+1=第2步:證明1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)-可分數列,并求出方法數易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分數列?1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)-可分數列,其中p,q∈{0,1,…,m}.當q-p>1時,刪去4p+2,4q+1,將1~4p與4q+3~4m+2從小到大,每4項分為1組,可知每組的4個數成等差數列.考慮4p+1,4p+3,4p+4,…,4q,4q+2是否可分,等同于考慮1,3,4,…,4t,4t+2是否可分,其中t=q-p>1,可分為(1,t+1,2t+1,3t+1),(3,t+3,2t+3,3t+3),(4,t+4,2t+4,3t+4),…,(t,2t,3t,4t),(t+2,2t+2,3t+2,4t+2),每組4個數都能構成等差數列.故數列1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)-可分數列,p,q且q-p>1的可能取值方法數為Cm+12-m=第3步:證明Pm>1從而Pm≥(m2024年普通高等學校招生全國統一考試·新課標Ⅰ卷（數學）試卷分析一、試卷結構與題型特點本次數學試卷在結構上保持了傳統的高考數學試卷模式，包括選擇題、填空題和解答題三大部分。題型設計上，注重了對學生數學基礎知識的全面考察，同時融入了創新元素，旨在培養學生的數學思維和解題能力。1.選擇題：本部分題目數量適中，難度分布合理，既包含了基礎概念的理解與應用，也涉及了一些需要邏輯推理和計算能力的題目。多選題的賦分方式得到了優化，使得學生在選擇時更加謹慎，有利于全面考察學生的知識點掌握情況。2.填空題：填空題主要考察學生的基礎運算能力和對知識點的準確理解。部分題目設計巧妙，需要學生具備一定的靈活應變能力和解題技巧。3.解答題：解答題部分仍然是試卷的重點和難點。題目設計注重了對學生綜合能力的考察，包括邏輯推理、代數運算、幾何證明等多個方面。部分題目結合了實際情境，增加了題目的趣味性和挑戰性。二、試題難度與區分度本次數學試卷整體難度適中，但區分度較高。基礎題、中檔題和難題的比例分配合理，既保證了大部分學生能夠完成基礎題和中檔題，也為優秀學生提供了展示自己能力的機會。1.基礎題：主要考察學生對數學基礎知識的掌握情況，難度不大，但覆蓋面廣。這類題目在試卷中占據了較大比例，有助于學生樹立信心，為后續的中檔題和難題打下堅實的基礎。2.中檔題：在基礎題的基礎上增加了難度，需要學生具備較好的邏輯思維和運算能力。這類題目能夠較好地反映學生的數學素養和綜合能力。3.難題：難度較高，主要考察學生的創新