數(shù)學學科學生講義

學生姓名：年級：九年級科目：數(shù)學學科教師：

課題反比例函數(shù)綜合復習

授課類型經(jīng)典例題鞏固提升

1.掌握反比例的基礎(chǔ)知識；

教學目標

2.掌握反比例函數(shù)綜合題目的求解。

教學重難點反比例函數(shù)綜合題目：面積問題，根據(jù)面積求k。

授課日期及時段

教學內(nèi)容

經(jīng)典例題

1.反比例函數(shù)

例題1、下列函數(shù)關(guān)系式中，一定是反比例函數(shù)的是（）

.6n121ckn5

A.y=-----D.y=------FIC.y=—I）,y=------

x+lxx2x

隨練I、已知函數(shù)y與尤+l成反比例，且當x=-2時，y=-3.

（I）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當x=1時，求y的值.

2

隨練2、若函數(shù)戶冊（加是常數(shù)）是反比例函數(shù)，則機=____________,解析式為_____________.

隨練3、某工人承包運輸糧食的總數(shù)是枚噸，每天運x噸，共運了y天，則y與x的關(guān)系式為___________,

是___________函數(shù).

2、成反比例關(guān)系

例題1、已知y與九成反比例，當％=3時，y=4,那么y=3時，x的值等于（）

A.4B.-4C.3D.-3

A.3B.-3

5、利用反比例函數(shù)解決實際生活問題

例題1、某村耕地總面積為50公頃，且該村人均耕地面積y(單位：公頃/人)與總?cè)丝趚(單位：人)的

函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.該村人均耕地面積隨總?cè)丝诘脑龆喽龆?/p>

B.該村人均耕地面積y與總?cè)丝趚成正比例

C.若該村人均耕地面積為2公頃，則總?cè)丝谟?00人

D.當該村總?cè)丝跒?0人時，人均耕地面積為1公頃

例題2、二氧化碳的密度P(kg/m3)關(guān)于其體積V(n?)的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，那么函數(shù)關(guān)系式是

例題3、環(huán)保局對某企業(yè)排污情況進行檢測，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超

過最高允許的L0mg/L.環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天以內(nèi)(含15天)排污達標.整改過程中，所

排污水中硫化物的濃度y(mg/L)與時間x(天)的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AB表示前3天的變化規(guī)

律，從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x成反比例關(guān)系.

(1)求整改過程中硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式；

(2)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度，能否在15天以內(nèi)不超過最高允許的l.Omg/L?為什么？

隨練1、臨平一中的張老師在化學實驗室做實驗時，將一杯100℃的開水放在石棉網(wǎng)上自然冷卻，如圖是

這杯水冷卻時的溫度變化圖，根據(jù)圖中所顯示的信息，下列說法不正確的是

A.水溫從100℃逐漸下降到35℃時用了6分鐘

B.從開始冷卻后14分鐘時的水溫是15℃

C.實驗室的室內(nèi)溫度是15℃

D.水被自然冷卻到了10℃*二\‘、

隨練2、家用電滅蚊器的發(fā)熱部分使用了PTC發(fā)熱材料，它的電阻R(kQ)隨溫度t(°C)(在一定范圍內(nèi))

變化的大致圖象如圖所示.通電后，發(fā)熱材料的溫度在由室溫10℃上升到30℃的過程中，電阻與溫度成反

比例關(guān)系，且在溫度達到30℃時，電阻下降到最小值；隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升1℃,電

阻增加4kQ.

而

(1)求當10WtW30時，R和t之間的關(guān)系式；

(2)求溫度在30℃時電阻R的值；并求出t230時，R和t之間的關(guān)系式；

(3)家用電滅蚊器在使用過程中，溫度在什么范圍內(nèi)時，發(fā)熱材料的電阻不超過6kQ?

hR(KQ)

6匕/

隨練3、方方駕駛小汽車勻速地從A地行駛到B地，行駛里程為480千米，設(shè)小汽車的行駛時間為t(單位:

小時)，行駛速度為v(單位：千米/小時)，且全程速度限定為不超過120千米/小時.

(1)求v關(guān)于t的函數(shù)表達式；

(2)方方上午8點駕駛小汽車從A地出發(fā).

①方方需在當天12點48分至14點(含12點48分和14點)間到達B地，求小汽車行駛速度v的范圍.

②方方能否在當天11點30分前到達B地？說明理由.

6、反比例函數(shù)的代數(shù)綜合

反比例函數(shù)與方程和不等式

k_k

如圖，雙曲線與直線相交，則方程幺=匕％+6的解為交點的橫坐標玉、々；不等式網(wǎng)尤+6>&的解為

xx

x>芯或v,<x<0.

二.反比例函數(shù)與一次函數(shù)

已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的一個交點，求函數(shù)解析式，只要把交點坐標分別代入到兩個解析式即可.

當反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交時，交點關(guān)于原點對稱，即占

7、反比例函數(shù)與方程，不等式綜合

例題1、關(guān)于反比例函數(shù)y=-2,下列說法正確的是（）

X

A.圖象過（1,2）點B.圖象在第一、三象限

C.當x>0時，y隨x的增大而減小D.當x<0時，y隨x的增大而增大

例題2、如圖，反比例函數(shù)％=k］的圖象與正比例函數(shù)y2=k?x的圖象交于點（2,1）,則使丫1>丫2的*的

取值范圍是（）

A.0<x<2

C.x>2或-2<x<0D.x<-2或0<x<2

例題3、己知直線y=x-3與函數(shù)的圖象相交于點（a,b）,則代數(shù)式a'b?的值是（）

x

A.13B.11C.7D.5

例題4、求一元二次方程x?+3x-1=0的解，除了課本的方法外，我們也可以采用圖象的方法：在平面直角

坐標系中，畫出直線y=x+3和雙曲線y=i的圖象，則兩圖象交點的橫坐標即該方程的解.類似地，我們可

以判斷方程x3-x-1=0的解的個數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

7

隨練1、函數(shù)yi=xT和函數(shù)y?=二的圖象相交于點M（2,m）,N（~1,n）,若yi>yz,則x取值范圍（

x

A.x<-l或0<x<2B.x<-l或x>2

C.-l<x<0或0<x<2D.-l<x<0或x>2

已知A（-,yi）,B（2,y）為反比例函數(shù)y=L圖象上的兩點，動點P（x,0）在x

隨練2、如圖所示,2

2x

軸正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是（）

3

B.(1,0)C.(-,0)D.(0)

21

隨練3、反比例函數(shù)y=]_6t的圖象與直線y=-x+2有兩個交點，且兩交點橫坐標的積為負數(shù)，則t

的取值范圍是(

A.t<]B.t>?

7?

隨練4、如圖，一次函數(shù)>1=履+6(人/0)的圖象與反比例函數(shù)*=皿(機為常數(shù)且mW。)的圖象都經(jīng)過

4(-1,2),8(2,-1),結(jié)合圖象，則不等式依+6>見的解集是(

A.x<-1B.-l<x<0C.尤<-1或0<%<2D.-l<x<0或x>2

8、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

例題1、己知x?+3x+5的值為11,則代數(shù)式3x，9x-12的值為()

例題2、已知一次函數(shù)yi=kx+b圖象與x軸相交于點A,與反比例函數(shù)y2=￡相交于B(-1,5)>C(-,d)

%2

兩點.點P(m,n)是一次函數(shù)yi=kx+b的圖象上的動點.

(1)求k、b的值；

(2)設(shè)TVrnV,，過點P作x軸的平行線與函數(shù)y2=￡的圖像相交于點D.試問4PAD的面積是否存在最

2x

大值？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)m=l-a,如果在兩個實數(shù)ni與n之間(不包括m和n)有且只有一個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

隨練1、已知點A(-2,0),B為直線x=-1上一個動點，P為直線AB與雙曲線y=-的交點，且AP=2AB,

隨練2、設(shè)一次函數(shù)y=kx+b(k,b是常數(shù)，kWO)的圖象過A(1,3),B(-1,-1)兩點.

(1)求該一次函數(shù)的表達式；

(2)若點(2a+2,a2)在該一次函數(shù)圖象上，求a的值.

(3)已知點C(xi,yi)和點D(X2,y2)在該一次函數(shù)圖象上，設(shè)m=(xi-X2)(yi-y2),

判斷反比例函數(shù)y=02的圖象所在的象限，說明理由.

隨練3、如圖，反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=kx—1的圖象相交于A(m,2m),B兩點.

X

⑴求一次函數(shù)的表達式；

(2)求出點B的坐標，并根據(jù)圖象直接寫出滿足不等式也＜kx—l的x的取值范圍.

9,反比例函數(shù)與幾何綜合

一.反比例函數(shù)與三角形綜合

一般為定點與動點構(gòu)成特殊三角形情況，利用等腰三角形，直角三角形，等邊三角形，等腰直角三角形等

固有特殊性質(zhì)，進行求解，并且注意考慮到多種結(jié)論的情況.

二.反比例函數(shù)與四邊形綜合

四邊形與反比例函數(shù)的綜合問題與三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四邊形等特殊四邊形的時

候經(jīng)常會出現(xiàn)兩個頂點兩個動點的情況需要進行分類討論.

三.反比例函數(shù)與面積問題

反比例函數(shù)涉及到的面積問題一般都為三角形面積和矩形面積問題，對于三角形面積我們可以對三角形進

行分割再去求解，對于矩形面積問題，我們要注意左值的幾何意義和正負的討論.

10、與三角形綜合

例題1、在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別為(-3,0),(3,0),點P在反比例函數(shù)y=」的圖

x

象上，若4PAB為直角三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為()

A.2個B.4個C.5個D.6個

例題2、如圖，若雙曲線y=人與邊長為5的等邊AAOB的邊0A,AB分別相交于C,D兩點，且0C=3BD,則

例題3、如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)y=K*>0)的圖象交于A,8兩點，點A在第一象限.點C

x

在X軸正半軸上，連結(jié)AC交反比例函數(shù)圖象于點。.AE為N8AC的平分線，過點8作AE的垂線，垂足

為E,連結(jié)DE.若AC=3OC,△AOE的面積為8,則左的值為.

7

隨練1、如圖，直線1與反比例函數(shù)y=』的圖象在第一象限內(nèi)交于A,B兩點，交x軸于點C,若AB：BC=

例題1、如圖，A、B兩點在雙曲線y=&上，分別經(jīng)過A、B兩點向坐標軸作垂線段，已知S陰影=1.7,

例題2、如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AB：BC=3：2,點A(3,0),B(0,6)分別在x軸,

y軸上，反比例函數(shù)y=k(x>。)的圖象經(jīng)過點D,且與邊BC交于點E,則點E的坐標為.

例題3、如圖，雙曲線y=*(尤>0)經(jīng)過矩形OABC的頂點雙曲線y=q(%>0)交AB,BC于點E、F,

且與矩形的對角線OB交于點。，連接EF.若OD：08=2：3,則的面積為.

隨練1、如圖，0是坐標原點，菱形OABC的頂點A的坐標為(-3,4),頂點C在x軸的負半軸上，函數(shù)

y=-(x<0)的圖象經(jīng)過頂點B,則k的值為()

X

A.-12B.-27C.-32D.-36

隨練2、如圖，直線A8與x軸交于點A(1,0),與y軸交于點B(0,2),將線段A3繞點A順時針旋

<n）,并把矩形OABC分成面積相等的兩部分，過點M的雙曲線y=X（x>0）交邊AB于點N.若AOAN的

X

面積是4,求△OMN的面積.

鞏固提升

［、下歹U各函數(shù)①,=&②y③y④y=—⑤y=⑥^=--3?y=二和⑧y=3工-1中,

xx5xx+12xx

是y關(guān)于x的反比例函數(shù)的有：（填序號）.

2、反比例函數(shù)尸幺二3的圖象，當x>0時，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（）

x

A.k<3B.kW3C.k>3D.k23

3、函數(shù)y=A與丫=-1?2+卜（k=0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（）

8,如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交矩形OABC的邊AB于點D,交邊BC于

x

點E,且BE=2EC.若四邊形ODBE的面積為6,則k=.

9、如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)丫=1?+13的圖象與反比例函數(shù)y='的圖象交于A(2,3)、

X

B(-3,n)兩點.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)若P是y軸上一點，且滿足4PAB的面積是5,直接寫出0P的長.

10、某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體后，當溫度不變時，氣球內(nèi)的氣體的氣壓P(kPa)是氣體體積V(m3)的

反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當氣球內(nèi)的氣壓大于140kPa時，氣球?qū)⒈ǎ瑸榱税踩鹨姡瑲怏w體積應(yīng)

c丁I丁243C.不大于空胡

A.不大于樂B.不小于一mD.不小于一m

353737

200

150

10旬0

14、方程X2+3X-1=0的根可視為函數(shù)y=x+3的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，則方程x3+2x-l=0的實

X

根X。所在的范圍是一

A.0<x?<-B.-<xo<-C.-<x?<-D.-<x?<l

443322

15、如圖，直線尸1與雙曲線尸I人-(k>0,x>0)交于點A,將直線尸1Lx向上平移4個單位長度后,

2x2

與y軸交于點C,與雙曲線y=K(k>0,x>0)交于點B,若0A=3BC,

X

A.3B.6C.-

4

16、如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點A