2022北京朝陽高三（上）期中數(shù)學(xué)（考試時間120分鐘150分）本試卷分為選擇題分和非選擇題分第一部分（選擇題共分）一、選擇題共題，每題440分。在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知復(fù)數(shù)z=i(2?i)，則|z|=（A）3（）5（）3（D）5（2）已知集合A={0,1,2}，B={xN|0x3}，則A（A）{0,1}（）{1,2}（）{0,1,2}（D）{0,1,2,3}（3）下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減的是（A）y=log2x（）b”是“3ab”的y=2?x（）y=x+1（D）y=x3（4a0（A）充分而不必要條件（）必要而不充分條件（）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（5）已知球O的半徑為2,球心到平面的距離為3,則球O被平面截得的截面面積為（A）π（）πB（）3πCD）2π（6）在平面直角坐標(biāo)系xOy的頂點與坐標(biāo)原點OxπP(4,3)，則+)的值為417（A）?7f(x)（）?（）1g(x)=f(2x)+x2（D）7f(2)=2f(?2)=（7）已知為定義在R上的函數(shù)，2，且為奇函數(shù)，則（A）4?（）（）0C（）2D（8）如圖，在四棱錐P?中，1，其余的六條棱長均為2，則該四棱錐的體積為==11P（A）（）（）（D）6136113DAC133B第（）題（9是邊長為2D在線段上，=2E在線段CD△CAE與△CDB的面積相等，則的值為23131323（A）?（）?（）（D）（10）現(xiàn)實生活中，空曠田野間兩根電線桿之間的電線與峽谷上空橫跨深澗的觀光索道的鋼索有相似的曲線形態(tài)，這類曲線在數(shù)學(xué)上常被稱為懸鏈線．在合適的坐標(biāo)系中，這類曲線可用函數(shù)ae2x+bf(x)=(ab0,e=2.71828來表示．下列結(jié)論正確的是exAab0，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)（）若ab0，則函數(shù)f(x)有最小值Cab0，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)（）若ab0，則函數(shù)f(x)存在零點第二部分（非選擇題共二、填空題共5題，每題5分，共1x+1（）函數(shù)f(x)=x+2+的定義域是．（12）已知向量a=(1,m)，b=(2,1)，且a⊥b，則m=．π（13）將函數(shù)f(x)=x+)(0)的圖象向左平移π個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則6g(?π)=g(x)為偶函數(shù)，則的最小值是．x,x≥1,f(x)=aRa=0f(x)（14）已知函數(shù)其中．若，則函數(shù)的值域是；若函數(shù)(x+a)2,x1,y=f(x)?1a有且僅有2個零點，則的取值范圍是.11（15）已知{a}是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前n項和為S，且+=（nN*nnnSn論：①S+S2S；132②a+a2a；1321③對任意的nN*，都有an1+；n④存在常數(shù)A1，使得對任意的nN*aA，都有．n其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（1613已知函數(shù)f(x)sin2x2cosx．=?2（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及值域；（Ⅱ）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．（1715?ABCABBAABBA⊥平面ACCA，2，=AA1=4，111111111D，E分別是BC，AB的中點．11B1E（Ⅰ）求證：DE//平面ACCA；11（Ⅱ）若側(cè)面ACCA是正方形，11D1（?。┣笞C：AC⊥；A11（ⅱ）求直線AC與平面所成角的正弦值．11C1（1813π在△a=2B=△6存在且唯一，并求（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）△的面積．條件①：b=1；14條件②：b=2；條件③：A=．4注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．（1914已知公差大于0的等差數(shù)列{n}滿足2512，+=aa=35S{a}的前n項和．n，為數(shù)列34n（Ⅰ）求{n}的通項公式；N（Ⅱ）若S，a，a(m,i)成等比數(shù)列，求m，i的值．m2i（2015已知函數(shù)f(x)=ex+asinx?1(aR)．(0,f(0))處的切線方程；y=f(x)（Ⅰ）求曲線（Ⅱ）若函數(shù)在點f(x)x=0a處取得極小值，求的值；在mx(0,m)f(x)0a，求的取值范圍．（Ⅲ）若存在正實數(shù)，使得對任意的，都有（2115已知集合A{1,2,3,=（N，≥WAn，若W中元素的個數(shù)為m≥），且存在，uvuu+v=2k(kN)，則稱W是A的P(m)子集．P（Ⅰ）若n4，寫出A的所有=子集；（Ⅱ）若W為A的P(m)子集，且對任意的，st（s），存在kN，使得s+t=2k，求的值；m（Ⅲ）若n20，且A的任意一個元素個數(shù)為的子集都是A的=mP(m)子集，求的最小值．m參考答案一、選擇題（共10小題，每小題440分）（1B（6D（2C（7A（3B（8C（4A（9C（A（D二、填空題（共5小題，每小題525分）356（）[2,?（14）[0,+))（）213）2(?2,0]15）①②③三、解答題（共6小題，共85分）（16共13解：（Ⅰ）因為f(x)=sin2x?cos2x?1π=2sin(2x?)?1，42π所以f(x)的最小正周期T==π．2ππ由?≤sin(2x?)1，得?2?≤2sin(2x?)?≤2?1．44πππ當(dāng)2x?=2π+(kZ)，即x=π+(kZ)時，f(x)取得最大值；428πππ當(dāng)2x?=2π?(kZ)，即x=π?(kZ)時，f(x)取得最小值．428所以f(x)的值域為[?2?1,2?1]．……………8分ππ（Ⅱ）函數(shù)ysinx的單調(diào)遞增區(qū)間為=[2kπ?,2kπ+](kZ)．22πππ由2kπ?≤2x?≤2kπ+(kZ)，242π3π得kπ?≤x≤kπ+(kZ)．88π3π所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?,kπ+](kZ)．88……………13分（17共15解：（Ⅰ）取AC中點F，連接，1F．因為點D是BC的中點，B11所以DF//BA，且DF=BA．E2D又因為點E是AB的中點，111A12所以EA1//BA，且EA=BA．F1C1所以EA1//，且EADF．=1所以四邊形1E是平行四邊形．所以DE//FA1．又因為DE平面ACCA，F(xiàn)A平面ACCA，11111所以DE//平面ACCA．11……………5分（Ⅱ）因為側(cè)面A為矩形，所以BAAA1．⊥11又因為平面1A1⊥平面，1A1z且平面1A平面1AAA1，=1B11所以平面所以BA⊥AC．因為側(cè)面ACCA是正方形，⊥1A．E1D1AyF11所以ACAA1．⊥C1x如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，則，D(2,，E，A(0,0)，C(4,0)．11所以=(2,，=，AC=(4,0)．11（?。┮驗锳C=0，所以AC1⊥AE．111（ⅱ）設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z)，n+z=2x即則n=4y+z=0.令z4，則=x=?2y=?1，n=(??4)．于是．設(shè)直線AC與平面所成角為，11|n|(4,0)(4)|221則sin===．|AC||n|4212111221所以直線AC與平面所成角的正弦值為．11……………15分（18共13解：選擇條件②：b=2．a(chǎn)basinB（Ⅰ）由正弦定理=，得sinA=．sinAsinBbπ2又因為a=2，B=，b=2，所以sinA=．64在△ABC中，因為ab，所以0ABπ，π144故0A，A=1sinA=?2．2所以sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB23144126+14==+==．428acasinCsinA6+14因為，所以c=．……………9分……………13分sinAsinC2116+14123+7（Ⅱ）△ABC=acsinB=2=．2224選擇條件③：A=．42（Ⅰ）因為0Aπ，所以sinA=1cosA?2=．46+14故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=．8acasinCsinA6+14===又因為，a=2，所以c．sinAsinC2……………9分116+14123+7（Ⅱ）△ABC=acsinB=2=．2224……………13分（19共14解{n}的公差為d，d0.因為2512，所以+=a+a=12．34又因為3435，d0，=所以3=5，a=74．故d=2，a=11．所以n1(nd2n1(n=+?=?N).……………7分n(a+a)（Ⅱ）因為n2n1，所以=?S=n1n=n2.2因為S，a，a成等比數(shù)列，m2i所以Smi=a22，即m2(2i?=9．而m,iN，所以m=1，2i?1=9；或m=3，2i?1=1．經(jīng)檢驗，符合題意．i=5所以m=1，；或m=3，i=1．……………14分（20共15解f(x)=ex+asinx1(a?R)，得f(x)=e+ax．xf(0)=0=+f(0)1a，又，y=f(x)(0,f(0))yf(0)=f(0)(x?0)?，所以曲線在點處的切線方程為y=+a)x即．……………4分=?f(0)0，則a=?1．f(x)=e?x．（Ⅱ）由題意知此時f(x)=exsinx1，則?x當(dāng)x0時，f(x)f(x)=ex?x1?x≥，0+)上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間=g(x)=ex+sinx．g(x)f(x)設(shè)設(shè)，則(x)=g(x)，則(x)excosx．=+π因為當(dāng)x(,0)時，?(x)0，2π?g(x)(,0)所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．2ππππ???10，?又g(=+?=g(0)=10，)e2sin()e222π故存在0(?,0)，使g(0)=0．2所以當(dāng)x(0,0)時，g(x)0．g(x)(0,0)所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．g(x)g(0)=0f(x)0，即當(dāng)x(0,0)時，，即f(x)(0,0)上單調(diào)遞減．所以在區(qū)間f(x)x=0故函數(shù)在處取得極小值．所以a=?1．……………10分?sinx?1．π（Ⅲ）①若a≥?，當(dāng)1x(0,)時，sinx0，所以f(x)ex≥2y=exsin?x?在區(qū)間+)上單調(diào)遞增，1由（Ⅱ）已證，所以所以ex?sinx?1e0?sin0?1=0．πf(x)0在區(qū)間)上恒成立．2mx(0,m)f(x)0，都有，此時不存在正實數(shù)，使得對任意的所以a≥?1不合題意．②若a?1，f(x)=ex+ax，設(shè)h(x)f(x)=h(x)=ex?asinx，則．π當(dāng)x(0,)時，h(x)exasinxexsinx0，=?+2πf(x))上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間2πππf(0)=1+a0f(m)=0．=m(0,)而，f()e20，故存在，使22x(0,m)x(0,m)f(x)0，即f(x)m)在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以當(dāng)所以當(dāng)時，時，f(x)f(0)=0．所以a?1符合題意．(,a綜上，的取值范圍是．……………15分（21共15解：（Ⅰ）當(dāng)n=4時，A=2,3,4}，A的所有P子集為2,3}{1,3,4}，．……………4分（Ⅱ）當(dāng)n≥3時，取W=3}，因為1+3=22，所以W是A的P(2)子集，此時m=2．若m≥3，設(shè)a，a，aW且≤aaa．312312依題意，1+2=2k，a+a=2k，a+a=2k,其中k，k，kN．1323123123因為a+aa+aa+a，所以2kk22k．123121323所以kkk．123又因為k，k，kN3，12所以k≥k+1．32因為2(12a)++=2k+k+k3，2212312++=(2k+k+22)k．所以123123121=(2k+k+22)k?2k=(2k+k?2k2)．3所以11233122k3因為2所以2k+kk+k=k12，222212222k+k?k0．22123所以a0，與a≥1矛盾．11綜上，m=2．……………9分（Ⅲ）設(shè)A{20,12}，=A={19,13}A={18,14}A={17,15}A={11,5}A={10,6}，，，，，234561A={9,7}，A={1,3}，B={2}，B={4}，B={8}，B={16}．781234m設(shè)W的元素個數(shù)為．若W不