第2節氣體的等溫變化[學習目標]1．理解一定質量的氣體，在溫度不變的情況下壓強與體積的關系。2．學會通過實驗的方法研究問題，探究物理規律，學習用電子表格與圖像對實驗數據進行處理與分析，體驗科學探究過程。3．理解氣體等溫變化的p－V圖像的物理意義。4．學會用玻意耳定律計算有關問題。知識點1等溫變化一定質量的氣體，在溫度不變的條件下，其壓強與體積變化時的關系。知識點2實驗：探究氣體等溫變化的規律1．實驗器材如圖所示，有鐵架臺、帶壓力表的注射器、鐵夾等。2．研究對象注射器內被封閉的一段空氣柱。3．數據收集空氣柱的壓強p由上方的壓力表讀出，體積V用刻度尺上讀出的空氣柱的長度l乘以空氣柱的橫截面積S計算。用手把柱塞緩慢地向下或向上拉，讀出體積與壓強的幾組數據。4．數據處理以壓強p為縱坐標，以__體積的倒數eq\f(1,V)為橫坐標作出p－eq\f(1,V)圖像。5．實驗結論若p－eq\f(1,V)圖像是一條過原點的直線。說明壓強跟體積的倒數成正比，即壓強與體積成反比。知識點3玻意耳定律1．內容一定質量的某種氣體，在溫度不變的情況下，壓強p與體積V成反比。2．公式pV＝C，式中C為常量，或p1V1＝p2V2，其中p1、V1和p2、V2分別表示氣體在不同狀態下的壓強和體積。3．適用條件氣體的質量一定，溫度不變。[判一判]1．(1)在探究氣體的等溫變化實驗中空氣柱體積變化的快慢對實驗沒有影響。()(2)玻意耳定律是英國科學家玻意耳和法國科學家馬略特各自通過實驗發現的。()(3)公式pV＝C中的C是常量，指當p、V變化時C的值不變。()(4)對于溫度不同、質量不同、種類不同的氣體，C值是相同的。()提示：(1)×(2)√(3)×(4)×知識點4氣體等溫變化的p－V圖像為了直觀地描述壓強p跟體積V的關系，通常建立p－V坐標系，如圖所示。圖線的形狀為雙曲線。由于它描述的是溫度不變時的p－V關系，因此稱它為等溫線。一定質量的氣體，不同溫度下的等溫線是不同的。[判一判]2．(1)氣體等溫變化的p－V圖像是一條傾斜的直線。()(2)一定質量的某種氣體，在溫度保持不變的情況下，壓強p與體積V成正比。()提示：(1)×(2)×1．(封閉氣體壓強的計算)如圖所示，U形管封閉端內有一部分氣體被水銀封住。已知大氣壓強為p0，封閉部分氣體的壓強p(以汞柱為單位)為()A．p0＋ph2B．p0－ph1C．p0－(ph1＋ph2)D．p0＋(ph2－ph1)答案：B2．(氣體等溫變化的圖像)(多選)一定質量的氣體在不同溫度下的兩條p－eq\f(1,V)圖線如圖所示。由圖可知()A．一定質量的氣體在發生等溫變化時，其壓強與體積成正比B．一定質量的氣體在發生等溫變化時，其p－eq\f(1,V)圖線的延長線是經過坐標原點的C．T1＞T2D．T1<T2解析：選BD。這是一定質量的氣體在發生等溫變化時的p－eq\f(1,V)圖線，由圖線知p∝eq\f(1,V)，所以p與V應成反比，A錯誤；由題圖可以看出，p－eq\f(1,V)圖線的延長線是過坐標原點的，B正確；根據一定質量的氣體同體積下溫度越高壓強越大，可知C錯誤，D正確。3．(玻意耳定律的應用)一定質量的氣體在溫度保持不變時，壓強增大到原來的4倍，則氣體的體積變為原來的()A．4 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)解析：選D。根據玻意耳定律得溫度一定時，氣體的壓強與體積成反比，所以體積變為原來的eq\f(1,4)。探究一探究氣體等溫變化的規律1．實驗思路在保證密閉注射器中氣體的質量和溫度不變的條件下，通過改變密閉注射器中氣體的體積，由壓力表讀出對應的氣體的壓強值，進而研究在恒溫條件下氣體的壓強與體積的關系。2．實驗器材帶鐵夾的鐵架臺、注射器、柱塞、壓力表、橡膠套、刻度尺。3．物理量的測量(1)如圖1所示組裝實驗器材。(2)利用注射器選取一段空氣柱為研究對象，注射器下端的開口有橡膠套，它和柱塞一起把一段空氣柱封閉。(3)把柱塞緩慢地向下壓或向上拉，讀取空氣柱的長度與壓強的幾組數據。空氣柱的長度l可以通過刻度尺讀取，空氣柱的長度l與橫截面積S的乘積就是它的體積V。空氣柱的壓強p可以從與注射器內空氣柱相連的壓力表讀取。4．數據分析(1)作p－V圖像以壓強p為縱坐標，以體積V為橫坐標，用采集的各組數據在坐標紙上描點，繪出等溫曲線，如圖2所示，觀察p－V圖像的特點看能否得出p、V的定量關系。(2)作p－eq\f(1,V)圖像以壓強p為縱坐標，以eq\f(1,V)為橫坐標，在坐標紙上描點。如果p－eq\f(1,V)圖像中的各點位于過原點的同一條直線上，如圖3所示，就說明壓強p跟eq\f(1,V)成正比，即壓強與體積成反比。如果不在同一條直線上，我們再嘗試其他關系。(3)實驗結論：一定質量的某種氣體，在溫度不變的情況下，其壓強與體積的倒數成正比。5．注意事項(1)改變氣體體積時，要緩慢進行。(2)實驗過程中，不要用手接觸注射器的外壁。(3)實驗前要在柱塞上涂抹潤滑油。(4)讀數時視線要與柱塞底面平行。(5)作p－eq\f(1,V)圖像時，應使盡可能多的點落在直線上，不在直線上的點應均勻分布于直線兩側，偏離太大的點應舍棄掉。【例1】某實驗小組用如圖所示的裝置探究氣體做等溫變化的規律。已知壓力表通過細管與注射器內的空氣柱相連，細管隱藏在柱塞內部未在圖中標明。壓力表中讀取空氣柱的壓強，從注射器旁的刻度尺中讀取空氣柱的長度。(1)為了保持封閉氣體的質量不變，實驗中采取的主要措施是__________________________________________________________________________________________________________________________________；(2)實驗過程中，下列說法正確的是________；A．推拉柱塞時，動作要快，以免氣體進入或漏出B．推拉柱塞時，手不可以握住整個注射器C．柱塞移至某位置時，應迅速記錄此時注射器內氣柱的長度和壓力表的示數(3)某同學測出了注射器內封閉氣體的幾組壓強p和體積V的值后，以p為縱軸、eq\f(1,V)為橫軸，畫出圖像如圖所示，則產生的可能原因是________。A．實驗過程中有漏氣現象B．實驗過程中氣體溫度降低C．實驗過程中氣體溫度升高[解析](1)為了保持封閉氣體的質量不變，實驗中采取的主要措施是給柱塞涂上潤滑油防止漏氣。(2)若急速推拉柱塞，則有可能造成等溫條件不滿足的現象，所以應緩慢推拉柱塞，故A錯誤；手握注射器會使溫度變化，故B正確；應等狀態穩定后，記錄此時注射器內氣柱的長度和壓力表的示數，故C錯誤。(3)圖像發生了彎曲，說明在實驗中溫度發生了變化，因圖像向上彎曲，故溫度升高了。[答案](1)柱塞上涂上潤滑油(保證封閉氣體質量不變的措施都可以)(2)B(3)C[針對訓練1]圖1為“研究一定質量的氣體在溫度不變的情況下，壓強與體積的關系”實驗裝置，實驗步驟如下：①把注射器活塞移至注射器滿刻度處，將注射器與壓強傳感器、數據采集器、計算機逐一連接；②移動活塞，記錄注射器的刻度值V，同時記錄對應的由計算機顯示的氣體壓強值p；③用V－eq\f(1,p)圖像處理實驗數據，得出如圖2所示圖線。(1)為了保持封閉氣體的溫度不變，實驗中采取的主要措施是__________________和__________________。(2)如果實驗操作規范正確，但如圖2所示的V－eq\f(1,p)圖線不過原點，則V0代表____________________________________________________________________。(3)小明同學實驗時緩慢推動活塞，并記錄下每次測量的壓強p與注射器刻度值V。在實驗中出現壓強傳感器軟管脫落，他重新接上后繼續實驗，其余操作無誤。V－eq\f(1,p)關系圖像應是________。(4)若某同學整個過程操作正確，則隨著V的增加，p、V乘積會________(選填“變大”“不變”或“變小”)。解析：(1)為了保持封閉氣體的溫度不變，實驗中采取的主要措施是緩慢移動活塞和不用手握住注射器的封閉氣體部分，這樣能保證裝置與外界溫度一樣；(2)實際值比體積讀數值大V0。根據p(V＋V0)＝C，C為定值，則V＝eq\f(C,p)－V0如果實驗操作規范正確，但如題圖2所示的V－eq\f(1,p)圖線不過原點，則V0代表注射器與壓強傳感器連接部位的氣體體積。(3)根據pV＝C可知V＝eq\f(C,p)，當質量不變時V與eq\f(1,p)成正比，當質量發生改變時(軟管脫離時，氣體質量變小)，V與eq\f(1,p)還是成正比，但此時的斜率發生變化，即斜率比原來小，故B正確。(4)若某同學整個過程操作正確，由于氣密性，則隨著V的增加，氣體的質量可能變大，則p、V乘積會變大。答案：(1)緩慢移動活塞不用手握住注射器的封閉氣體部分(2)注射器與壓強傳感器連接部位的氣體體積(3)B(4)變大探究二封閉氣體壓強的計算1．靜止或勻速運動系統中壓強的計算方法(1)參考液片法：選取假想的液體薄片(自身重力不計)為研究對象，分析液片兩側受力情況，建立受力平衡方程消去面積，得到液片兩側壓強相等，進而求得氣體壓強。例如，圖中粗細均勻的U形管中封閉了一定質量的氣體A，在其最低處取一液片B，由其兩側受力平衡可知(pA＋ph0)S＝(p0＋ph＋ph0)S，即pA＝p0＋ph。(2)力平衡法：選取與封閉氣體接觸的液柱(或活塞、汽缸)為研究對象進行受力分析，由F合＝0列式求氣體壓強。(3)連通器原理：在連通器中，同一種液體(中間液體不間斷)的同一水平液面上的壓強相等，如圖中同一液面C、D處壓強相等，pA＝p0＋ph。2．容器加速運動時封閉氣體壓強的計算當容器加速運動時，通常選與氣體相關聯的液柱、汽缸或活塞為研究對象，并對其進行受力分析，然后根據牛頓第二定律列方程，求出封閉氣體的壓強。如圖，當豎直放置的玻璃管向上加速運動時，對液柱受力分析有：pS－p0S－mg＝ma得p＝p0＋eq\f(m（g＋a）,S)。【例2】如圖所示，內壁光滑的汽缸豎直放置在水平地面上，T形活塞的質量為M，下底面積為S，上底面積為4S。若大氣壓強為p0，重力加速度為g，則被封閉氣體的壓強p等于()A．4p0＋eq\f(Mg,S)B．3p0＋eq\f(Mg,S)C．p0＋eq\f(Mg,S)D．條件不夠，無法判斷[解析]以活塞為研究對象，活塞受重力、大氣壓力和封閉氣體的支持力，根據受力平衡得Mg＋4p0S＝3p0S＋pS，解得p＝p0＋eq\f(Mg,S)，C正確。[答案]C【例3】如圖所示，兩端開口的彎折的玻璃管豎直放置，三段豎直管內各有一段水銀柱，兩段空氣封閉在三段水銀柱之間，若左、右兩管內水銀柱長度分別為h1、h2，且水銀柱均靜止，則中間管內水銀柱的長度為()A．h1－h2 B．h1＋h2C．eq\f(h1－h2,2) D．eq\f(h1＋h2,2)[解析]設大氣壓強為p0，中間管內水銀柱的長度為h，左邊封閉空氣的壓強p左＝p0－ph1，右邊封閉空氣的壓強p右＝p0＋ph2＝p左＋ph，則h＝h1＋h2，故B正確。[答案]B[針對訓練2]有一段12cm長的汞柱，在均勻玻璃管中封住一定質量的氣體，若開口向上將玻璃管放置在傾角為30°的光滑斜面上，在玻璃管下滑過程中被封氣體的壓強為(大氣壓強p0＝76cmHg)()A．76cmHg B．82cmHgC．88cmHg D．70cmHg解析：選A。水銀柱所處的狀態不是平衡狀態，因此不能用平衡條件來處理。水銀柱的受力分析如圖所示，因玻璃管和水銀柱組成的系統的加速度a＝gsinθ，所以對水銀柱由牛頓第二定律得：p0S＋mgsinθ－pS＝ma，故p＝p0＝76cmHg。[針對訓練3]如圖所示，活塞的質量為m，缸套的質量為M，通過彈簧吊在天花板上，汽缸內封住一定質量的氣體，缸套和活塞間無摩擦，活塞面積為S，大氣壓強為p0，重力加速度為g，則封閉氣體的壓強為()A．p＝p0＋eq\f(Mg,S) B．p＝p0＋eq\f(（M＋m）g,S)C．p＝p0－eq\f(Mg,S) D．p＝eq\f(mg,S)解析：選C。以缸套為研究對象，有pS＋Mg＝p0S，所以封閉氣體的壓強p＝p0－eq\f(Mg,S)，故C正確。探究三玻意耳定律的應用1．成立條件：玻意耳定律p1V1＝p2V2是實驗定律，只有在氣體質量一定、溫度不變的條件下才成立。2．思路和方法(1)確定研究對象，并判斷其是否滿足玻意耳定律成立的條件。(2)確定始、末狀態及狀態參量(p1、V1、p2、V2)。(3)根據玻意耳定律列方程p1V1＝p2V2，代入數值求解(注意各狀態參量要統一單位)。(4)有時要檢驗結果是否符合實際，對不符合實際的結果要舍去。【例4】如圖為氣壓式保溫瓶的原理圖，保溫瓶內水面與出水口的高度差為h，瓶內密封空氣體積為V，設水的密度為ρ，大氣壓強為p0，已知重力加速度為g，欲使水從出水口流出，瓶內空氣壓縮量ΔV至少為多少？(設瓶內彎曲管的體積不計，壓前水面以上管內無水，溫度保持不變，各物理量的單位均為國際單位)[解析]壓水前：氣體壓強p1＝p0，體積V1＝V壓水后水剛流出時：氣體壓強p2＝p0＋ρgh體積V2＝V－ΔV，由玻意耳定律p1V1＝p2V2得：p0V＝(p0＋ρgh)(V－ΔV)解得ΔV＝eq\f(ρghV,p0＋ρgh)。[答案]eq\f(ρghV,p0＋ρgh)【例5】如圖所示，一導熱良好、足夠長的汽缸豎直放置在水平地面上。汽缸質量m＝5kg，汽缸內一質量M＝10kg、面積S＝20cm2的活塞與汽缸壁光滑密接。當活塞靜止時，活塞到汽缸底部的距離L0＝10cm。已知大氣壓強p0＝1.0×105Pa，重力加速度g取10m/s2。現用一豎直向上的拉力F作用在活塞上，求：(1)當F＝50N時，活塞到汽缸底部的距離；(2)當F緩慢增大到使汽缸恰好離開地面時，活塞到汽缸底部的距離。[解析](1)不加外力時，氣體的壓強p1＝p0＋eq\f(Mg,S)解得p1＝1.5×105Pa當拉力F＝50N時，氣體壓強p2＝p0＋eq\f(Mg－F,S)解得p2＝1.25×105Pa根據玻意耳定律可得p1L0S＝p2L1S解得L1＝12cm。(2)汽缸離開地面時，汽缸受力平衡，有mg＋p3S＝p0S解得此時氣體的壓強p3＝0.75×105Pa根據玻意耳定律有p1L0S＝p3L2S解得L2＝20cm。[答案](1)12cm(2)20cm[針對訓練4]如圖甲所示，一端開口、長L＝45cm的玻璃管放在水平地面上，一段長為5cm的水銀柱恰好處在管口，保持環境溫度不變，現將玻璃管逆時針緩慢轉至豎直，穩定后如圖乙所示。已知當地大氣壓p0＝75cmHg，試求玻璃管豎直穩定后水銀柱上端到管口的距離。解析：設玻璃管豎直穩定后水銀柱上端到管口的距離為x，玻璃管的橫截面積為S，在題圖甲位置時有V1＝40S，p1＝p0＝75cmHg在題圖乙位置時有V2＝(40－x)S，p2＝(75＋5)cmHg＝80cmHg據玻意耳定律可得p1V1＝p2V2代入數據解得x＝2.5cm。答案：2.5cm[A級——基礎達標練]1．(多選)關于“探究氣體等溫變化的規律”實驗，下列說法正確的是()A．實驗過程中應保持被封閉氣體的質量和溫度不發生變化B．實驗中為找到體積與壓強的關系，一定要測量空氣柱的橫截面積C．為了減小實驗誤差，可以在柱塞上涂潤滑油，以減小摩擦D．處理數據時采用p－eq\f(1,V)圖像，是因為p－eq\f(1,V)圖像比p－V圖像更直觀解析：選AD。本實驗探究采用的方法是控制變量法，所以要保持被封閉氣體的質量和溫度不變，A正確；由于注射器是圓柱形的，橫截面積不變，所以只需測出空氣柱的長度即可，B錯誤；涂潤滑油的主要目的是防止漏氣，使被封閉氣體的質量不發生變化，不僅是為了減小摩擦，C錯誤；當p與V成反比時，p－eq\f(1,V)圖像是一條過原點的直線，而p－V圖像是雙曲線，所以p－eq\f(1,V)圖像更直觀，D正確。2．在“探究氣體等溫變化的規律”實驗中，下列四個因素中對實驗的準確性影響最小的是()A．針筒封口處漏氣B．采用橫截面積較大的針筒C．針筒壁與活塞之間存在摩擦D．實驗過程中用手去握針筒解析：選B。“探究氣體等溫變化的規律”實驗前提是氣體的質量和溫度不變，針筒封口處漏氣，則氣體質量變小，用手握針筒，則氣體溫度升高，A、D錯誤；針筒的橫截面積大，會使封閉的氣體的體積大，結果更精確，B正確；活塞與筒壁的摩擦影響活塞對氣體的壓強，影響實驗的準確性，C錯誤。3．如圖所示，一個橫截面積為S的圓筒形容器豎直放置，容器上端放一金屬圓板，金屬圓板的上表面是水平的，下表面是傾斜的，下表面與水平面的夾角為θ，圓板的質量為M，不計圓板與容器內壁的摩擦。若大氣壓強為p0，則被圓板封閉在容器中的氣體的壓強等于()A．eq\f(p0＋Mgcosθ,S)B．eq\f(p0,cosθ)＋eq\f(Mg,Scosθ)C．p0＋eq\f(Mgcos2θ,S)D．p0＋eq\f(Mg,S)答案：D4．如圖所示，汽缸倒掛在天花板上，用光滑的活塞密封一定量的氣體，活塞下懸掛一個沙漏，保持溫度不變。在沙緩慢漏出的過程中，氣體的()A．壓強變大，體積變大B．壓強變大，體積變小C．壓強變小，體積變大D．壓強變小，體積變小答案：B5．一個氣泡由湖面下20m深處緩慢上升到湖面下10m深處，它的體積約變為原來體積的()A．3倍 B．2倍C．1.5倍D.eq\f(7,10)解析：選C。氣泡緩慢上升的過程中，溫度不變，氣體等溫變化，湖面下20m處，水的壓強約為2個標準大氣壓(1個標準大氣壓相當于10m水產生的壓強)，故p1＝3atm，p2＝2atm，由p1V1＝p2V2得：eq\f(V2,V1)＝eq\f(p1,p2)＝eq\f(3atm,2atm)＝1.5，故C正確。6．粗細均勻的U形管，右端封閉有一段空氣柱，兩管內水銀面高度差為19cm，封閉端空氣柱長度為40cm，如圖所示。求向左管再注入多少水銀可使兩管水銀面等高。(已知外界大氣壓強p0＝76cmHg，灌入水銀過程中溫度保持不變)解析：以右管中被封閉空氣為研究對象。空氣在初狀態p1＝p0－ph＝(76－19)cmHg＝57cmHg，V1＝L1S＝40S；末狀態p2＝p0＝76cmHg，V2＝L2S。則由玻意耳定律p1V1＝p2V2，代入數據解得：L2＝30cm。需加入的水銀柱長度應為h＋2(L1－L2)＝39cm。答案：39cm7．有一傳熱性良好的圓柱形汽缸置于水平地面上，并用一光滑的質量為m的活塞密封一定質量的理想氣體，活塞面積為S，開始時汽缸開口向上(如圖甲)。已知外界大氣壓強為p0，被封氣體的體積為V0。(1)求被封氣體的壓強。(2)現將汽缸倒置(如圖乙)，底部氣體始終與大氣相通，待系統重新穩定后，求活塞移動的距離。解析：(1)設封閉氣體的壓強為p，對活塞受力分析有mg＋p0S＝pS，得p＝eq\f(mg＋p0S,S)。(2)設將汽缸倒置后缸內氣壓為p1，體積為V1，對活塞受力分析有mg＋p1S＝p0S，所以p1＝eq\f(p0S－mg,S)。對封閉氣體運用玻意耳定律有pV0＝p1V1，得V1＝eq\f(（p0S＋mg）V0,p0S－mg)所以Δh＝eq\f(V1－V0,S)＝eq\f(2mgV0,（p0S－mg）S)。答案：(1)eq\f(mg＋p0S,S)(2)eq\f(2mgV0,（p0S－mg）S)[B級——能力增分練]8．醫院給病人輸液的部分裝置示意圖如圖所示，在輸液過程中()A．A、B瓶中的藥液同時用完B．B瓶中的藥液先用完C．隨著液面下降，A瓶內C處氣體壓強逐漸增大D．隨著液面下降，A瓶內C處氣體壓強保持不變解析：選C。藥液從B瓶中流下，封閉氣體體積增大，溫度不變，根據玻意耳定律知，氣體壓強減小，A瓶中空氣將A瓶中的藥液壓入B瓶補充，使B瓶液面保持不變，直到A瓶液體全部流入B瓶，所以A瓶液體先用完，故A、B錯誤；A瓶瓶口處壓強和大氣壓相等，但液面下降，液體產生壓強減小，因此封閉氣體壓強增大，故C正確，D錯誤。9．如圖所示，一試管開口朝下插入盛水的廣口瓶中，在某一深度靜止時，管內有一定的空氣。若向廣口瓶中緩慢倒入一些水，則下列說法正確的是()A．試管將加速上浮B．試管將加速下沉C．試管將保持靜止D．試管將以原靜止位置為平衡位置上下振動解析：選B。題圖中試管在水下某深度處于靜止狀態，浮力(等于排開水的重力)與試管重力相平衡。當試管中空氣壓強稍大些，即試管稍下移或向廣口瓶中加水時，試管內的空氣被壓縮，浮力將減小，試管將下沉，在下沉的過程中，空氣所受壓強越來越大，浮力越來越小，試管將加速下沉。10.如圖所示，豎直靜止放置的U形管，左端開口，右端封閉，a、b兩段水銀柱將A、B兩段空氣柱封閉在管內。已知水銀柱a的長度h1為10cm，水銀柱b的兩個液面間的高度差h2為5cm，大氣壓強p0＝75cmHg，則空氣柱A、B的壓強分別是多少？解析：設管的橫截面積為S，選a的下端