.5正態分布考法一正態密度函數【例1-1】（2023江蘇·課時練習）已知正態分布密度函數，，則分別是（

）A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和【答案】B【解析】，.故選：B.【例1-2】（2024·江蘇）函數(其中)的圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】函數圖象的對稱軸為直線，因為，所以排除B，D；又正態曲線位于x軸上方，因此排除C，所以A正確.故選：A.【一隅三反】1．（2023陜西寶雞·期末）已知三個正態分布密度函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】根據正態分布密度函數中參數的意義，結合圖象可知，對稱軸位置相同，所以可得；且都在的右側，即，比較和圖像可得，其形狀相同，即，又的離散程度比和大，所以可得；故選：B2．（2023湖北武漢）設隨機變量，則X的密度函數為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，即，所以X的密度函數為A.故選：A3．（2023全國·課時練習）設隨機變量X服從正態分布，且相應的概率密度函數為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由正態分布密度函數，可得.故選：C.考法二正態曲線的性質【例2-1】（2024重慶大足·階段練習）某生產線正常生產狀態下生產的產品的一項質量指標近似服從正態分布，若，則實數的值為（

）A． B． C．10 D．19【答案】B【解析】由題可知，正態曲線關于對稱，且，則，解得.故選：B【例2-2】（2024新疆·階段練習）已知隨機變量服從正態分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為隨機變量服從正態分布，且，則，所以，所以.故選：C【一隅三反】1．（2024·貴州貴陽）設隨機變量服從正態分布，若，則的值為（

）A．9 B．7 C．5 D．4【答案】B【解析】因為隨機變量服從正態分布，若，所以，解得.故選：B.2．（23-24高二下·全國·課時練習）設隨機變量，已知，則（）A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425【答案】A【解析】.故選：A.3．（2023浙江·開學考試）隨機變量服從正態分布.若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，又，所以，故選：B.考法三指定區間的概率【例3-1】．（2023浙江·開學考試）某校1000名學生參加數學期末考試，每名學生的成績服從，成績不低于120分為優秀，依此估計優秀的學生人數約為（

）附：若，則.A．23 B．46 C．159 D．317【答案】C【解析】由，得，則，估計優秀的學生人數約為.故選：C【例3-2】（2024湖南常德）某校高三年級800名學生在高三的一次考試中數學成績近似服從正態分布，若某學生數學成績為102分，則該學生數學成績的年級排名大約是（

）（附：，，）A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名【答案】B【解析】因為成績近似服從正態分布,，則，且，所以，因此該校數學成績不低于102分的人數即年級排名大約是．故選：B．【一隅三反】1．（2024黑龍江齊齊哈爾）某早餐店發現加入網絡平臺后，每天小籠包的銷售量（單位：個），估計300天內小籠包的銷售量約在950到1100個的天數大約是（

）（若隨機變量，則，，）A．236 B．246 C．270 D．275【答案】B【解析】由題可知，，，所以300天內小籠包的銷售量約在950到1100個的天數大約是天．故選：B．2．（2024河南南陽）某班有45名學生，最近一次的市聯考數學成績服從正態分布，若的學生人為18，則（

）A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35【答案】C【解析】由題可設，則，又的學生人數為，故.故選：C3（2024河南南陽）（多選）已知某批零件的長度誤差服從正態分布，其密度函數的曲線如圖所示，若從中隨機取一件，則下列結論正確的是（

）．（附：若隨機變量服從正態分布，則，，．A．B．長度誤差落在內的概率為0.6826C．長度誤差落在內的概率為0.1359D．長度誤差落在內的概率為0.1599【答案】ABC【解析】由圖中密度函數解析式，可得，A選項正確；又由圖像可知，則長度誤差落在內的概率為，B選項正確；長度誤差落在內的概率為，C選項正確；長度誤差落在內的概率為，D選項錯誤；故選：ABC.考法四正態分布的實際應用【例4-1】（2024江蘇南通）某大型公司招聘新員工，應聘人員簡歷符合要求之后進入考試環節.考試分為筆試和面試，只有筆試成績高于75分的考生才能進入面試環節，已知2023年共有1000人參加該公司的筆試，筆試成績.(1)從參加筆試的1000名考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有一人進入面試的概率；(2)甲?乙?丙三名應聘人員進入面試環節，且他們通過面試的概率分別為.設這三名應聘人員中通過面試的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望.參考數據：若，則，【答案】(1)0.499(2)分布列見解析，【解析】（1）記“至少有一人進入面試”，由已知得，所以，則，即這4人中至少有一人進入面試的概率為0.499.（2）由題意可得：的可能取值為，則：，，，，可得隨機變量的分布列為0123所以.【一隅三反】1．（2024廣東廣州·階段練習）某工廠一臺設備生產一種特定零件，工廠為了解該設備的生產情況，隨機抽檢了該設備在一個生產周期中的100件產品的關鍵指標（單位：），經統計得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計抽檢樣本關鍵指標的平均數和方差．（用每組的中點代表該組的均值）(2)已知這臺設備正常狀態下生產零件的關鍵指標服從正態分布，用直方圖的平均數估計值作為的估計值，用直方圖的標準差估計值作為估計值．（i）為了監控該設備的生產過程，每個生產周期中都要隨機抽測10個零件的關鍵指標，如果關鍵指標出現了之外的零件，就認為生產過程可能出現了異常，需停止生產并檢查設備．下面是某個生產周期中抽測的10個零件的關鍵指標：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用和判斷該生產周期是否需停止生產并檢查設備．（ⅱ）若設備狀態正常，記表示一個生產周期內抽取的10個零件關鍵指標在之外的零件個數，求及的數學期望．參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，【答案】(1)(2)（i）需停止生產并檢查設備；（ii），【解析】（1）由頻率分布直方圖，得．．（2）（i）由（1）可知，，所以，，顯然抽查中的零件指標，故需停止生產并檢查設備．（ii）抽測一個零件關鍵指標在之內的概率為，所以抽測一個零件關鍵指標在之外的概率為，故，所以，X的數學期望．2．（2023·全國·模擬預測）近期，廣西軍訓沖上了熱搜，軍訓項目包括無人機模擬轟炸、戰場救護、實彈打靶、坦克步兵同步行軍等.十萬學生十萬兵，無懼挑戰、無懼前行，青春正當時.為了深入了解學生的軍訓效果，某高校對參加軍訓的2000名學生進行射擊、體能、傷病自救等項目的綜合測試，現隨機抽取100名軍訓學生，對其測試成績（滿分：100分）進行統計，得到樣本頻率分布直方圖，如圖.(1)根據頻率分布直方圖，求出的值并估計這100名學生測試成績的平均數（單位：分）.(2)現該高校為了激勵學生，舉行了一場軍訓比賽，共有三個比賽項目，依次為“10千米拉練”“實彈射擊”“傷病救援”，規則如下：三個環節均參與，三個項目通過各獎勵300元、200元、100元，不通過則不獎勵.學生甲在每個環節中通過的概率依次為，假設學生甲在各環節中是否通過是相互獨立的.記學生甲在這次比賽中累計所獲獎勵的金額為隨機變量，求的分布列和數學期望.(3)若該高校軍訓學生的綜合成績近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，規定軍訓成績不低于98分的為“優秀標兵”，據此估計該高校軍訓學生中優秀標兵的人數（結果取整數）.參考數據：若，則，，.【答案】(1)，平均數為76分(2)分布列見解析，期望為(3)46【解析】（1）依題意，得，解得.由頻率分布直方圖，知成績的平均數為.所以估計這100名學生測試成績的平均數為76分.（2）隨機變量的所有可能取值為0，100，200，300，400，500，600.，，，，，，.所以的分布列為0100200300400500600所以.（3）由（1）可知.因為，所以，所以，所以該高校軍訓學生中“優秀標兵”的人數約為46.單選題1．（2024山西太原·階段練習）已知隨機變量，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.故選：A.2．（2024·河南信陽）對A，B兩地國企員工上班遲到情況進行統計，可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態分布，其中A地員工的上班遲到時間為X（單位：min），，對應的曲線為，B地員工的上班遲到時間為Y（單位：min），，對應的曲線為，則下列圖象正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，故曲線的對稱軸在曲線的左側，排除C、D；由，故曲線比曲線瘦高，曲線比曲線矮胖，排除A.故選：B．3（2023江西·開學考試）若隨機變量，且，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【答案】A【解析】因為，故．故選：A．4．（2024陜西渭南）已知隨機變量服從正態分布，且，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】A【解析】因為隨機變量服從正態分布，，所以.故選：A.5（2024廣西南寧）隨機變量服從正態分布，，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由對稱性可知，故.故選：A6（2024廣西桂林）已知隨機變量，且，則下列說法不正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對A，由題意得，故A正確；對B，，故B正確；對C，，因為，則，故C錯誤；對D，因為，則，故D正確；故選C7（2024河南駐馬店）為了解高三學生體能情況，某中學對所有高三男生進行了1000米跑測試，測試結果表明所有男生的成績（單位：分）近似服從正態分布，，，則下列說法不正確的是（

）A．若從高三男生中隨機挑選1人，則他的成績在內的概率為0.2B．若從高三男生中隨機挑選1人，則他的成績在內的概率為0.4C．若從高三男生中隨機挑選2人，則他們的成績都不低于75的概率為0.25D．越大，的值越小【答案】D【解析】，，故A，B正確.無論為何值，，若從高三男生中隨機挑選2人，則他們的成績都不低于75的概率為，故C正確，D錯誤.故選：D8．（2023·廣東）某精密制造企業根據長期檢測結果得到其產品的質量差服從正態分布，把質量差在內的產品稱為優等品，在內的產品稱為一等品，優等品與一等品統稱正品，其余的產品作為廢品處理．根據大量的產品檢測數據，得到產品質量差的樣本數據統計如圖，將樣本平均數作為的近似值，將樣本標準差作為的估計值，已知質量差，則下列說法中不正確的是（

）參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．A．樣本數據的中位數為B．若產品質量差為mg，則該產品為優等品C．該企業生產的產品為正品的概率是D．從該企業生產的正品中隨機抽取件，約有件優等品【答案】A【解析】對于A：的頻率為，的頻率為，的頻率為，且，設樣本數據的中位數為，所以，則，解得，故A錯誤；對于B：由題意知，，優等品質量差在即內，而，故B正確；對于C：一等品質量差在即內，則正品質量差在和內，即在內，所以產品為正品的概率為，故C正確；對于D：優等品質量差在內，所以產品為優等品的概率為0.6827，從正品中隨機抽取件，有件優等品，故D正確．故選：A多選題9．（2023廣西桂林·期末）某市對歷年來新生兒體重情況進行統計，發現新生兒體重，則下列結論正確的是（

）A．該正態分布的均值為 B．C． D．【答案】AB【解析】因為，對于A選項，該正態分布的均值為，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，由正態密度曲線的對稱性可知，，D錯.故選：AB.10．（2022·江蘇·模擬預測）18世紀30年代，數學家棣莫弗發現，如果隨機變量X服從二項分布，那么當n比較大時，可視為X服從正態分布，其密度函數，.任意正態分布，可通過變換轉化為標準正態分布（且）.當時，對任意實數x，記，則（

）A．B．當時，C．隨機變量，當減小，增大時，概率保持不變D．隨機變量，當，都增大時，概率單調增大【答案】AC【解析】】對于A，根據正態曲線的對稱性可得：，故A正確；對于B,當時，，故B錯誤；對于C，D，根據正態分布的準則，在正態分布中代表標準差，代表均值,即為圖象的對稱軸，根據原則可知數值分布在中的概率為0.6826，是常數，故由可知，C正確，D錯誤，故選：AC11．（2023山東聊城）尊重自然、順應自然、保護環境，是全面建設社會主義現代化國家的內在要求，近年來，各地區以一系列卓有成效的有力措施逐步改善生態環境，我國生態文明建設發生了歷史性、全局性的變化.一地區的科研部門調查某綠色植被培育的株高（單位：）的情況，得出，則下列說法正確的是（

）A．該地植被株高的均值為100B．該地植被株高的方差為10C．若，則D．隨機測量一株植被，其株高在以上的概率與株高在以下的概率一樣【答案】AC【解析】因為，所以，對于A，因為，所以均值為100，所以A正確;對于B，因為，所以方差為100，所以B錯誤；對于C，因為，所以，解得，所以C正確；對于D，因為，，所以隨機測量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大，所以D錯誤故選：AC.12．（2024云南）已知隨機變量服從正態分布，．記的密度函數為，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】

如圖，作出隨機變量服從的正態分布曲線.因，故由圖知.對于A項，由圖可知，必有，故A項錯誤；對于B項，因，由圖知，，故B項正確；對于C項，因，不妨取，則可理解為由直線和曲線及軸圍成的近似直角梯形的面積，高為，則即為梯形的中位線長，此時顯然大于，即有成立，故C項錯誤；對于D項，因，則可理解為由直線和曲線及軸圍成的近似直角梯形的面積，高為，則即為梯形的中位線長，此時顯然小于，即有成立，故D項正確.故選：BD.填空題13．（2023吉林長春·期中）設隨機變量，X的正態密度函數為，則.【答案】0【解析】由正態密度函數結構特征可知，.故答案為：014（2024河南·開學考試）已知隨機變量，若，則實數的值為．【答案】1【解析】由正態分布的性質可知，解得．故答案為：1.15（2024海南）為準備2022年北京一張家口冬奧會，某冰上項目組織計劃招收一批9~14歲的青少年參加集訓，以選拔運動員，共有10000名運動員報名參加測試，其測試成績（滿分100分）服從正態分布，成績為90分及以上者可以進入集訓隊，已知80分及以上的人數為228人，請你通過以上信息，推斷進入集訓隊的人數為．附：，，．【答案】13【解析】正態分布，可知，分及以上的人數為人，則，由正態分布曲線的對稱性可得：，得，所以，則，則分及以上的人數為人.故答案為：.16．（2024·遼寧·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態分布若小明選擇地鐵，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態分布；若小明選擇公交，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態分布.若小明上午8：12從家里出發，則選擇上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公交”或“地鐵”)參考數據：若則，，【答案】公交【解析】由題意可知從家里到達公司所用的時間不超過48分鐘，小明就不會遲到；若選擇自駕，則；若選擇地鐵，則；若選擇公交，則，而，故選擇公交上班遲到的可能性最小，故答案為：公交解答題17．（2024·河南南陽）象棋是中國棋文化之一，也是中華民族的文化瑰寶，源遠流長，雅俗共賞.某地舉辦象棋比賽，規定:每一局比賽中勝方得1分，負方得0分，沒有平局.(1)若甲、乙兩名選手進行象棋比賽冠亞軍的激烈角逐，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，先得3分者奪冠，比賽結束.(i)求比賽結束時，恰好進行了3局的概率;(ii)若前兩局甲、乙各勝一局，記表示到比賽結束還需要進行的局數，求的分布列及數學期望;(2)統計發現，本賽季參賽選手總得分近似地服從正態分布.若，則參賽選手可獲得“參賽紀念證書”;若，則參賽選手可獲得“優秀參賽選手證書”.若共有200名選手參加本次比賽，試估計獲得“參賽紀念證書”的選手人數.(結果保留整數)附:若，則，.【答案】(1)(i)；(ii)分布列見解析，(2)164【解析】（1）(i)比賽結束時恰好進行了3局，甲奪冠的概率為，乙奪冠的概率為，所以比賽結束時恰好進行了3局的概率為(ii)的可能取值為2，3因為，，所以的分布列如下:23故（2）因為比賽成績近似地服從正態分布，所以比賽選手可獲得“參賽紀念證書”的概率:所以估計獲得“參賽紀念證書”的選手人數為16418（20224廣東）2020年國慶節期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速公路免費政策”.某路橋公司為掌握國慶節期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費站點記錄了3日上午9:20~10:40這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有600輛車通過該收費站點，它們通過該收費站點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作、9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作，例如：10點04分，記作時刻64.(1)估計這600輛車在9:20~10:40時間內通過該收費站點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；(2)為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數為X，求X的分布列；(3)根據大數據分析，車輛在每天通過該收費站點的時刻T服從正態分布，其中可用3日數據中的600輛車在9:20~10:40之間通過該收費站點的時刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）.假如4日全天共有1000輛車通過該收費站點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數（結果保留到整數）.附：若隨機變量T服從正態分布，則，，.【答案】(1)10∶04(2)分布列見解析(3)819【解析】（1）解：這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值為：，即10∶04；（2）由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數就是位于時間分組中在20，60這一區間內的車輛數，即，所以X的可能的取值為0，1，2，3，4.所以，，，，.所以X的分布列為：X01234P（3）由（1）得，所以，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數也就是在46，100通過的車輛數，由，得，所以估計在之間通過的車輛數為.19（2024山東濟寧）2021年是中國共產黨建黨100周年，為引導和帶動青少年重溫中國共產黨的百年光輝歷程，某市組織全市中學生參加中國共產黨百年歷史知識競賽，現從中隨機抽取了100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：，統計結果如圖所示．(1)試估計這100名學生得分的中位數（保留小數點后兩位有效數字）；(2)從樣本中得分不低于70分的學生中，按比例用分層隨機抽樣的方法選取11人進行座談，若從座談名單中隨機抽取3人，記其得分在的人數為，試求的分布列和均值；(3)用樣本估計總體，根據頻率分布直方圖，可以認為參加知識競賽的學生的得分近似地服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，經計算．現從所有參加知識競賽的學生中隨機抽取2000人，若這2000名學生的得分相互獨立，試問得分高于90分的人數最有可能是多少？參考數據：若隨機變量，則，．【答案】(1)71.67(2)分布列見解析，(3)3【解析】（1）設這100名學生得分的中位數的估計值為，則，即.（2）從樣本中得分不低于70分的學生中，用比例分配的分層隨機抽樣的方法選取11人進行座談，其中得分在[80,90）的人數為.若從座談名單中隨機抽取3人，記其得分在[80,90）的人數為，則的所有可能取值為0，1，2，3.則，，，，則的分布列為0123P所以.（3）由頻率分布直方圖估計這100名學生得分的平均數為45×10×0.010＋55×10×0.015＋65×10×0.020＋75×10×0.030＋85×10×0.015＋95×10×0.010＝70.5，所以取，由已知，，.所以，故這2000名學生得分高于90分的人數最有可能為.20．（2024·江西）面試是求職者進入職場的一個重要關口，也是機構招聘員工的重要環節.某科技企業招聘員工，首先要進行筆試，筆試達標者進入面試，面試環節要求應聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯不得分，第二題和第三題均考查專業知識，每道題答對得4分，答錯不得分.(1)若一共有100人應聘，他們的筆試得分X服從正態分布，規定為達標，求進入面試環節的人數大約為多少（結果四舍五入保留整數）；(2)某進入面試的應聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應聘者的面試成績Y的數學期望.附：若（），則，，.【答案】(1)16(2)【解析】（1）因為服從正態