第03講集合的基本運算（3個知識點+2個要點+3種題型+1個易錯點+過關檢測）知識點1：并集文字語言一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)符號語言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}圖形語言性質A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝A?B?A，A?A∪B注意點：(1)A∪B仍是一個集合．(2)并集符號語言中的“或”包含三種情況：①x∈A且x?B；②x∈A且x∈B；③x?A且x∈B.(3)對概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互異性．知識點2：交集文字語言一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)符號語言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}圖形語言性質A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝A?A?B，(A∩B)?(A∪B)，(A∩B)?A，(A∩B)?B注意點：(1)A∩B仍是一個集合．(2)文字語言中“所有”的含義：A∩B中任一元素都是A與B的公共元素，A與B的公共元素都屬于A∩B.(3)如果兩個集合沒有公共元素，不能說兩個集合沒有交集，而是A∩B＝?.知識點3：全集與補集1.全集如果一個集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，全集通常記作U.在實數范圍內討論集合時，R便可看作一個全集U.2．補集定義文字語言設A?S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補集符號語言?SA＝{x|x∈S，且x?A}圖形語言性質(1)A?S，?SA?S；(2)?S(?SA)＝A；(3)?SS＝?，?S?＝S要點1：德?摩根（DeMorgan）定律(1)?u(AnB)=(?uA)U(?uB)(簡記為“交的補”=“補的并”).(2)?u(AUB)=(?uA)∩(?uB)(簡記為“并的補”=“補的交”).要點2：集合中元素個數的計算（容斥原理）實際問題中的集合主要是涉及集合中元素個數的問題,先對實際問題進行分析,抽象建立集合模型,轉化為集合問題,運用集合知識進行求解,然后將數學問題的解翻譯成實際問題的解并進行檢驗,從而使問題得以解決,其中用Venn圖進行分析,往往可將問題直觀化、形象化,使問題便捷、準確地獲解我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用card(A)來表示有限集合A中元素的個數.例如,A={a,b,c},則card(A)=3.結論:一般地,對任意兩個有限集合A,B,有card(AUB)=card(A)+card(B)card(AnB)易錯點：考慮問題不全面，等價變換時易出錯題型一集合交、并、補的綜合運算【例題1】（2425高一上·上海·隨堂練習）設集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，求得，得到，結合并集的運算，即可求解.【詳解】由，又由，可得，所以.故選：D【變式1】（2324高一下·河南許昌·開學考試）設集合，．若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據直接得到的取值范圍.【詳解】因為，且，所以，即實數的取值范圍是.故選：D【變式2】（2324高一上·西藏林芝·期中）設集合，則(用區間表示).【答案】【分析】利用集合的交并補運算即可得解.【詳解】因為，所以，則.故答案為：【變式3】（2425高一上·上海·課堂例題）已知全集，且，，求集合．【答案】【分析】根據得出有元素，沒有，得出有元素即可求解．【詳解】解：∵全集，滿足，，有元素，沒有，有，∴題型二集合交、并運算與集合間關系的轉化【例題2】（2324高一上·陜西西安·開學考試）已知集合，，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】若，即可得到，從而求出的范圍，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，則，又，，所以，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【變式1】（2324高一上·天津紅橋·階段練習）已知集合.若，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得：，分和兩種情況，結合包含關系分析求解.【詳解】因為，則，若，則，解得；若，則，解得；綜上所述：實數a的取值范圍為.故選：C.【變式2】（2223高一上·河北保定·階段練習）已知集合，，，則實數．【答案】【分析】首先根據集合補集的定義得到，然后分別討論或即可得到參數的值.【詳解】，.，，即.當時，得，分別代入集合與集合中得：，，此時不符合題意，舍去；當，得或，將分別代入集合與集合中得：，，不符合題意，舍去；將分別代入集合與集合中得：，，符合題意.綜上所述：.故答案為：.【變式3】（2425高一上·上海·隨堂練習）已知集合，．(1)若是的真子集，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據真子集定義即可求出的取值范圍；（2）根據子集定義即可求出的取值范圍.【詳解】（1）若是的真子集，根據真子集定義，的范圍要完全在的內部，且，故．（2）若，即，由圖知題型三補集思想的應用【典例分析】【例3】設集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠?，求實數a的取值范圍．【詳解】當A∩B＝?時，如圖所示，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a＋4≤5，))解得－1≤a≤1.即A∩B＝?時，實數a的取值范圍為M＝{a|－1≤a≤1}．而A∩B≠?時，實數a的取值范圍顯然是集合M在R中的補集，故實數a的取值范圍為{a|a＜－1，或a＞1}．【變式演練】【變式】已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求實數k的取值范圍．解若A∩B＝A，則A?B.又A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1≤2，,2k－1≥3，))解得2≤k≤3.又k∈R，所以當A∩B≠A時，實數k的取值范圍為集合{k|2≤k≤3}在R中的補集，即k的取值范圍為(－∞，2)∪(3，＋∞)．易錯點考慮問題不全面，等價變換時易出錯例：已知全集，集合，求?U.【錯解】由已知得，設方程的兩根分別是，所以當時，，?U.當時，，?U.【錯因分析】忽略了的情況.【正解】由已知得.當時，方程無實數根，此時，，所以?U=?U=.當時，設方程的兩根分別是，，.因為，所以只可能有以下情形：①當時，，此時，?U；②當時，，此時，?U.綜上所述，當時，?U；當時，?U=；當時，?U=.【變式1】（2324高一上·安徽·階段練習）已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由可以得到，從而對集合分類討論即可求解參數的范圍.【詳解】∵已知，又因為，∴，即，①當時，滿足，此時，解得；②當時，由，得，解得；綜上所述，.故選：C.【變式2】（2223高一上·山東濱州·期末）已知集合，，且，則的所有取值組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據集合的包含關系分類討論求解.【詳解】因為，所以，所以，若，則或，經檢驗均滿足題意，若，則或，經檢驗滿足題意，與互異性矛盾，綜上的所有取值為：，0,2，故選:D【變式3】（2223高一上·江蘇宿遷·階段練習）已知集合，若，求實數的值及.【答案】，【分析】由交集的運算可知，則或，分別求值并驗證集合是否滿足題意和元素的互異性，從而確定的值，進而得解.【詳解】因為，所以且，又，所以或，解得或；當時，，，則，與已知矛盾，舍去；當時，，，集合不滿足集合的互異性，舍去；當時，，，則，滿足題意；綜上，，此時.一、單選題1．（2324高一上·河北石家莊·期中）設集合，.若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據交集的定義可知，代入集合可求出的值，從而求解集合.【詳解】因為，所以，則，解得.則.故選：D2．（2324高一上·貴州畢節·期末）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再根據補集的運算，即可求得答案.【詳解】由題意得，則，故選：B．3．（2324高一上·湖北孝感·開學考試）設全集，且，若，則m的值等于（

）A．4 B．6 C．4或6 D．不存在【答案】A【分析】根據給定條件，求出集合，再借助韋達定理求解作答.【詳解】由全集，，得，即1，4是方程的兩個根，于是，解得，所以m的值等于4.故選：A4．（2324高一上·廣東廣州·期中）集合，若，則滿足條件的集合個數為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】求出集合，由得，根據子集的定義可得．【詳解】由題意，則，這樣的有個．故選：C．5．（2324高一上·山西·期中）設集合．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意易得1是方程的解，代入方程可得的值，解方程進而得結果.【詳解】因為，所以，即1是方程的解，將代入方程得，所以的解為或，所以．故選：A.6．（2324高一上·江蘇無錫·階段練習）已知集合，，若滿足，則的值為（

）A．或5 B．或5 C． D．5【答案】C【分析】根據集合的交集，知，分類討論，求出a的值，檢驗是否符合題意，即得答案.【詳解】由，則，若，則，，則，不符合題意；若，當時，，違反了集合元素的互異性，不合題意；當時，，，符合題意，故選：C7．（2324高一上·河北石家莊·階段練習）集合，，若，則實數a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出集合，依題意可得，再分、、三種情況討論.【詳解】因為，，所以，又，當，則，當，即，解得，當，即，解得，綜上可得實數a的取值集合為.故選：D8．（2324高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，則集合（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據交集、并集的定義計算可得.【詳解】因為，，，所以，則.故選：C二、多選題9．（2324高一上·江蘇揚州·期中）已知集合，，且，則實數的值可以為（

）A． B． C．0 D．1【答案】BCD【分析】根據已知得出.分以及討論，即可得出答案.【詳解】由可得，.當時，滿足，此時；當時，，解可得，.因為，所以或.當時，；當時，.綜上所述，或或.故選：BCD.10．（2324高一上·江西·階段練習）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】解法一：由判斷A；由判斷B；由判斷CD．解法二：依題意列舉中的元素，觀察可得答案.【詳解】解法一：易知，故A錯誤；易知，則B正確；，故，故C正確，D錯誤，故選：BC．解法二：依題意，，，觀察可知AD錯誤，BC正確，故選：BC.11．（2324高一上·青海海東·階段練習）已知集合，則下列結論中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先求出集合，再有交集，并集和補集的定義求解即可.【詳解】因為，對于A，所以，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AC.三、填空題12．（2324高一上·四川成都·期中）已知，均為集合的子集，且，，則集合．【答案】【分析】根據集合間交并補的混合運算可得解.【詳解】由，，可得，故答案為：.13．（2324高一上·遼寧大連·期中）設，，若，則實數的值為.【答案】或【分析】依題意可得，分和兩種情況討論.【詳解】因為，又，所以，當時，符合題意；當，則，解得，綜上可得或.故答案為：或14．（2324高一上·河北石家莊·階段練習）已知全集，且，，，則集合

．【答案】【分析】由已知補集交集的運算結果，得到集合A與集合B，再求補集與交集的運算.【詳解】全集，，則，，所以.故答案為：.四、解答題15．（2324高一上·湖南長沙·期末）已知集合，.(1)當時，求與；(2)若，求實數a的取值范圍.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）把代入求出集合，再利用交集、并集的定義求解即得.（2）利用給定交集的結果，結合集合的包含關系列式求解即得.【詳解】（1）當時，，而，所以，.（2）由，得，則，解得，所以實數a的取值范圍是.16．（2324高一上·河南·期中）已知集合，，．(1)若，求中元素的個數；(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)5(2)【分析】（1）化簡集合直接根據交集運算即可；（2）化簡集合C，根據交集為空集列出不等式求解.【詳解】（1）當時，，所以，故中元素的個數為.（2）由，可得，解得，故a的取值范圍為.17．（2324高一上·湖南長沙·期末）已知集合或．(1)當時，求；(2)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由補集、并集的概念即可求解.（2）由包含關系分類討論即可求解.【詳解】（1）當時，，或，所以，因此，.（2）當時，則時，即當時，成立，當時，即當時，即當時，由，可得，解得，此時．綜上，，即實數的取值范圍是.18．（2425高一上·上海·課后作業）已知，或．(1)若，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分和兩種情