順義一中20232024學年度第一學期高二年級10月考試數學試卷本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將答題卡交回.一.單選題（本大題共10小題，共40.0分）1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據空間向量線性運算的坐標表示求解.【詳解】∵，∴故選：A.2.空間四邊形中，，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據向量的三角形法則，即可求解.【詳解】如圖所示，根據向量的運算，可得.故選：B.3.已知空間向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】當時，，所以，即，故充分；當時，，即解得，故不必要；故選：A【點睛】本題主要考查邏輯條件的判斷以及空間向量的數量積運算，屬于基礎題.4.已知向量，且，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，設，即，，，2，，分析可得、的值，進而由向量模的計算公式計算可得答案．【詳解】根據題意，向量，2，，，，，且，則設，即，，，2，，則有，則，，則，，，故；故選：A．5.已知是空間的一個基底，在下列向量中，與向量，一定可以構成空間的另一個基底的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據空間向量基底的定義依次判斷各選項即可.【詳解】解：對于A選項，，故不能構成空間的另一個基底；對于B選項，，故不能構成空間的另一個基底；對于C選項，不存在使得成立，故能構成空間的另一個基底；對于D選項，假設存在使得，則，解得，故，故不能構成空間的另一個基底；故選：C6.在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，根據點關于平面的對稱點，求得的坐標，利用向量的數量積的坐標運算，即求解.【詳解】由題意，空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點，所以,則，故選D.【點睛】本題主要考查了空間直角坐標系的應用，以及空間向量的數量積的坐標運算，其中解答中熟記空間向量數量積的坐標運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7.已知兩點，，過點的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：根據兩點間的斜率公式，利用數形結合即可求出直線斜率的取值范圍．詳解：∵點A（﹣3，4），B（3，2），過點P（1，0）的直線L與線段AB有公共點，∴直線l的斜率k≥kPB或k≤kPA，∵PA的斜率為=﹣1，PB的斜率為=1，∴直線l的斜率k≥1或k≤﹣1，故選D．點睛：本題主要考查直線的斜率的求法，利用數形結合是解決本題的關鍵，比較基礎．直線的傾斜角和斜率的變化是緊密相聯的，tana=k,一般在分析角的變化引起斜率變化的過程時，是要畫出正切的函數圖像，再分析.8.正方體不在同一表面上的兩頂點，，則正方體的體積是（）A.4 B. C.64 D.【答案】C【解析】【分析】先根據題意可知AB是正方體的體對角線，利用空間兩點的距離公式求出AB，再根據正方體的棱長求出體積．【詳解】解：∵正方體中不在同一表面上兩頂點，，∴AB是正方體的體對角線，，∴正方體的棱長為4，正方體的體積為64．故選：C．9.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為在四棱錐中，底面是正方形，，，，，所以．故選：A．10.在正方體中，O為線段的中點，點在線段上，則直線與平面所成角的正弦值的范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設正方體邊長為2，如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，后由空間向量知識可得與平面所成角的正弦值的表達式，即可得答案.【詳解】設正方體邊長為2，如圖，以D為原點建立空間直角坐標系.則.因點在線段上，設，.則，，.設平面法向量為，則，取.設與平面所成角為，則.注意到，則.故選：B二.填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.與向量方向相同的單位向量是______．【答案】【解析】【分析】由與方向相同的單位向量是可計算求得結果.【詳解】，，即與向量方向相同單位向量是.故答案為：.12.如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為________【答案】【解析】【詳解】如圖所示，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，因為的坐標為，所以,所以.13.若過點P(1－a,1＋a)與點Q(3,2a)的直線的傾斜角是鈍角，則實數a的取值范圍是________．【答案】(－2,1)【解析】【詳解】試題分析：由直線的傾斜角α為鈍角，能得出直線的斜率小于0，解不等式求出實數a的取值范圍．解：∵過點P（1a，1+a）和Q（3，2a）的直線的傾斜角α為鈍角，∴直線的斜率小于0，，故答案為考點：直線的斜率公式點評：本題考查直線的斜率公式及直線的傾斜角與斜率的關系．14.已知正方體的棱長為1，則點B到直線的距離為_________．【答案】【解析】【分析】連接，過B作，則即為所求，由三角形等面積計算求解.【詳解】解：如圖，連接，過B作，則即為點B到直線的距離，在正方體中，平面，，在直角中，，且，所以，點B到直線的距離為.故答案為：.15.在棱長為1的正方體中，點M和N分別是正方形ABCD和的中心，點P為正方體表面上及內部的點，若點P滿足，其中m、n、，且，則滿足條件的所有點P構成的圖形的面積是______．【答案】【解析】【分析】因為點P滿足，其中m、n、，且，所以點A，M，N三點共面，只需要找到平面AMN與正方體表面的交線即可．【詳解】因為點P滿足，其中m、n、，且，所以點A，M，N三點共面，又因為M和N分別是矩形ABCD和的中心，所以，，連接MN，，則，所以即為經過A，M，N三點的平面與正方體的截面，故P點可以是正方體表面上線段，，AC上的點．所以所有點P構成的圖形的面積為．故答案為：．三、解答題（本大題共6小題，共85.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知直線l1過點A(1，1)，B(3，a)，直線l2過點M(2，2)，N(3+a，4).（1）若l1l2，求a的值；（2）若l1⊥l2，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由直線平行知斜率相等，建立等量關系得解.（2）由直線垂直知斜率積為1，建立等量關系得解.【詳解】解：設直線l1的斜率為k1，直線l2的斜率為k2.（1）因為，所以存在且.因為，所以，即，解得.當時，，所以A，B，M不共線，則符合題意.（2），①當時，，不符合題意；②當時，，因為，所以存在且，則，即，解得.17.如圖，在平行六面體.，設向量（1）用表示向量（2）求【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量基本定理與空間向量的線性運算可得出關于的表達式；（2）由（1）知，利用空間向量數量積的運算可求得.【小問1詳解】，；【小問2詳解】由（1）知，由已知可得，所以.18.已知四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中點.（1）求直線BD與直線PC所成角的余弦值；（2）求證：平面（3）求點到平面的距離.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標系，利用空間向量法計算異面直線所成角的余弦值；（2）利用數量積坐標運算得線線垂直，利用線線垂直證明線面垂直；（3）利用點到平面距離向量公式直接計算即可.【小問1詳解】以點為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖空間直角坐標系.由題意，，，，，，設直線BD與直線PC所成的角為，因為，，所以，所以直線BD與直線PC所成角的余弦值為；【小問2詳解】因為，，，所以，，所以，又平面，所以平面；【小問3詳解】由（2）知，為平面的一個法向量，設點到平面的距離為，則為向量在向量上的投影的絕對值，由，得，所以點到平面的距離為.19.在三棱柱中，側面為矩形，平面，D，E分別是棱的中點.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）答案見詳解（2）【解析】【分析】（1）由棱柱的性質證得四邊形是平行四邊形，從而利用線面平行的判定定理可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，，且，因為D，E分別是棱的中點，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，所以,又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得，，所以，，，設平面的法向量為，則，即，令，則，，于是，所以，所以直線與平面所成角的正弦值.20.如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE＝2．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2．(1)求證：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小；(3)線段BC上否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由．【答案】（1）略（2）(3)見解析【考點定位】此題第二問是對基本功的考查，對于知識掌握不牢靠的學生可能不能順利解答．第三問的創新式問法，難度非常大【解析】【詳解】試題分析：（1）證明A1C⊥平面BCDE，因為A1C⊥CD，只需證明A1C⊥DE，即證明DE⊥平面A1CD；（2）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夾角公式，即可求得CM與平面A1BE所成角的大小；（3）設線段BC上存在點P，設P點坐標（0，a，0），則a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量為假設平面A1DP與平面A1BE垂直，則，可求得0≤a≤3，從而可得結論．（1）證明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C?平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如圖建系，則C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，設平面A1BE法向量為則∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM與平面A1BE所成角的大小45°（3）解：設線段BC上存在點P，設P點坐標為（0，a，0），則a∈[0，3]∴，設平面A1DP法向量為則∴∴假設平面A1DP與平面A1BE垂直，則，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在線段BC上存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直考點：向量語言表述面面的垂直、平行關系；直線與平面垂直的判定；用空間向量求直線與平面的夾角．21.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，E為CD的中點，M在AB上，且，（1）求證：平面PAD；（2）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；（3）點F是線段PD上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線EF與AC所成角為，求AF的長．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知可得兩兩垂直，所以以為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，通過向量證明線線平行，再證明線面平行即可；（2）分別求出相關平面的法向量后，再運用夾角公式計算即可；（3）根據已知條件求出點的坐標，再計算長度即