第08講6.3.5平面向量數量積的坐標表示課程標準學習目標①掌握平面向量數量積的坐標表示，會進行平面向量數量積的坐標運算。②能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關的問題。1通過閱讀課本，和前面平面向量坐標表示的基礎上，掌握平面向量數量積的坐標表示，會進行平面向量數量積的坐標運算；2.截止當前，我們已經學習了兩個數量積的公式，在學習過程中能根據實際情況，能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關的問題；知識點01：平面向量數量積的坐標表示在平面直角坐標系中，設，分別是軸，軸上的單位向量．向量分別等價于，，根據向量數量積的運算，有：由于，為正交單位向量，故，，，，從而．即，其含義是：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和．知識點02：兩個向量平行、垂直的坐標表示已知非零向量，（1）．（2）【即學即練1】（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知向量，若，則.【答案】【詳解】因為，所以，故.故答案為：-5知識點03：向量模的坐標表示（1）向量模的坐標表示若向量，由于，所以．其含義是：向量的模等于向量坐標平方和的算術平方根．【即學即練2】（2023·全國·模擬預測）平面向量，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，解得，所以，所以．故選：C．（2）兩點間的距離公式已知原點，點，則，于是．其含義是：向量的模等于A，B兩點之間的距離．（3）向量的單位向量的坐標表示設，表示方向上的單位向量知識點04：兩向量夾角余弦的坐標表示已知非零向量，是與的夾角，則．【即學即練3】（2023上·上海黃浦·高三統考期中）已知向量，則向量與夾角的余弦值為．【答案】/0.5【詳解】向量，所以向量與夾角的余弦值.故答案為：題型01平面向量數量積的坐標表示【典例1】（2023上·湖北武漢·高三華中師大一附中校考期中）在邊長為2的正六邊形中，（

）A．6 B．-6 C．3 D．-3【答案】B【詳解】正六邊形中，每個內角都是，，有，以為原點，為軸，為軸，，建立平面直角坐標系，如圖所示：因為，，，則有，所以，，，，，由平面向量數量積的運算可得.故選：B．【典例2】（2023上·上海松江·高三統考期末）已知向量，，則【答案】0【詳解】∵，，∴，∴.故答案為：0.【變式1】（2024上·北京房山·高三統考開學考試）已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設，則由題意可得，解得，所以，故選：D【變式2】（2023上·天津·高三統考期中）在直角梯形中，，且，若，則.【答案】【詳解】如圖，以所在直線為軸，建立平面直角坐標系，設（），則，，，所以（負值舍去），即有，故答案為：.題型02向量垂直的坐標表示【典例1】（2023下·廣東韶關·高二校考期中）已知向量，且，則實數（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由.因為，所以．故選:A.【典例2】（2023上·河南·高三校聯考期中）已知向量，，，若，則．【答案】9【詳解】，，則，，，則，解得.故答案為：【變式1】（2023上·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學校聯考階段練習）已知，若實數滿足，則．【答案】【詳解】，則，由，所以，解得．故答案為：【變式2】（2023·全國·模擬預測）已知向量，，，則實數的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【詳解】，，，解得.故選：A.題型03利用向量的數量積求參數【典例1】（2023下·四川巴中·高一統考期中）已知向量，，，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，即，解得，，解得．故選：D【典例2】（2023下·廣西河池·高二校聯考階段練習）已知平面向量，則實數．【答案】0【詳解】由題意可得，故，即，故答案為：0【變式1】（2023下·福建福州·高一校聯考期中）已知向量，，若，則．【答案】【詳解】因為，則，即，整理可得，又因為向量，，則，解得.故答案為：.【變式2】（2020上·江蘇連云港·高三期中）在菱形中，，，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，因為因為，所以,即是的中點，所以所以，由題知.故故選：D題型04向量的投影【典例1】（2023·全國·模擬預測）向量，，那么向量在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，，所以，則在上的投影向量的模為，則在上的投影向量為.故選：A．【典例2】（2023上·上海靜安·高三校考階段練習）已知向量，且，則向量在向量方向上的投影向量為.【答案】【詳解】因為，，則，，又，所以，即，解得，所以，則向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：【變式1】（2023·上海楊浦·統考一模）已知向量，，則在方向上的投影為.【答案】【詳解】向量，，則在方向上的投影為.故答案為：【變式2】（2024上·云南·高三云南省下關第一中學校聯考階段練習）已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標為.【答案】【詳解】因為向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量的坐標為：.故答案為：.題型05向量的模【典例1】（2023上·青海西寧·高三統考期中）已知平面向量，，且，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】由平面向量，可得，由，可得，即，則，所以.故選：C．【典例2】（2023上·北京·高三北京八中校考階段練習）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點，，且.設，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【詳解】由題意，可得，則，又由，可得，則，解得，即，所以.故選：B.【變式1】（2023上·河北唐山·高三統考期中）已知向量，滿足，，，則等于．【答案】【詳解】因為向量，滿足，，，所以，解得，所以，故答案為:.【變式2】（2023上·廣東肇慶·高三統考階段練習）已知向量，，若，則.【答案】【詳解】因為，，則，，又，即，解得，則故答案為：題型06向量的夾角【典例1】（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）已知向量，若向量的夾角為鈍角，則實數的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意得：且與不共線，即，解得：且，所以實數的范圍是，故選：C.【典例2】（2023下·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學校考階段練習）已知向量，．(1)若向量與垂直，求k的值(2)若向量與的夾角為銳角，求k的取值范圍【答案】(1)(2)．【詳解】（1）依題意得：，，∵向量與垂直，∴，解得．（2）由（1），，∵向量與的夾角為銳角，∴且．解得且.∴k的取值范圍是．【變式1】（2023下·河南焦作·高一統考期中）若向量的夾角為銳角，則實數的范圍是（

）A． B．(，4)C． D．(，1)【答案】A【詳解】因向量的夾角為銳角，則，且不共線，即.綜上可知，或.故選：A【變式2】（2023下·江西萍鄉·高一統考期末）已知向量，．(1)若，試判斷向量與是否垂直；(2)若向量與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍．【答案】(1)向量與不垂直；(2)【詳解】（1）若，則，，故，∴，所以當時，向量與不垂直；（2）由題意知，，向量與的夾角為鈍角，∴，解得，當與反向時，有，解得，所以向量與的夾角為鈍角時，實數的取值范圍是．題型07向量數量積的最值（范圍）問題【典例1】（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學校校考期中）已知是邊長為1的正的邊上的動點，為的中點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：取AC的中點O，以O為原點，直線AC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，設，，，且，時，取最小值；時，取最大值，∴的取值范圍是，故選：A.【典例2】（2023上·遼寧本溪·高二校考期中）如圖，在邊長為4的正方形中，點是正方形外接圓上任意一點，則的取值范圍是.

【答案】【詳解】以正方形的中心為原點建立平面直角坐標系如圖所示，則點，，，設以軸非負半軸為始邊，為終邊的角為，易知外接圓的半徑為，所以點，則，所以，因為，所以.即的取值范圍為.故答案為：

【變式1】（2023上·上海普陀·高三上海市晉元高級中學校考期中）已知點是邊長為2的正內一點，且，若，則的最小值為（

）.A． B． C． D．【答案】C【詳解】取的中點，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，則點、、，設點，，，，且，則，可得，由于點在正內，則，可得，則，可得，，，所以當時，取最小值.故選：C.【變式2】（2023·全國·模擬預測）如圖，等腰梯形ABCD中，，，點E是線段BD上的動點，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，過A且與AB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，則，，，，所以．

設，，，（注意判斷的取值范圍，為后續計算做準備）則，所以，得，所以，所以，．所以，所以當時，取得最小值，為．故選：A題型08向量模的最值（范圍）問題【典例1】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）已知向量，，若非零向量滿足，則取最小值時，的坐標為.【答案】【詳解】設，則由，得，所以，所以，即，化得.又，所以.當時，取得最小值，此時，即.故答案為：.【典例2】（2023下·河南周口·高一統考期末）在平面直角坐標系中，已知點,，(1)求的值；(2)是坐標平面上的點，，，求的最小值.【答案】(1)4(2)【詳解】（1）因為,，所以，故.因為，所以.（2），，，因為，所以當時，取得最小值為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，若，，，則的最小值為.【答案】【詳解】由題意得，，則，所以，又，所以，于是，由于，故當時，的最小值是.故答案為：【變式2】（2023·全國·高三專題練習）設，向量，，且，則；當時，的取值范圍為．【答案】【詳解】因為，所以，即，得，所以．由題知，又，所以當時，取得最小值，最小值為5，當時，取得最大值，最大值為25，故的取值范圍為．故答案為：；題型09向量夾角最值（范圍問題）【典例1】（2022上·上海寶山·高二上海交大附中校考階段練習）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，，，以O為原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，，，，，，三者直接各自的夾角都為銳角，，，，，，即在上的投影為1，在上的投影為3，，，如圖，即，且則，由基本不等式得，，與的夾角為銳角，，由余弦函數可得：與夾角的取值范圍是，故選：C.【典例2】（2020上·上海徐匯·高二位育中學校考期中）已知為△邊上的中線，點滿足且，則的最小值為.【答案】【詳解】由且，則，構建如下平面直角坐標系，G為原點，結合中線可令，，，則，，∴，由，當且僅當時等號成立，所以，僅當時等號成立，即的最小值為.故答案為：【變式1】（2021下·江蘇·高一期中）設為單位向量，滿足，設的夾角為，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為為單位向量，不妨設，且，所以，又因為，所以，化簡得，所以，，，當時，，故選：CA夯實基礎B能力提升C綜合素養A夯實基礎一、單選題1．（2023上·海南海口·高二校考階段練習）已知向量，，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用向量垂直的坐標表示求解即得.【詳解】向量，，由，得，所以.故選：D2．（2023上·河南·高三南陽中學校聯考階段練習）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩邊平方可得，帶入即可得解,【詳解】因為，等式兩邊平方得，又，所以，解得.故選：D.3．（2023上·湖北·高三襄陽五中校聯考期中）已知平面向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據投影向量的公式計算即可.【詳解】在上的投影向量為．故選：B.4．（2023上·重慶渝北·高三重慶市渝北中學校校考階段練習）已知向量，，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量共線的坐標表示以及數量積的坐標運算求解.【詳解】因為，所以即，所以，所以，故選:D.5．（2023·全國·模擬預測）已知平面向量，滿足，且，則（

）A．4 B．5 C． D．2【答案】B【分析】設，根據向量的模、向量垂直列方程，求得的坐標，進而求得.【詳解】設，因為，，所以，即①．又因為，所以，即，即②．聯立①②可得或，所以或，所以.故選：B6．（2023上·寧夏銀川·高三校聯考階段練習）已知向量，，，若，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐標表示及模長公式計算即可.【詳解】由題意可知，，所以，則.故選：C7．（2023·四川內江·統考一模）已知向量，，其中.若，則當恒成立時實數的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】先求出向量的模，然后由數量積定義結合三角函數有界性可得的最大值，然后可解.【詳解】由題知，，所以，當同向時等號成立，所以，要使恒成立，只需，解得或.故選：B8．（2023上·安徽·高二校聯考期中）如圖，在長方形中，，點P滿足，其中，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，寫出點的坐標，得到，，從而求出，求出最值.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，則，設，因為，所以，即，故，，則，則，因為，所以，，故.故選：B二、多選題9．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期中）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則或B．若，則C．當時，向量在向量方向上的投影向量為D．若或，則與夾角為鈍角【答案】AC【分析】根據向量的坐標運算逐個判斷即可.【詳解】對于A：若，則，解得或，A正確；對于B：，若，則，即，解得，所以B錯誤；對于C：當時，，所以向量在向量方向上的投影向量為，C正確；對于D：當時，，，此時與的方向相反，此時與夾角為，D錯誤，故選：AC10．（2023上·廣東佛山·高二佛山市第四中學校考開學考試）若向量，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據向量垂直的坐標表示，數量積和向量的模的坐標，逐項判定，即可求解.【詳解】由題向量，可得，可得，所以，所以AC錯誤，B正確；又由，，所以，所以D正確.故選：BD.三、填空題11．（2023·貴州黔東南·統考一模）向量在向量上的投影向量為，則.【答案】【分析】根據投影向量公式可得，然后由向量模的坐標表示可得.【詳解】因為，所以向量在向量上的投影向量為，所以，所以，所以.故答案為：12．（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學校聯考階段練習）已知16個邊長為1的小菱形的位置關系如圖所示，且每個小菱形的最小內角為60°，圖中的A，B，C，D四點均為菱形的頂點，則.【答案】【分析】以圖形的對稱軸為y軸，過點A作對稱軸的垂線為x軸，建立平面直角坐標系.寫出各點坐標進而求得向量的坐標，即可求得數量積.【詳解】因為每個小菱形的最小內角為60°，所以每個小菱形都可以分為兩個正三角形.以該圖形的對稱軸為y軸，過點A作對稱軸的垂線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，，所以，，所以.故答案為：四、解答題13．（2023上·廣東惠州·高二惠州市惠陽區崇雅實驗學校校考階段練習）已知平面直角坐標系中，向量.(1)若，且，求向量的坐標；(2)若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）設，由題意知，因為，所以，又因為，所以，所以或.（2）由題意，則，當與共線時，，因為與的夾角為銳角，所以，解得，且，所以與的夾角為銳角，實數的取值范圍為.14．（2023上·遼寧沈陽·高二學業考試）給定三個平面向量．(1)求的大小；(2)若向量與向量共線，求實數的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1），則，所以，因為，所以；（2），，因為向量與向量共線，所以，解得．B能力提升1．（2023上·云南·高三校聯考階段練習）設，向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】向量在向量上的投影向量為，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選：A.2．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P為腰AD所在直線上任意一點，則的最小值是（

）A． B．1 C． D．【答案】C【詳解】等腰梯形ABCD中，作垂直于于點，作垂直于于點，又，