7.5空間幾何的外接球（精講）考點一漢堡模型【例1】（2023春·重慶）設直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，且球的表面積為，，則此直三棱柱的高是（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【解析】設外接圓得圓心為，半徑為，直三棱柱得高為，直三棱柱外接球得球心為，半徑為，則，且平面，由正弦定理得，所以，因為，所以，所以，所以，即直三棱柱得高為.故選：D.【一隅三反】1．（2023春·安徽宣城）在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為．【答案】【解析】根據已知，底面是邊長為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．設正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點，的外接圓半徑為，，所以球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為，故答案為：．2．（2023春·廣東韶關）三棱錐中,平面,,,,則三棱錐外接球的體積是．【答案】【解析】如圖,將三棱錐還原成直三棱柱,設三棱柱的外接球球心為,分別為上下底面的外心,則為的中點,為底面外接圓的半徑,所以球心O到面的距離為,由正弦定理有:,所以,.故答案為:.3．（2023春·江蘇揚州）已知正四棱柱中，，直線與平面所成角的正切值為2，則該正四棱柱的外接球的表面積為.【答案】【解析】連接，在正四棱柱中，平面，所以為直線與平面所成角，因為在等腰直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以，，又正四棱柱的外接球的直徑為，則半徑.所以球的表面積為：.故答案為：考法二墻角模型【例2】（2023春·天津河北）長方體的一個頂點上的三條棱長分別為3，4，5，且它的8個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意得長方體的對角線長為，又長方體的外接球的直徑是長方體的對角線，所以長方體的外接球的直徑，所以長方體的外接球的表面積為.故選：C【一隅三反】1．（2023春·山西朔州）長方體的長、寬、高分別為4，3，2，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設球的半徑為，由于長方體的體對角線為球的直徑，則，所以，因此，球的表面積為.故選：A2．（2023春·貴州黔東南）在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，在三棱錐中，平面，故將該三棱錐置于一個長方體中，如圖所示，則體對角線即為外接球得直徑，，故外接球的半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：B.3．（2023春·廣東深圳）如圖，在長方體中，四邊形是邊長為1的正方形，，則該長方體的外接球表面積是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知長方體的體對角線長為,故該長方體的外接球的半徑為，該長方體的外接球表面積為，故選：D考法三斗笠模型【例3-1】（2023春·北京海淀）已知側棱長為的正三棱錐的四個頂點都在一個球的球面上，且三個側面兩兩垂直，則這個球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖可將正三棱錐放到棱長為的正方體中，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球且正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線，設外接球的半徑為，則，即，即（負值舍去），所以外接球的表面積.

故選：C【例3-2】（2023·貴州貴陽·校聯考三模）已知一圓錐內接于球，圓錐的表面積是其底面面積的3倍，則圓錐與球的體積之比是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設圓錐的底面圓圓心為點，延長與球面交于.設圓錐底面半徑為r，母線為l，則，得，圓錐的高設球半徑為R，則中，有，即，即，，故，故選：B.

【一隅三反】1．（2023春·江西）在正四棱錐中，，若該棱錐的所有頂點都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，過點作平面于點，由，得，顯然球心在上，設球的半徑為，則，解得，所以球的表面積，故選：C.

2．（2022·湖北武漢·高三開學考試）已知正三棱錐的各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正三棱錐體積的最大值為___________.【答案】【解析】因為，所以正三棱錐外接球半徑，正三棱錐如圖所示，設外接球圓心為，過向底面作垂線垂足為，因為是正三棱錐，所以是的中心，所以，,又因為，所以，所以，令，解得所以在遞增，在遞減，故當時，取最大值，.故答案為：.3．（2023·江西）正三棱錐P－ABC底面邊長為2，M為AB的中點，且PM⊥PC，則三棱錐P－ABC外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖，設，則，而，因為PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，由對稱性可知：三棱錐P－ABC外接球的球心在三棱錐P－ABC的高PD上，假設為O點，則，因為,所以，又由于點D是三角形ABC的外心，且三角形ABC為等邊三角形，所以,在三角形ODC中，由勾股定理得,即，解得，所以三棱錐P－ABC外接球的體積為.故選：C考點四L模型【例4】（2023·黑龍江大慶·統考二模）如圖，邊長為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點，，則三棱錐外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由可知，，，可求，，，因為平面平面ABEF，平面平面，又，平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以，由，，得，又，同理可得得，又，所以，所以.所以MC為外接球直徑，在Rt△MBC中，即，故外接球表面積為．故選：A．【一隅三反】1．（2023春·山東棗莊）已知三棱錐底面ABC是邊長為2的等邊三角形，頂點S與AB邊中點D的連線SD垂直于底面ABC，且，則三棱錐S－ABC外接球的表面積為（

）A． B． C．12π D．60π【答案】B【解析】如圖：

設底面正三角形的外心為，三角形的外心為，分別過、作所在面的垂線相交于，則為三棱錐外接球的球心，再設底面正三角形外接圓的半徑為，則.由已知求得，可得也為邊長是的正三角形，所以外接圓的半徑為，則.所以三棱錐外接球的半徑滿足：.則三棱錐外接球的表面積為.故選：B.2．（2023秋·四川瀘州已知三棱錐的底面是正三角形，側面底面，且，，若該三棱錐的外接球的表面積為，則AB的值為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】設的外接圓的圓心為，連，并延長交與，則為的中點，設為的中點，因為側面底面，，平面平面，平面，所以底面，又底面，所以，所以為三角形的外接圓的圓心，設該三棱錐的外接球的球心為，連，，則平面，平面，取的中點，則，因為底面，所以平面，所以，因為平面，平面，所以，因為平面，平面，所以，所以四邊形為矩形，所以，因為三棱錐的外接球的表面積為，所以，得，設，則，，因為，，，所以，所以，由，得，得，即.

故選：C.3．（2023春·廣東廣州）已知三棱錐所在頂點都在球的球面上，且平面，若，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，由余弦定理得，令外接圓圓心，則平面，且，而平面，因此，取中點，連接，有，又平面，即有，，于是四邊形為平行四邊形，則，球的半徑，體積為.

故選：A考點五棱臺外接球【例5】（2023春·黑龍江）（多選）已知四棱臺上下底面均為正方形，其中，，，則下述正確的是（

）A．該四棱臺的高為 B．該四棱臺外接球的表面積為C．與所在直線的夾角為 D．該四棱棱臺的表面積為26【答案】ABC【解析】將四棱臺的側棱延長，相交于點，形成四棱錐，設正方形和的中心分別為，由于，，則分別為中點，則，，則，則，該四棱臺的高為，故A正確；由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在上，在平面上中，由于，，則，即點到點與點的距離相等，則外接球半徑，該四棱臺外接球的表面積為，故B正確；因為，則與所在直線的夾角為，故C正確；該四棱臺的表面積為，故D錯誤.故選：ABC．【一隅三反】1．（2023秋·湖北）在正三棱臺中，側棱長均為，側棱與底面所成的角60°，，則該三棱臺的外接球的體積＝.

【答案】【解析】設中心為，中心為，連接，如圖，

因為正三棱臺，所以平面，∥，在四邊形中，過作于，則∥，，所以平面，所以為側棱與底面所成的角，即，所以，又正三角形和中，，所以，即，，所以，，即，根據正三棱臺對稱性，可知到各頂點距離相等，則點為正三棱臺外接球的球心.所以，，故答案為：2．（2023春·黑龍江綏化）正四棱樓臺的上、下底面的面積分別為，，若該正四棱臺的體積為，則其外接球的表面積為．【答案】【解析】設正四棱臺的高為cm，則，解得cm．如圖，取正方形的中心為，正方形的中心為，則cm，故該正四棱臺的外接球的球心在上，設為點，連接，易知正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，故cm，cm，設cm，則cm，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑為，表面積為．故答案為：3．（2023春·廣東廣州）在正四棱臺中，上、下底面邊長分別為、，該正四棱臺的外接球的球心在棱臺外，且外接球的表面積為，則該正四棱臺的高為．【答案】【分析】求出外接球半徑，找到球心的位置，根據外接球的球心在棱臺外，求出高.【解析】

設正四棱臺的外接球的半徑為，則，解得，連接相交于點，連接相交于點，連接，則球心在直線上，連接，因為正四棱臺的外接球的球心在棱臺外，則球心在的延長線上，由條件可得，，因為上?下底面邊長分別為，所以，由勾股定理得，，此時該正四棱臺的高為.故答案為：考點六最值【例6】（2023·河南開封·統考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題意三棱錐可以補成分別以為長、寬、高的長方體，其中為長方體的對角線，則三棱錐的外接球球心即為的中點，要使三棱錐的外接球的體積最小，則最小．設，則，，，所以當時，，則有三棱錐的外接球的球半徑最小為，所以．故選：A【一隅三反】1．（2023秋·廣東·高三校聯考階段練習）在正三棱柱中，，點D在棱BC上運動，若的最小值為，則三棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，將與矩形展開至同一平面，易知.設，由題意知的最小值為，即.由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.取的中心分別為M，N，連接MN，則MN的中點O為三棱柱的外接球的球心，設的外接圓的半徑為r，