6.3二項式定理考法一二項式的展開式【例1-1】（2023上·高二課時練習）求的展開式．【答案】答案見解析【解析】．【例1-2】（2023·黑龍江）（

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【答案】C【解析】原式=.故選：C.【一隅三反】1．（2023·甘肅）若對，恒成立，其中，則（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】C【解析】由，得，所以，.故選：C.2．（2023·安徽安慶）如果，則.【答案】【解析】依題意，，解得，.故答案為：（2023·高二課時練習）（1）求的展開式（2）求的展開式；（3）化簡．【答案】（1）（2）答案見解析；（3）【解析】（1）.（2）.（3）原式.考法二二項式指定項的系數【例2-1】（2024·四川綿陽）的展開式中，x的系數為（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【解析】的展開式的通項為．令，得．的系數為．故選：A．【例2-2】．（2024·湖南）二項式的展開式中常數項為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】二項式的通項公式為，令，所以常數項為，故選：A【例2-3】（2024·云南）寫出展開式中的一個有理項為.【答案】（答案不唯一）【解析】展開式的通項公式為所以展開式中的有理項分別為：時，；時，；時，；時，.故答案為：（四個有理項任寫其一均可）.【一隅三反】1．（2024·河南）展開式中的常數項為（

）A．672 B． C． D．5376【答案】D【解析】二項式的展開式的通項，令，得，所以二項展開式中的常數項為.故選：D2．（2024安徽）展開式中含項的系數為，則實數a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，得．∴，依題意，∴．故選：A.3．（2023·全國·模擬預測）的展開式中，有理項是第項．【答案】3【解析】的展開式的通項，其中，當為有理項時，為整數，結合，所以，即有理項是展開式中的第3項，故答案為：3考法三兩個二項式乘積的系數【例3-1】（2024·廣東廣州）在展開式中的系數為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】顯然，則展開式第項，當時，，當時，，所以展開式中含的項為，即展開式中的系數為0.故選：B【例3-2】（2023·全國·模擬預測）的展開式中的系數為，則實數（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】的展開式的通項公式為，所以．令，解得，．令，解得．由題意，可知，所以．故選：D．【一隅三反】1．（2023·湖北）若的展開式中的的系數為，則實數（

）A．8 B．7 C．9 D．10【答案】B【解析】由題意知，展開式的通項公式為，故的系數為，解得.故選：B．2．（2024·廣東·）的展開式中的系數為.【答案】【解析】的展開式中的項為：，所以展開式中的系數為.故答案為：3．（2024·山東濱州）的展開式中的系數為．（用數字作答）【答案】【解析】的通項公式為，令得，，此時，令得，，此時，故的系數為故答案為：考法四三項式指定項的系數【例4-1】（2023·全國·校聯考模擬預測）在的展開式中常數項為（

）A．721 B．-61 C．181 D．-59【答案】D【解析】=的展開式的通項公式為=，其中的展開式的通項公式為，當時，，，常數項為；當時，，，常數項為；當時，，，常數項為；故常數項為++.故選：D【例4-2】（2023·廣東廣州）的展開式中的系數為（用數字作答）.【答案】【解析】由于，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數為.故答案為：【一隅三反】1（2023上·高二課時練習）的展開式中的系數為．【答案】92【解析】，又展開式的通項，展開式的通項，所以含的項為則含的系數.故答案為：.2．（2024·福建）的展開式中，常數項為（

）A． B． C．70 D．72【答案】C【解析】方法一：展開式中，第項，所以常數項為，方法二：展開式中，第項，當時，展開式中常數項為；當時，展開式中常數項為；當時，，所以的展開式中，常數項為70，故選：C．3．（2023上·河北唐山）的展開式中的系數為（

）A．208 B． C．217 D．【答案】B【解析】根據二項式定理可得，的展開式中，含的項為.所以，的展開式中的系數為.故選：B.考法五（二項式）系數的最值【例5-1】（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學校聯考階段練習）在二項式的展開式中，二項式系數最大的是（

）A．第3項 B．第4項C．第5項 D．第3項和第4項【答案】B【解析】二項式的展開式共有7項，則二項式系數最大的是第4項.故選：B.【例5-2】（2023·四川雅安）的展開式中，系數最小的項是（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】C【解析】依題意，的展開通項公式為，其系數為，當為奇數時，才能取得最小值，又由二項式系數的性質可知，是的最大項，所以當時，取得最小值，即第6項的系數最小.故選：C．【一隅三反】1．（2022·重慶）（多選）若的展開式中第3項與第8項的系數相等，則展開式中二項式系數最大的項為（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】BC【解析】的展開式的通項為，因為展開式中第3項與第8項的系數相等，，所以，則展開式中二項式系數最大的項為第5項和第6項；故選：BC．2．（2024·海南）在的二項展開式中，系數最大的項為和，則展開式中含項的系數為．【答案】7【解析】，因為系數最大的項為和，所以為奇數，，且，解得．所以含項的系數為．故答案為：73．（2023·上海嘉定）已知的二項展開式中系數最大的項為．【答案】【解析】設系數最大的項為，則，解得，因為且為整數，所以，此時最大的項為.故答案為：4．（2023·上海）二項式的展開式中，系數最大的項為．【答案】【解析】展開式通項公式為，且為整數.要想系數最大，則為偶數，其中，，，，顯然系數最大項為.故答案為：考法六（二項式）系數和--賦值法【例6-1】（2023·廣東佛山）（多選）已知，則下列結論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A，令，則，故A正確；對于B，因為，所以，B錯誤；對于C，令，則，令，則，所以，故C正確；對于D，由選項B可知，，，所以，故D正確.故選：ACD.【例6-2】（2023·廣東佛山）（多選）若，其中為實數，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令可得，A正確.，其展開式的第三項是，所以，B不正確.令可得，所以，D不正確.令可得，與相減可得，C正確.故選：AC【一隅三反】1．（2023·河北）（多選）若，則（

）A．B．C．D．【答案】BD【解析】對于A，當時，，A錯誤；對于B，C，當時，，當時，，所以，，所以B正確，C錯誤；對于D，當時，，所以，D正確．故選：BD．2．（2023·江蘇揚州·高二統考期中）（多選）的展開式中第項和第項的二項式系數相等，則以下判斷正確的是（

）A．第項的二項式系數最大 B．所有奇數項二項式系數的和為C． D．【答案】AC【解析】由題意，可得，所以，對于A中，根據二項式定理的性質，可得中間項第項的二項式系數最大，所以A正確；對于B中，根據二項式系數的性質，可得所有奇數項二項式系數的和為，所以B錯誤；對于C中，對于C中，令，可得，令，可得，所以，所以C正確；對于D中，由，可得，即，令，可得，所以D錯誤.故選：AC.3．（2024·黑龍江·高二校聯考期末）（多選）若，其中為實數，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，則原式轉化為，對A，令，得，故A正確；對B，由二項式定理得，故B錯誤；對CD，令，得，令，得，所以，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC考法七余數與小數【例7-1】（2023下·河南鄭州·高二校聯考期中）除以所得的余數是.【答案】22【解析】法一：由，前9項可以被整除，而，故余數為.法二：由，而，故余數為.故答案為：【例7-2】．（2023·高二課時練習）將精確到0.01的近似值是．【答案】0.96【解析】因為，且將精確到0.01，故近似值為0.96故答案為：0.96【一隅三反】1．（2023安徽）1.028的近似值是.(精確到小數點后三位)【答案】1.172【解析】由題意得：.故答案為：1.1722．（2023上·河北）除以1000的余數是．【答案】24【解析】因為，所以除以1000的余數是：.故答案為：243．（2023下·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級中學校考階段練習）今天是星期日，經過7天后還是星期日，那么經過天后是（

）A．星期日 B．星期一 C．星期三 D．星期四【答案】B【解析】,因為能被整除，所以除以余，所以經過天后是星期一.故選：B.4.（2024·甘肅武威）干支紀年是中國古代的一種紀年法.分別排出十天干與十二地支如下：天干：甲

乙

丙

丁

戊

己

庚

辛

壬

癸地支：子

丑

寅

卯

辰

巳

午

未

申

酉

戌

亥把天干與地支按以下方法依次配對：把第一個天干“甲”與第一個地支“子”配出“甲子”，把第二個天干“乙”與第二個地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，則再從第一個天干開始循環使用.已知2023年是癸卯年，則年以后是年.【答案】丙午【解析】因為，所以年以后地支為“午”.因為，又因為除以10余數為3，所以年以后天干為“丙”，故年以后是丙午年.故答案為：丙午考法八楊輝三角的應用【例8】（2023·廣東廣州）（多選）我國南宋數學家楊輝在年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就.該表蘊含著許多的數學規律，下列結論正確的是（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行1

6

15

20

15

6

1……

……A．B．，，，C．從左往右逐行數，第項在第行第個D．第行到第行的所有數字之和為【答案】AC【解析】對于A選項，由組合數的計算性質，所以，，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，第行共有項，從左往右逐行數，第行最后一項對應的項數為，因為，且，所以，從左往右逐行數，第項在第行第個，C對；對于D選項，第行所有項之和為，所以，第行到第行的所有數字之和為，D錯.故選：AC.【一隅三反】1．（2023·山東青島·高二校聯考期中）（多選）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的是（

）

A．B．第2023行的第1012個和第1013個數最大C．第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第7個數D．第34行中從左到右第14個數與第15個數之比為2：3【答案】ABD【解析】A選項，，，故A正確；B選項，由圖可知：第行有個數字，如果是奇數，則第和第個數字最大，且這兩個數字一樣大；如果是偶數，則第個數字最大，故第2023行的第1012個和第1013個數最大，故B正確；C選項，第6行，第7行，第8行的第7個數字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第7個數字是84，故C錯誤；D選項，依題意：第34行第14個數字是，第34行第15個數字是，所以，故D正確.故選：ABD.2．（2024上·江西·高二校聯考期末）楊輝三角（如下圖所示）是數學史上的一個偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個數字之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】,由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個數字之和為,故選：B．3．（2023上·湖北）如圖，“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現，比歐洲發現早500年左右．現從楊輝三角第20行隨機取一個數，該數大于2023的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由楊輝三角的性質知第20行的數為，一共有21個數，其中，由楊輝三角的對稱性可知，第20行中大于2023的數的個數為，故所求概率為.故選：A.單選題1．（2023·四川南充）二項式的展開式中常數項為（

）A． B．60 C．210 D．【答案】B【解析】展開式的通項為，所以，常數項為，故選：B.2．（2023·河北）若，則（）A．1 B．0 C． D．【答案】C【解析】，當且時，，因此，.故選：C.3．（2024上海）二項式的展開式中，其中是有理項的項數共有（）A．4項 B．7項 C．5項 D．6項【答案】D【解析】二項式的展開式中，通項公式為，，時滿足題意，共6項．故選：D.4．（2023安徽省）在的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中的系數為（）A． B． C． D．7【答案】D【解析】因為在的展開式中，只有第5項的二項式系數最大所以所以的展開式的通項令，得所以展開式中的系數為故選：D5．（2023安徽）展開式中的系數為（）A．15 B．20 C．30 D．35【答案】D【解析】因為展開式的通項為，所以展開式中含的項為和.因為，所以展開式中的系數為35.故選：D6．（2023下·四川達州·高二統考期末）的展開式中，的系數為（

）A．20 B． C． D．15【答案】B【解析】，其展開式的通項為：，取得到的系數為．故選：B．7．（2023云南）在的二項展開式中，系數最大的是第（）項A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】在二項式的展開式中，通項公式為，故第r+1項的系數為，當時，系數為正，因為,所以當r＝4時，系數最大的項是第5項.故選：C8．（2023·江西贛州·）在的展開式中，下列說法不正確的是（

）A．不存在常數項 B．所有二項式系數的和為32C．第3項和第4項二項式系數最大 D．所有項的系數和為1【答案】D【分析】根據給定的二項式，寫出展開式判斷A；利用二項式性質判斷BC；利用賦值法計算判斷D作答.【詳解】，因此在的展開式中沒有常數項，A正確；的展開式的所有二項式系數的和為，B正確；的展開式的第3項和第4項二項式系數相等，并且最大，C正確；當時，的展開式的所有項的系數和為，D錯誤.故選：D多選題9．（2024·遼寧遼陽）若展開式的二項式系數之和為64，則下列結論正確的是（

）A．該展開式中共有6項 B．各項系數之和為1C．常數項為 D．只有第4項的二項式系數最大【答案】BD【解析】因為二項式系數之和為64，即有，所以，則該展開式中共有7項，A錯誤；令，得該展開式的各項系數之和為1，B正確；通項，令，得，，C錯誤；二項式系數最大的是，它是第4項的二項式系數，D正確．故選：BD.10．（2023·遼寧朝陽）已知2，n，8成等差數列，則在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．二項式系數之和為32 B．各項系數之和為1C．常數項為40 D．展開式中系數最大的項為80x【答案】ABD【解析】由題意可得：，則，對于選項A：二項式系數之和為，故A正確；對于選項B：令，可得各項系數之和為，故B正確；對于選項C、D：因為的展開式的通項公式為：，所以，展開式中沒有常數項，故C錯誤；展開式中系數最大的項為80x，故D正確；故選：ABD.11．（2022上·遼寧本溪·高二校考期末）若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意，當，，當時，，A正確；當時，，所以，，B，C錯誤；，當時，，所以，D正確.故選：AD．12．（2023下·河北滄州·高二統考期中）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因為，令可得，令可得①，所以，故A正確；令可得②，①②得，故B錯誤；①②得，又展開式的通項為（且），所以當為奇數時展開式系數為負數，當為偶數時展開式系數為正數，即，，所以，故C正確；將兩邊對求導可得：，再令可得，故D正確；故選：ACD填空題13．（2023下·安徽合肥·高二統考期末）已知，則的值為．【答案】【解析】由，可得則，即，解得．故答案為：.14．（2023下·山西呂梁·高二統考階段練習）被4除的余數為.【答案】1【解析】因為，且2024可以被4整除，所以余數為1.故答案為：1.15．（2023·北京）的展開式中常數項為．（用數字作答）【答案】【解析】的展開式的通項（，1，2，…，8）．當時，其展開式的常數項為；當時，其展開式中的系數為，則的展開式中常數項為．故答案為：16．（2023上·山東·高二校聯考階段練習）展開式中各項的系數可以仿照楊輝三角構造如圖所示的廣義楊輝三角，其性質是以下各行每個數是它正上方和左?右兩邊三個數的和（不足3個數時，用0補上），則的展開式中，項的系數為.【答案】【解析】根據題意，可得廣義楊輝三角如圖所示，可知的展開式中，項的系數為項的系數為30，所以的展開式中，項的系數為.故答案為：解答題17．（2023·廣東梅州）在二項式的展開式中，求：(1)二項式系數之和；(2)各項系數之和；(3)所有偶數項系數之和；(4)系數絕對值之和.【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）設二項式系數之和為（2）設，則各項系數之和為，令得（3）由（2）知令可得:將兩式相減,可得:，故所有偶數項系數之和為.（4）方法一:令則方法二:即為展開式中各項系數和，令得故系數絕對值之和為.18．（2023·全國·高二隨堂練習）（1）求的展開式中的常數項；（2）若的展開式中的系數為，求a的值；（3）求的展開式中的常數項；（4）若的展開式中各項系數之和為128，求展開式中的系數．【答案】答案見詳解【解析】（1）設的展開式通項為：，則，當時，；故的展開式中的常數項為672；（2）設的展開式通項為：，則，當時，結合題意知此時；故a的值為2；（3）設的展開式通項分別為：，則，當時，，當時，，當時，故的展開式中的常數項為；（4）令，則由題意可知，設的展開式通項為，則，當時，，故展開式中的系數為21.19．（2023上·四川攀枝花·高二統考期末）從①第4項的系數與第2項的系數之比是；②第3項與倒數第2項的二項式系數之和為36；這兩個條件中任選一個，再解決補充完整的題目．已知（），且的二項展開式中，____．(1)求的值；(2)①求二項展開式的中間項；②求的值．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)①；②．【解析】（1）若選擇①第4項的系數與第2項的系數之比是，則有，化簡可得，求得或（舍去）．若選擇②第3項與倒數第2項的二項式系數之和為36，則有，化簡可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二項展開式的中間項為．②二項式展開式的通項公式為，所以、、、、為正數，、、、為負數．在中，令．再令，可得，∴．20．（2023下·江蘇宿遷·高二統考期中）在