PAGEPAGE9黑龍江省大慶市鐵人中學2024-2025學年高二數學上學期期末考試試題理本試卷滿分150分，答題時長120分鐘第Ⅰ卷一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）1.用反證法證明命題：“若，則至少有一個大于.”下列假設中正確的是（）A.假設都不大于B.假設都小于C.假設至多有一個大于0D.假設至少有一個小于2.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.3.從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，給出以下事務：①兩球都不是白球；②兩球中恰有一個白球；③兩球中至少有一個白球．其中與事務“兩球都為白球”互斥而不對立的事務是()A．①②B．①③C．②③D.①②③（4題圖）4.三國時代吳國數學家趙爽所注《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明，下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實，圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用，化簡，得，設勾股中勾股比為，若向弦圖內隨機拋擲1000顆圖釘（大小忽視不計），則落在紅（朱）色圖形內的圖釘數大約為（）（4題圖）（參考數據：）A．866 B．500 C．300 D．1345.已知一組數據的平均數是，方差是，那么另一組數據，，，，的平均數、方差分別是（）A．B．C．D．6.用數學歸納法證明，則當時，等式左邊應當在的基礎上加上（）A．B．C．D．7.執行如圖所示程序框圖，若輸出的，則推斷框內填入的條件可以是（）（7題圖）A．B．C．D．（7題圖）8．某醫院為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把500名運用血清的人與另外500名未運用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設H：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用2×2列聯表計算得，經查臨界值表知.則下列表述中正確的是（）A．若有人未運用該血清，那么他一年中有95％的可能性得感冒B．有95％的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”C．這種血清預防感冒的有效率為95％D．這種血清預防感冒的有效率為5％9.某校實行演講競賽，9位評委給選手打出的分數如莖葉圖所示，統計員在去掉一個最高分和一（9題圖）個最低分后，算得平均分為91，復核員在復核時，發覺有一個數字(莖葉圖中的)無法看清，若（9題圖）統計員計算無誤，則數字應當是（）A．5B．4C．3D．210.一張儲蓄卡的密碼是6位數字，每位數字都可從0，1，…，9這10個數字中任選一個，某人在自動提款機上取錢時，忘了密碼的最終一位數字，假如他記得最終一位是偶數，則他不超過兩次就按對的概率為（）（11題圖）A． B．C． D．（11題圖）11．如圖，一個結晶體的形態為平行六面體，以頂點為端點的三條棱長均為，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（）A．B．C．向量與向量的夾角是D．與所成角的余弦值為12．平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若，則點到軸的距離為（）A.3B.4C.5D.6第Ⅱ卷13.某校高二（1）班共有48人，學號依次為1,2,3，，48，現用系統抽樣的方法等距離抽取一個容量為6的樣本.已知學號為3,11,19,35,43的同學在樣本中，那么還有一名同學的學號為__________.14.視察下列式子：依據以上式子可以猜想：__________．15．下列說法中，正確的序號為___________.①命題“”的否定是“”；②已知，則“”是“或”的充分不必要條件；（16題圖）③命題“”的逆命題為真；（16題圖）④若為真命題，則與至少有一個為真命題；16．正方體的棱長為是它的內切球的一條弦(我們把球面上隨意兩點之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動點,當弦的長度最大時,的取值范圍是__________.三、解答題(本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.（10分）已知；，若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.18．（12分）小宋在鐵人中學新址旁邊開了一家文具店，為經營須要，小宋對文具店中的某種水筆的單支售價及相應的日銷售量進行了調查，單支售價元和日銷售量支之間的數據如下表所示：（Ⅰ）依據表格中的數據，求出關于的線性回來方程；（Ⅱ）請由（Ⅰ）所得的回來直線方程預料水筆日銷售量為支時，單支售價應定為多少元？假如一支水筆的進價為元，為達到日利潤（日銷售量×單支售價-日銷售量×單支進價）最大，在（Ⅰ）的條件下應當如何定價？（參考公式：回來直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，為樣本平均值，）19.（12分）已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的非負半軸重合．若曲線的極坐標方程為，直線的參數方程為（）．（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程與直線的一般方程；（Ⅱ）設點，直線與曲線交于兩點，求的值．20.（12分）年年底，某城市的地鐵建設項目已經基本完工，為了解市民對該項目的滿足度，分別從不同地鐵站點隨機抽取若干市民對該項目進行評分(評分均為整數，最低分40分，最高分100分)，繪制如下頻率分布直方圖，并將市民的全部打分分數從低到高分為四個等級：已知滿足度等級為“基本滿足”的市民有人．（Ⅰ）求頻率分布于直方圖中的值，并依據頻率分布直方圖估計評分等級為“不滿足”的人數；（Ⅱ）在（Ⅰ）所得評分等級為“不滿足”的市民中，老年人占，中青年占，現從該等級市民中按年齡分層抽取人了解不滿足的緣由，并從中選取人擔當整改督導員，求至少有一位老年督導員的概率；（Ⅲ）相關部門對項目進行驗收，驗收的硬性指標是：市民對該項目的滿足指數不低于，否則該項目需進行整改.已知頻率分布直方圖中同一組中的數據用該組區間中點值代替，依據你所學的統計學問，推斷該項目能否通過驗收，并說明理由.（注：滿足指數=）21.（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）長為何值時，直線與平面所成角最大？并求此時該角的正弦值．22.（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點分別作直線、交橢圓于兩點，設兩直線、的斜率分別為，且，探究：直線是否過定點，并說明理由.

鐵人中學2024級高二上學期期末考試數學（理）參考答案一．選擇題（60分）題號123456789101112答案ADAADDCBDCBB二．填空題（20分）13.2714._______15.①②16.三．解答題（70分）17.（10分）解：由，得，即,由，即，又因為得因為是的充分不必要條件所以（檢驗：當時，，滿足題意）故所求的的取值范圍是.18.（12分）（1）因為，，所以所以，回來直線方程為.（2）當時，，得，假設日利潤為，則：，易知，即依據二次函數的性質，可知當元時，有.所以單支售價為1元時，銷售量為18件；為使日利潤最大，單支定價為1.5元.19.（12分）(Ⅰ)由ρ＝6cosθ＋2sinθ，得ρ2＝6ρcosθ＋2ρsinθ，又由2分得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝6x＋2y，即3分由，消去參數t，得直線l的一般方程為x＋y－3＝0.………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知直線l的參數方程可化為()，………7分代入曲線C的直角坐標方程得.10分由韋達定理，得，則由直線參數方程t的幾何意義得|QA|·|QB|＝＝9………12分20．（12分）（1）由頻率分布直方圖知，由解得，設總共調查了個人，則基本滿足的為，解得人.不滿足的頻率為，所以共有人，即不滿足的人數為120人.（2）評分等級為“不滿足”的120名市民中按年齡分層抽取人，則中青年抽取4人分別記為，老年人抽取2人分別記為，從6人中選取人擔當整改督導員的全部的抽取方法有共15種，抽不到老年人的狀況為6種，所以至少有一位老年督導員的概率.（3）所選樣本滿足程度的平均得分為：，估計市民滿足程度的平均得分為，所以市民滿足指數為，故該項目能通過驗收.21.（12分）（1）∵平面平面，∴，又，，即（為與交點）．又，∴平面，又因為平面，所以，平面平面（2）如圖，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，如圖，設，則，則，，，設平面法向量為，則，即，取，得平面的一個法向量為，所以，因為，當且僅當時等